#10 Düğüm analizi örnek 3 — üç düğümde akım ve güç

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Devreyi ve istenenleri oku

   

   Bilinmeyenler: V₁, V₂, V₃

   İstenen: i=(V₃−V₂)/4

   Kırmızı 6 Ω dirençte P=?

   Sesli anlatım metni

   Şimdiye kadarki en kapsamlı düğüm analizi örneğine bakalım. Devrede V bir, V iki ve V üç olmak üzere üç bilinmeyen düğüm gerilimi vardır. V bir ile V üç arasında kırmızıyla gösterilen altı ohmluk direnç, V bir ile V iki arasında on iki ohmluk direnç bulunur. V iki, V üçe dört ohm ve toprağa altı ohm üzerinden bağlıdır. V üç ise toprağa on sekiz ohm üzerinden bağlıdır. Beş amperlik akım kaynağı aşağıdan V bir düğümüne akım verir. İstenenler, dört ohmluk dirençte V üçten V ikiye tanımlanan i akımı ile kırmızı altı ohmluk dirençte harcanan güçtür.

2. 2. V₁ düğümünde KCL

   

   $(V_{1}-V_{3})/6+(V_{1}-V_{2})/12-5=0$

   12 ile çarp ve düzenle

   $3V_{1}-V_{2}-2V_{3}=60$

   Sesli anlatım metni

   V bir düğümünde ayrılan akımları pozitif alarak KCL yazalım. V üç yönündeki altı ohmluk kol akımı V bir eksi V üç bölü altıdır. V iki yönündeki on iki ohmluk kol akımı V bir eksi V iki bölü on ikidir. Beş amperlik kaynak düğüme girdiği için eksi beş yazılır. Denklem, V bir eksi V üç bölü altı artı V bir eksi V iki bölü on iki eksi beş eşittir sıfırdır. On ikiyle çarpıp düzenlersek birinci denklem üç V bir eksi V iki eksi iki V üç eşittir altmış olur.

3. 3. V₂ düğümünde KCL

   

   $(V_{2}-V_{1})/12+(V_{2}-V_{3})/4+V_{2}/6=0$

   12 ile çarp ve düzenle

   $-V_{1}+6V_{2}-3V_{3}=0$

   Sesli anlatım metni

   V iki düğümünde üç direnç kolu vardır ve akım kaynağı yoktur. On iki ohmluk koldan V bire doğru akım V iki eksi V bir bölü on ikidir. Dört ohmluk koldan V üçe doğru akım V iki eksi V üç bölü dörttür. Toprağa bağlı altı ohmluk koldan ayrılan akım V iki bölü altıdır. Toplamları sıfıra eşitlenir. Denklemi on ikiyle çarpıp benzer terimleri birleştirince eksi V bir artı altı V iki eksi üç V üç eşittir sıfır elde edilir. Bu ikinci denklemdir.

4. 4. V₃ düğümünde KCL

   

   $(V_{3}-V_{1})/6+(V_{3}-V_{2})/4+V_{3}/18=0$

   36 ile çarp ve düzenle

   $-6V_{1}-9V_{2}+17V_{3}=0$

   Sesli anlatım metni

   V üç düğümünde yine üç direnç kolu vardır. V bire bağlı altı ohmluk koldan ayrılan akım V üç eksi V bir bölü altıdır. V ikiye bağlı dört ohmluk koldan ayrılan akım V üç eksi V iki bölü dörttür. Toprağa bağlı on sekiz ohmluk kol akımı V üç bölü on sekizdir. Paydaları kaldırmak için denklemi otuz altıyla çarparız. Düzenlenmiş üçüncü denklem eksi altı V bir eksi dokuz V iki artı on yedi V üç eşittir sıfırdır.

5. 5. Üç denklemi çöz ve doğrula

   

   $45V_{2}-35V_{3}=0 \Rightarrow V_{3}=(9/7)V_{2}$

   $V_{1}=45 V, V_{2}=21 V, V_{3}=27 V$

   V₁ kontrolü: 3 A+2 A=5 A

   Sesli anlatım metni

   Artık üç bilinmeyenli üç doğrusal denklemimiz var. Birinci denklem üç V bir eksi V iki eksi iki V üç eşittir altmış. İkinci denklem eksi V bir artı altı V iki eksi üç V üç eşittir sıfır. Üçüncü denklem eksi altı V bir eksi dokuz V iki artı on yedi V üç eşittir sıfırdır. İkinci denklemi altıyla çarpıp üçüncü denklemden uygun biçimde çıkarınca V bir yok olur ve kırk beş V iki eksi otuz beş V üç eşittir sıfır bulunur. Buradan V üç dokuz bölü yedi V ikidir. Geri yerine koyunca V iki yirmi bir volt, V üç yirmi yedi volt ve V bir kırk beş volt çıkar. V bir düğümünde üç amper artı iki amper, kaynak akımı olan beş ampere eşittir; çözüm doğrulanır.

6. 6. i akımı ve direnç gücü

   

   $i=(V_{3}-V_{2})/4=(27-21)/4$

   $i=1,5 A$

   $P=(V_{1}-V_{3})^{2}/6=18^{2}/6$

   $P=54 W$

   Sesli anlatım metni

   Şimdi sorulan iki büyüklüğü hesaplayalım. i akımı dört ohmluk direnç üzerinde V üçten V ikiye tanımlıdır. Ohm yasasına göre i eşittir V üç eksi V iki bölü dört. Yirmi yedi eksi yirmi bir bölü dört, bir virgül beş amperdir. Kırmızı altı ohmluk direnç V bir ile V üç arasındadır. Uç geriliminin büyüklüğü kırk beş eksi yirmi yedi, yani on sekiz volttur. Dirençte harcanan güç V kare bölü R ile on sekizin karesi bölü altıdan elli dört wattır.

7. 7. Yöntem özeti

   

   1. Düğümleri seç 2. KCL yaz

   3. Denklem sistemini çöz 4. Doğrula

   Kol akımı: ΔV/R

   Direnç gücü: V²/R

   Sesli anlatım metni

   Bu örnekten şu yöntemi kalıcı hale getirelim. Dört adımlı düğüm analizi iki düğümden üç veya daha fazla düğüme aynen ölçeklenir; yalnız çözülmesi gereken denklem sistemi büyür. Önce referans düğümünü ve bilinmeyen düğüm gerilimlerini seç, sonra her bilinmeyen düğüme KCL yaz, denklemleri sadeleştirip çöz ve bulunan değerleri en az bir KCL denkleminde doğrula. Düğüm gerilimleri bilindiğinde herhangi bir kol akımı Ohm yasasıyla, herhangi bir direnç gücü de V kare bölü R ile doğrudan bulunur.