#15 Doğrusal durum ve çıkış denklemleri; RLC devresi ve DC motor için durum seçimi, matris modelleri ve integratör gerçekleştirimleri

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Durum uzayı gösteriminin hedefini kur

   

   Bu derste durum uzayı gösterimini öğreneceğiz.

   Transfer fonksiyonlarına güçlü bir alternatif olan bu yöntemde, durum denklemini ve çıkış denklemini matrislerle tanımlayacağız.

   Ardından iki örnek üzerinde uygulayacağız: Ar El Si devresi ve Di Si motor.

   Sesli anlatım metni

   Bu derste durum uzayı gösterimini öğreneceğiz. Transfer fonksiyonlarına güçlü bir alternatif olan bu yöntemde, durum denklemini ve çıkış denklemini matrislerle tanımlayacağız. Ardından iki örnek üzerinde uygulayacağız: Ar El Si devresi ve Di Si motor.

2. 2. Transfer fonksiyonu ile durum uzayını karşılaştır

   

   Şimdiye kadar sistemleri tanımlamak için transfer fonksiyonlarını kullandık.

   Transfer fonksiyonları iyi çalışır, ancak sınırlılıkları vardır.

   Transfer fonksiyonu sıfır-durum giriş–çıkış ilişkisini verir; MIMO sistemler transfer matrisiyle yazılabilir, fakat iç gerçekleştirim tekil değildir.

   Durum uzayı başlangıç koşullarını, iç değişkenleri ve çoklu giriş–çıkışları doğal biçimde ele alır.

   Durum vektörü, giriş bilindiğinde geleceği belirlemek için gerekli asgari iç bilgiyi taşır.

   Sesli anlatım metni

   Şimdiye kadar sistemleri tanımlamak için transfer fonksiyonlarını kullandık. Transfer fonksiyonları iyi çalışır, ancak sınırlılıkları vardır. Sıfır başlangıç koşulları varsayarlar, sadece tek girişli tek çıkışlı sistemleri ele alırlar ve iç dinamikleri gizlerler. Durum uzayı tüm bu sorunları çözer. Çoklu giriş ve çıkışları işleyebilir, başlangıç koşullarını dahil eder ve en önemlisi, durum vektörü sistemin tam iç belleğini yakalar.

3. 3. Durum ve çıkış denklemlerini tanımla

   

   Doğrusal zamanla değişmeyen, skaler u–w–y özel biçiminin iki denklemi vardır.

   Durum denklemi ẋ=Ax+bu+ow'dur.

   Burada x durum vektörü, u giriş ve w bozucudur.

   Çıkış denklemi y=cᵀx+du'dur.

   A sistem matrisi, b giriş vektörü, o bozucu vektörü, c transpoz çıkış vektörü ve d doğrudan geçiş skaleridir.

   Sesli anlatım metni

   Doğrusal durum uzayı modelinin iki denklemi vardır. Durum denklemi: x nokta eşittir A çarpı x, artı b çarpı u, artı o çarpı w. Burada x durum vektörü, u giriş ve w bozucudur. Çıkış denklemi: y eşittir c transpoz çarpı x, artı d çarpı u. A sistem matrisi, b giriş vektörü, o bozucu vektörü, c transpoz çıkış vektörü ve d doğrudan geçiş skaleridir.

4. 4. RLC devresinin durum değişkenlerini seç

   

   Ar El Si devresi için durum uzayı modelini türetelim.

   Önceki derslerden Ar El Si diferansiyel denklemini hatırlayın.

   Bu RLC gerçekleştiriminde iki bağımsız enerji depolama değişkeni bulunduğundan iki durum seçilir.

   u→L→(R∥C) topolojisinde x₁=iL ve x₂=uC seçilir.

   Giriş u kaynak gerilimi ve çıkış y endüktör akımıdır, yani y eşittir x bir.

   Sesli anlatım metni

   Ar El Si devresi için durum uzayı modelini türetelim. Önceki derslerden Ar El Si diferansiyel denklemini hatırlayın. Bu ikinci dereceden bir sistemdir, dolayısıyla iki durum değişkenine ihtiyacımız var. x bir olarak endüktör akımı i L'yi ve x iki olarak kapasitör gerilimi u C'yi seçiyoruz. Giriş u kaynak gerilimi ve çıkış y endüktör akımıdır, yani y eşittir x bir.

5. 5. RLC matris modelini kur

   

   Ar El Si durum denklemlerini matris formunda yazarsak, A matrisini elde ederiz.

   A=[[0,−1/L],[1/C,−1/(RC)]] olur.

   b=[1/L,0]ᵀ olur.

   cᵀ=[1,0] ve d=0'dır.

   A matrisinin devre dinamiklerini nasıl yakaladığına dikkat edin.

   Endüktans ve kapasitans, çapraz dışı terimler aracılığıyla etkileşir.

   Sesli anlatım metni

   Ar El Si durum denklemlerini matris formunda yazarsak, A matrisini elde ederiz. Birinci satırda sıfır ve eksi bir bölü L, ikinci satırda bir bölü C ve eksi bir bölü R C bulunur. Giriş vektörü b, bir bölü L ve sıfırdır. Çıkış vektörü c transpoz, bir ve sıfırdır ve d sıfıra eşittir. A matrisinin devre dinamiklerini nasıl yakaladığına dikkat edin. Endüktans ve kapasitans, çapraz dışı terimler aracılığıyla etkileşir.

6. 6. DC motorun durum değişkenlerini seç

   

   Şimdi durum uzayını ders 8 ve 9'daki Di Si motora uygulayalım.

   Motorun iki enerji depolama elemanı vardır: armatür endüktansı ve mekanik atalet.

   Bu nedenle iki durum seçiyoruz: x bir eşittir armatür akımı i a ve x iki eşittir açısal hız omega.

   Giriş armatür gerilimi u, bozucu yük torku Te El ve çıkış açısal hızdır, yani y eşittir x iki.

   Sesli anlatım metni

   Şimdi durum uzayını ders 8 ve 9'daki Di Si motora uygulayalım. Motorun iki enerji depolama elemanı vardır: armatür endüktansı ve mekanik atalet. Bu nedenle iki durum seçiyoruz: x bir eşittir armatür akımı i a ve x iki eşittir açısal hız omega. Giriş armatür gerilimi u, bozucu yük torku Te El ve çıkış açısal hızdır, yani y eşittir x iki.

7. 7. DC motor matris modelini kur

   

   DC motor için A'nın ilk satırı [−Rₐ/Lₐ,−cφ/Lₐ]'dır.

   A'nın ikinci satırı [cφ/J,0]'dır.

   b=[1/Lₐ,0]ᵀ olur.

   o=[0,−1/J]ᵀ olur.

   $\displaystyle Çıkış y=\left[0,1\right]x+0u=\omega 'dır.$

   Bu doğrudan ders 9'da oluşturduğumuz blok diyagrama bağlanır.

   O diyagramdaki her integratör bir durum değişkenine karşılık gelir.

   Sesli anlatım metni

   Di Si motor durum uzayı modelinin matris formu şöyledir: A matrisinin birinci satırında eksi R a bölü L a ve eksi c fi F bölü L a bulunur. İkinci satırda c fi F bölü J ve sıfır vardır. Giriş vektörü b, bir bölü L a ve sıfırdır. Bozucu vektörü o, sıfır ve eksi bir bölü J'dir. Çıkış, y eşittir sıfır, bir çarpı durum vektörü, artı sıfır çarpı u'dur. Bu doğrudan ders 9'da oluşturduğumuz blok diyagrama bağlanır. O diyagramdaki her integratör bir durum değişkenine karşılık gelir.

8. 8. İntegratör çıkışlarını durumlara bağla

   

   İntegratörlü bir durum gerçekleştiriminde her bağımsız integratör çıkışı bir durum değişkeni seçilebilir.

   İntegratör bloğu için durum denklemi basitçe x nokta eşittir u ve y eşittir x'tir.

   Birinci derece gecikme için x nokta eşittir bir bölü T çarpı K u eksi x ifadesidir.

   İkinci derece gecikme için iki durum ve iki integratöre ihtiyacımız vardır.

   Cebirsel çevrim içermeyen uygun bir integratör gerçekleştiriminde, durum denklemleri integratör giriş ve çıkışlarından okunabilir.

   Sesli anlatım metni

   İşte temel kavrayış: bir blok diyagramdaki her integratör bir durum değişkenini temsil eder. İntegratör bloğu için durum denklemi basitçe x nokta eşittir u ve y eşittir x'tir. Birinci derece gecikme için x nokta eşittir bir bölü T çarpı K u eksi x ifadesidir. İkinci derece gecikme için iki durum ve iki integratöre ihtiyacımız vardır. Bu, herhangi bir blok diyagramdan integratör çıkışlarını belirleyerek durum denklemlerini doğrudan okuyabileceğiniz anlamına gelir.

9. 9. Durum uzayı gösterimini toparla

   

   Özetlemek gerekirse: durum uzayı modeli iki matris denklemi kullanır.

   x nokta eşittir A x artı b u artı o w ve y eşittir c transpoz x artı d u.

   Bunu endüktör akımı ve kapasitör gerilimini durum olarak alarak Ar El Si devresi için ve armatür akımı ve açısal hızı durum olarak alarak Di Si motor için türettik.

   İntegratörlü bir gerçekleştirimde bağımsız integratör çıkışları durum değişkeni seçilebilir.

   Bir sonraki derste, durum uzayı modellerinden transfer fonksiyonlarına nasıl dönüştürüleceğini göstereceğiz.

   Sesli anlatım metni

   Özetlemek gerekirse: durum uzayı modeli iki matris denklemi kullanır. x nokta eşittir A x artı b u artı o w ve y eşittir c transpoz x artı d u. Bunu endüktör akımı ve kapasitör gerilimini durum olarak alarak Ar El Si devresi için ve armatür akımı ve açısal hızı durum olarak alarak Di Si motor için türettik. Bir blok diyagramdaki her integratör bir durum değişkenine karşılık gelir. Bir sonraki derste, durum uzayı modellerinden transfer fonksiyonlarına nasıl dönüştürüleceğini göstereceğiz.

Kaynak video: Kontrol Teorisi #15 — Durum Uzayı Gösterimi (4:43)