#08 Düğüm gerilimleri yöntemi — çözümlü örnek

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Dört adımlı düğüm yöntemi

   1) Referans düğümünü seç

   2) Bilinmeyen düğüm gerilimlerini adlandır

   3) Her düğümde KCL yaz

   4) Akım kaynağı işaretlerini uygula

   Sesli anlatım metni

   Düğüm gerilimleri yöntemi, özellikle seri-paralel olarak sadeleşmeyen devrelerde sistematik bir çözüm sunar. Temel fikir, her düğümde Kirchhoff Akım Kanunu yazmak ve her direnç akımını Ohm kanunuyla düğüm gerilimleri cinsinden ifade etmektir. Birinci adım, sıfır volt kabul edeceğimiz referans düğümü, yani toprağı seçmektir. İkinci adım, kalan düğümlere V bir, V iki gibi gerilimler vermektir. Üçüncü adım, seçtiğimiz işaret kuralına göre her düğümde KCL yazmaktır. Bu derste düğümden ayrılan direnç akımlarını pozitif alacağız. Bir dal akımı, başlangıç düğümü eksi karşı düğüm gerilimi bölü dirençtir. Dördüncü adım, akım kaynaklarının işaretini belirlemektir. Düğüme giren kaynak akımı eksi, düğümden çıkan kaynak akımı artı yazılır. Elde edilen doğrusal denklem sistemi çözülerek düğüm gerilimleri bulunur.

2. 2. Devreyi ve düğümleri oku

   

   $R_{1g}=8 \Omega, R_{12}=16 \Omega, R_{2g}=12 \Omega$

   $I_{1}=9 A ↑, I_{2}=3 A ↑$

   Bilinmeyenler: V₁ ve V₂

   Sesli anlatım metni

   Örnekte alt iletkeni referans düğümü seçiyoruz. Sol üst düğümün gerilimi V bir, sağ üst düğümün gerilimi V ikidir. V bir ile toprak arasında sekiz ohm, V bir ile V iki arasında on altı ohm, V iki ile toprak arasında on iki ohm direnç vardır. Dokuz amperlik kaynak V bir düğümüne, üç amperlik kaynak V iki düğümüne yukarı yönde akım enjekte eder. İki bilinmeyen düğüm gerilimi olduğundan iki bağımsız KCL denklemi yazacağız.

3. 3. V₁ düğümünde KCL

   

   $(V_{1}-V_{2})/16 + V_{1}/8 - 9 = 0$

   16 ile çarp: V₁−V₂+2V₁−144=0

   $3V_{1} - V_{2} = 144$

   Sesli anlatım metni

   V bir düğümünden ayrılan akımları pozitif yazalım. On altı ohmluk koldan V ikiye giden akım V bir eksi V iki bölü on altıdır. Sekiz ohmluk koldan toprağa giden akım V bir bölü sekizdir. Dokuz amperlik kaynak düğüme girdiği için eksi dokuz yazılır. Denklem, V bir eksi V iki bölü on altı artı V bir bölü sekiz eksi dokuz eşittir sıfırdır. Paydaları kaldırmak için on altıyla çarpınca V bir eksi V iki artı iki V bir eksi yüz kırk dört eşittir sıfır olur. Benzer terimleri toplarsak birinci denklem üç V bir eksi V iki eşittir yüz kırk dört çıkar.

4. 4. V₂ düğümünde KCL

   

   $(V_{2}-V_{1})/16 + V_{2}/12 - 3 = 0$

   48 ile çarp: 3V₂−3V₁+4V₂−144=0

   $-3V_{1} + 7V_{2} = 144$

   Sesli anlatım metni

   Şimdi V iki düğümüne KCL yazalım. On altı ohmluk koldan V bire doğru ayrılan akım V iki eksi V bir bölü on altıdır. On iki ohmluk koldan toprağa ayrılan akım V iki bölü on ikidir. Üç amperlik kaynak düğüme girdiği için eksi üç yazılır. Denklem, V iki eksi V bir bölü on altı artı V iki bölü on iki eksi üç eşittir sıfırdır. Paydaları kaldırmak için kırk sekizle çarpalım. Üç V iki eksi üç V bir artı dört V iki eksi yüz kırk dört eşittir sıfır olur. Düzenleyince ikinci denklem eksi üç V bir artı yedi V iki eşittir yüz kırk dört çıkar.

5. 5. Denklem sistemini çöz

   

   (1)+(2): 6V₂=288 ⇒ V₂=48 V

   $3V_{1}-48=144 \Rightarrow V_{1}=64 V$

   V₁: 1+8−9=0

   V₂: −1+4−3=0

   Sesli anlatım metni

   İki denklemi birlikte çözelim. Birinci denklem üç V bir eksi V iki eşittir yüz kırk dört. İkinci denklem eksi üç V bir artı yedi V iki eşittir yüz kırk dört. Denklemleri topladığımızda V bir terimleri yok olur ve altı V iki eşittir iki yüz seksen sekiz bulunur. Buradan V iki kırk sekiz volttur. Bu değeri birinci denklemde yerine yazarsak üç V bir eksi kırk sekiz eşittir yüz kırk dört; dolayısıyla V bir altmış dört volttur. Şimdi kontrol edelim. V bir düğümünde on altı ohmluk koldan ayrılan akım altmış dört eksi kırk sekiz bölü on altıdan bir amper, sekiz ohmluk koldan ayrılan akım sekiz amperdir. Toplam dokuz amper, kaynağın düğüme verdiği akıma eşittir. V iki düğümünde V bire doğru tanımlanan akım kırk sekiz eksi altmış dört bölü on altıdan eksi bir amperdir. Toprağa giden akım dört amper, giren kaynak ise eksi üç amperdir. Eksi bir artı dört eksi üç sıfır eder. İki KCL denklemi de doğrulanır.

6. 6. Yöntem özeti

   Dal akımı = düğüm gerilimleri farkı / R

   Düğüme giren kaynak: eksi

   Düğümden çıkan kaynak: artı

   Sonucu KCL ile geri doğrula

   Sesli anlatım metni

   Düğüm gerilimleri yöntemini özetleyelim. Önce bir referans düğümü seç ve gerilimini sıfır kabul et. Kalan düğümleri isimlendir. Her direnç kolu için akımı düğüm gerilimleri farkı bölü direnç olarak yaz. Tek bir işaret kuralını baştan sona koru; burada düğümden ayrılan akımlar pozitif, düğüme giren kaynak akımları negatiftir. Her bilinmeyen düğüm için bir KCL denklemi oluştur, doğrusal sistemi çöz ve sonucun KCL'yi sağladığını akımları geri hesaplayarak doğrula. Bir sonraki adım, iki referans olmayan düğüm arasındaki gerilim kaynağını süper düğümle ele almaktır.