#09 Düğüm analizi örnek 2 — akım kaynağı gerilimleri

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Önceki yöntem, iki yeni ayrıntı

   İki düğüm arasındaki kaynak ⇒ iki KCL'de zıt işaret

   Önce V₁ ve V₂'yi bul

   Sonra kaynak uç gerilimlerini hesapla

   Sesli anlatım metni

   Önceki derste dört adımlı düğüm gerilimleri yöntemini iki düğümlü bir devrede uyguladık. Bu örnekte aynı yöntemi iki yeni ayrıntıyla geliştireceğiz. Birincisi, beş amperlik akım kaynağı toprakla bir düğüm arasında değil, referans olmayan V bir ve V iki düğümleri arasındadır. Böyle bir kaynak, iki düğümün KCL denklemine zıt işaretlerle girer. İkincisi, yalnız düğüm gerilimlerini değil, üç akım kaynağının uç gerilimlerini de bulacağız. Böylece düğüm gerilimlerinin, devredeki başka büyüklükleri hesaplamak için nasıl kullanıldığını göreceğiz.

2. 2. Devreyi ve kaynak yönlerini oku

   

   $R_{1g}=2 \Omega, R_{12}=4 \Omega, R_{2g}=4 \Omega$

   3 A → V₁, 5 A: V₁→V₂, 6 A → V₂

   Kaynak geriliminde + uç = ok başı tarafı

   Sesli anlatım metni

   Devreyi dikkatle okuyalım. V bir düğümü toprağa iki ohm üzerinden, V iki düğümüne ise dört ohm üzerinden bağlıdır. V iki düğümü de toprağa dört ohm üzerinden bağlıdır. Üç amperlik kaynak alttan V bir düğümüne akım verir. Beş amperlik kaynak V birden V ikiye doğru akar. Altı amperlik kaynak ise alttan V iki düğümüne akım verir. Bilinmeyenler önce V bir ve V iki düğüm gerilimleridir. Ardından kaynak gerilimlerini, artı uç ok başının bulunduğu terminal olacak biçimde tanımlayacağız.

3. 3. V₁ düğümünde KCL

   

   $V_{1}/2 + (V_{1}-V_{2})/4 - 3 + 5 = 0$

   4 ile çarp: 2V₁+(V₁−V₂)+8=0

   $3V_{1} - V_{2} = -8$

   Sesli anlatım metni

   V bir düğümünde ayrılan akımları pozitif alalım. İki ohmluk koldan toprağa ayrılan akım V bir bölü ikidir. Dört ohmluk koldan V ikiye ayrılan akım V bir eksi V iki bölü dörttür. Üç amperlik kaynak V bire girdiği için eksi üç, beş amperlik kaynak V birden çıktığı için artı beş yazılır. Denklem V bir bölü iki artı V bir eksi V iki bölü dört eksi üç artı beş eşittir sıfırdır. Dörtle çarpınca iki V bir artı V bir eksi V iki artı sekiz eşittir sıfır olur. Birinci denklem üç V bir eksi V iki eşittir eksi sekizdir.

4. 4. V₂ düğümünde KCL

   

   $V_{2}/4 + (V_{2}-V_{1})/4 - 5 - 6 = 0$

   4 ile çarp: V₂+(V₂−V₁)−44=0

   $-V_{1} + 2V_{2} = 44$

   Sesli anlatım metni

   Şimdi V iki düğümüne KCL yazalım. Toprağa bağlı dört ohmluk koldan ayrılan akım V iki bölü dörttür. V bire bağlı dört ohmluk koldan ayrılan akım V iki eksi V bir bölü dörttür. Beş amperlik kaynak V ikiye girdiği için eksi beş, altı amperlik kaynak da V ikiye girdiği için eksi altı yazılır. Denklem V iki bölü dört artı V iki eksi V bir bölü dört eksi beş eksi altı eşittir sıfırdır. Dörtle çarpınca V iki artı V iki eksi V bir eksi kırk dört eşittir sıfır olur. İkinci denklem eksi V bir artı iki V iki eşittir kırk dörttür.

5. 5. Denklem sistemini çöz

   

   $V_{2}=3V_{1}+8$

   $-V_{1}+2(3V_{1}+8)=44 \Rightarrow V_{1}=5,6 V$

   $V_{2}=24,8 V$

   İki KCL kontrolü de 0 verir

   Sesli anlatım metni

   İki denklemi birlikte çözelim. Birinci denklem üç V bir eksi V iki eşittir eksi sekizdir. Buradan V iki eşittir üç V bir artı sekiz yazılır. Bunu ikinci denklemde yerine koyarsak eksi V bir artı iki çarpı üç V bir artı sekiz eşittir kırk dört elde ederiz. Düzenleyince beş V bir eşittir yirmi sekiz; dolayısıyla V bir beş virgül altı volttur. Geri yerine koyunca V iki, üç çarpı beş virgül altı artı sekizden yirmi dört virgül sekiz volttur. V bir kontrolünde iki virgül sekiz eksi dört virgül sekiz eksi üç artı beş sıfırdır. V iki kontrolünde altı virgül iki artı dört virgül sekiz eksi beş eksi altı yine sıfırdır.

6. 6. Akım kaynağı gerilimleri

   

   + uç = akımın çıktığı ok başı tarafı

   $v_{3A}=V_{1}-0=5,6 V$

   $v_{5A}=V_{2}-V_{1}=19,2 V$

   $v_{6A}=V_{2}-0=24,8 V$

   Polarite ters seçilirse yalnız işaret değişir

   Sesli anlatım metni

   Şimdi her akım kaynağının uç gerilimini bulalım. İşareti açıkça tanımlıyoruz: artı terminali, kaynak akımının çıktığı yani ok başının gösterdiği taraftır. Üç amperlik kaynak toprak ile V bir arasındadır; bu nedenle v üç amper eşittir V bir eksi sıfır, yani beş virgül altı volttur. Beş amperlik kaynak V birden V ikiye akar; artı ucu V iki tarafındadır. Bu nedenle v beş amper eşittir V iki eksi V bir, yani on dokuz virgül iki volttur. Altı amperlik kaynak toprak ile V iki arasındadır; v altı amper eşittir V iki eksi sıfır, yani yirmi dört virgül sekiz volttur. Farklı bir polarite seçilseydi yalnız işaretler değişirdi.

7. 7. Sonuç ve işaret özeti

   Aradüğüm kaynağı iki KCL'de zıt işaretle yaz

   Eleman gerilimi = seçilen uç gerilimleri farkı

   Polariteyi sonuçtan önce tanımla

   Sonucu KCL ile doğrula

   Sesli anlatım metni

   Bu örnekten üç kalıcı sonuç çıkaralım. Referans olmayan iki düğüm arasındaki akım kaynağı, iki KCL denkleminde aynı büyüklükle fakat zıt işaretlerle yer alır. Düğüm gerilimleri bulunduktan sonra herhangi bir elemanın gerilimi, seçilen polariteye göre uç düğüm gerilimlerinin farkıdır. Son olarak işaret tanımı sonuçtan önce yapılmalıdır; burada akım kaynağı için artı terminali ok başı tarafında seçtik. Her çözümü, bulunan gerilimleri başlangıçtaki KCL denklemlerine geri koyarak doğrulamak hata riskini belirgin biçimde azaltır.