Kontrol Teorisi · Durum Uzayından Transfer Fonksiyonuna

#16 Sıfır başlangıç koşulunda durum uzayından transfer fonksiyonu türetme; DC motor doğrulaması ve standart blokların durum gerçekleştirimleri

Laplace dönüşümüyle durum modelini giriş–çıkış transfer fonksiyonuna çevirin ve standart blokların durum gerçekleştirimlerini okuyun.

Soru

Durum uzayı modelinden transfer fonksiyonu türetimini, DC motor doğrulamasını ve standart blokların durum gerçekleştirimlerini gösteren ders karesi.
Sıfır başlangıç koşulunda X(s)=(sI−A)⁻¹bU(s) çözümü çıkış denklemine yerleştirilerek G(s)=cᵀ(sI−A)⁻¹b+d elde edilir.

Sonlu boyutlu LTI modelde ẋ=Ax+bu ve y=cᵀx+du denklemlerinden G(s)=cᵀ(sI−A)⁻¹b+d bağıntısını türetin. DC motor modeliyle doğrulayın; integratör ile birinci ve ikinci derece blokların durum gerçekleştirimlerini kurun.

Yazılı çözüm ve anlatım dökümü(çözümün tamamını gösterir)

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

  1. 1. Durum uzayından transfer fonksiyonuna dönüşüm hedefini kur

    Durum uzayı modelinden transfer fonksiyonu türetimini, DC motor doğrulamasını ve standart blokların durum gerçekleştirimlerini gösteren ders karesi.
    Sıfır başlangıç koşulunda X(s)=(sI−A)⁻¹bU(s) çözümü çıkış denklemine yerleştirilerek G(s)=cᵀ(sI−A)⁻¹b+d elde edilir.
    Önceki derste fiziksel sistemler için durum uzayı modelleri yazmayı öğrendik.
    Şimdi ters yöne gidiyoruz.
    Verilen bir durum uzayı modelinden transfer fonksiyonunu nasıl buluruz?
    Genel bir formül türeteceğiz, DC motor örneğiyle doğrulayacağız ve ardından standart transfer fonksiyonu bloklarının durum uzayı karşılıklarını göstereceğiz.

    Sesli anlatım metni

    Önceki derste fiziksel sistemler için durum uzayı modelleri yazmayı öğrendik. Şimdi ters yöne gidiyoruz. Verilen bir durum uzayı modelinden transfer fonksiyonunu nasıl buluruz? Genel bir formül türeteceğiz, Di Si motor örneğiyle doğrulayacağız ve ardından standart transfer fonksiyonu bloklarının durum uzayı karşılıklarını göstereceğiz.

  2. 2. Laplace dönüşümüyle X(s) çözümünü bul

    Durum uzayı modelinden transfer fonksiyonu türetimini, DC motor doğrulamasını ve standart blokların durum gerçekleştirimlerini gösteren ders karesi.
    Sıfır başlangıç koşulunda X(s)=(sI−A)⁻¹bU(s) çözümü çıkış denklemine yerleştirilerek G(s)=cᵀ(sI−A)⁻¹b+d elde edilir.
    Durum denkleminden başlayalım: ẋ=Ax+bu.
    Her iki tarafın Laplace dönüşümünü alıyoruz, sıfır başlangıç koşullarını varsayarak.
    Sol taraf sX(s) olur.
    Sağ taraf AX(s)+bU(s) olur.
    Düzenlersek: sX(s)−AX(s)=bU(s).
    X(s) ortak çarpanını alırsak: (sI−A)X(s)=bU(s).
    Burada I birim matristir.

    Sesli anlatım metni

    Durum denkleminden başlayalım: x nokta eşittir A çarpı x artı b çarpı u. Her iki tarafın Laplace dönüşümünü alıyoruz, sıfır başlangıç koşullarını varsayarak. Sol taraf s çarpı X s olur. Sağ taraf A çarpı X s artı b çarpı U s olur. Düzenlersek: s çarpı X s eksi A çarpı X s eşittir b çarpı U s. X s'yi paranteze alırsak: s I eksi A, çarpı X s, eşittir b çarpı U s. Burada I birim matristir.

  3. 3. Transfer fonksiyonu formülünü türet

    Durum uzayı modelinden transfer fonksiyonu türetimini, DC motor doğrulamasını ve standart blokların durum gerçekleştirimlerini gösteren ders karesi.
    Sıfır başlangıç koşulunda X(s)=(sI−A)⁻¹bU(s) çözümü çıkış denklemine yerleştirilerek G(s)=cᵀ(sI−A)⁻¹b+d elde edilir.
    X(s) için çözersek: X(s)=(sI−A)⁻¹bU(s).
    Şimdi bunu çıkış denklemine yerleştirelim.
    Y(s)=cᵀX(s)+dU(s).
    Yerine koyunca Y(s)=[cᵀ(sI−A)⁻¹b+d]U(s) olur.
    Sıfır başlangıç koşulunda G(s)=cᵀ(sI−A)⁻¹b+d'dir.
    Bu, durum uzayı ile transfer fonksiyonları arasındaki temel ilişkidir.

    Sesli anlatım metni

    X s için çözersek: X s eşittir s I eksi A'nın tersi, çarpı b, çarpı U s. Şimdi bunu çıkış denklemine yerleştirelim. Y s eşittir c transpoz çarpı X s artı d çarpı U s. Bu bize şunu verir: Y s eşittir c transpoz çarpı s I eksi A'nın tersi çarpı b artı d, tümü çarpı U s. Transfer fonksiyonu bu nedenle: G s eşittir c transpoz çarpı s I eksi A'nın tersi çarpı b artı d. Bu, durum uzayı ile transfer fonksiyonları arasındaki temel ilişkidir.

  4. 4. Formülü DC motor modeliyle doğrula

    Durum uzayı modelinden transfer fonksiyonu türetimini, DC motor doğrulamasını ve standart blokların durum gerçekleştirimlerini gösteren ders karesi.
    Sıfır başlangıç koşulunda X(s)=(sI−A)⁻¹bU(s) çözümü çıkış denklemine yerleştirilerek G(s)=cᵀ(sI−A)⁻¹b+d elde edilir.
    Bu formülü DC motorla doğrulayalım.
    Ders 15'ten A'nın ilk satırı [−Rₐ/Lₐ,−cφ/Lₐ]'dır.
    A'nın ikinci satırı [cφ/J,0]'dır.
    b=[1/Lₐ,0]ᵀ olur.
    cᵀ=[0,1] olur.
    d=0 olur.
    sI−A=[[s+Rₐ/Lₐ,cφ/Lₐ],[−cφ/J,s]] olur.
    G(s)=[cφ/(LₐJ)]/[s²+(Rₐ/Lₐ)s+(cφ)²/(LₐJ)] elde edilir.
    Bu, ders 14'te blok diyagram sadeleştirmesiyle türettiğimiz sonuçla tam olarak eşleşir.

    Sesli anlatım metni

    Bu formülü Di Si motorla doğrulayalım. Ders 15'ten hatırlayın: A matrisinin birinci satırında eksi R a bölü L a ve eksi c fi F bölü L a bulunur. İkinci satırda c fi F bölü J ve sıfır vardır. b eşittir bir bölü L a ve sıfır. c transpoz eşittir sıfır ve bir. d eşittir sıfır. s I eksi A'yı hesaplarsak, birinci satırda s artı R a bölü L a ve c fi F bölü L a, ikinci satırda eksi c fi F bölü J ve s elde ederiz. Tersi hesaplayıp çarptıktan sonra, G s eşittir c fi F bölü L a J, bölü s kare artı R a bölü L a çarpı s artı c fi F kare bölü L a J. Bu, ders 14'te blok diyagram sadeleştirmesiyle türettiğimiz sonuçla tam olarak eşleşir.

  5. 5. İntegratörün durum gerçekleştirimini kur

    Durum uzayı modelinden transfer fonksiyonu türetimini, DC motor doğrulamasını ve standart blokların durum gerçekleştirimlerini gösteren ders karesi.
    Sıfır başlangıç koşulunda X(s)=(sI−A)⁻¹bU(s) çözümü çıkış denklemine yerleştirilerek G(s)=cᵀ(sI−A)⁻¹b+d elde edilir.
    Şimdi standart transfer fonksiyonu bloklarının durum uzayı modellerini bulalım.
    İlk olarak integratörün transfer fonksiyonu G(s)=1/s'dir.
    Durum ve çıkış denklemleri ẋ=u, y=x'tir.
    A=0, b=1, cᵀ=1 ve d=0'dır.
    Formülle G(s)=1·(s−0)⁻¹·1=1/s bulunur.
    Doğrulandı.

    Sesli anlatım metni

    Şimdi standart transfer fonksiyonu bloklarının durum uzayı modellerini bulalım. İlk olarak, G s eşittir bir bölü s transfer fonksiyonuna sahip integratör. Durum denklemi x nokta eşittir u ve çıkış y eşittir x'tir. Notasyonumuzda: A eşittir sıfır, b eşittir bir, c transpoz eşittir bir ve d eşittir sıfır. Formülü uygularsak: G s eşittir bir çarpı s'in tersi çarpı bir, bu da bir bölü s verir. Doğrulandı.

  6. 6. Birinci derece bloğun durum gerçekleştirimini kur

    Durum uzayı modelinden transfer fonksiyonu türetimini, DC motor doğrulamasını ve standart blokların durum gerçekleştirimlerini gösteren ders karesi.
    Sıfır başlangıç koşulunda X(s)=(sI−A)⁻¹bU(s) çözümü çıkış denklemine yerleştirilerek G(s)=cᵀ(sI−A)⁻¹b+d elde edilir.
    Sırada G(s)=K/(1+sT) birinci derece gecikmesi var.
    Durum denklemi ẋ=−x/T+(K/T)u'dur.
    Çıkış y=x'tir.
    A=−1/T, b=K/T, cᵀ=1 ve d=0'dır.
    Formülde sI−A=s+1/T olur.
    Tersi (s+1/T)⁻¹'dir.
    Çarpınca G(s)=K/(Ts+1) elde edilir.
    Tam beklediğimiz gibi.

    Sesli anlatım metni

    Sırada, G s eşittir K bölü bir artı s T transfer fonksiyonuna sahip birinci derece gecikme var. Durum denklemi x nokta eşittir eksi bir bölü T çarpı x artı K bölü T çarpı u'dur. Çıkış y eşittir x'tir. A eşittir eksi bir bölü T, b eşittir K bölü T, c transpoz eşittir bir ve d eşittir sıfırdır. Formülü uygularsak: s I eksi A eşittir s artı bir bölü T. Tersi, bir bölü s artı bir bölü T'dir. Çarparsak: G s eşittir K bölü T s artı bir'e sadeleşir. Tam beklediğimiz gibi.

  7. 7. İkinci derece bloğun durum gerçekleştirimini kur

    Durum uzayı modelinden transfer fonksiyonu türetimini, DC motor doğrulamasını ve standart blokların durum gerçekleştirimlerini gösteren ders karesi.
    Sıfır başlangıç koşulunda X(s)=(sI−A)⁻¹bU(s) çözümü çıkış denklemine yerleştirilerek G(s)=cᵀ(sI−A)⁻¹b+d elde edilir.
    Son olarak G(s)=K/(1+2DTs+T²s²) ikinci derece gecikmesini ele alalım.
    Bu ikinci derece, minimal gerçekleştirim için iki durum değişkeni gerektirir.
    ẋ₁=x₂ ve ẋ₂=−x₁/T²−(2D/T)x₂+(K/T²)u seçilir.
    Çıkış y=x₁'dir.
    A=[[0,1],[−1/T²,−2D/T]] olur.
    Minimal, uygun rasyonel gerçekleştirimde durum sayısı McMillan derecesidir; kutup–sıfır sadeleşmeleri hesaba katılır.

    Sesli anlatım metni

    Son olarak, G s eşittir K bölü bir artı 2 D T s artı T kare s kare transfer fonksiyonuna sahip ikinci derece gecikme. İkinci dereceden bir sistem olduğu için iki durum değişkeni gerektirir. x bir nokta eşittir x iki, ve x iki nokta eşittir eksi bir bölü T kare çarpı x bir, eksi 2 D bölü T çarpı x iki, artı K bölü T kare çarpı u olarak belirleriz. Çıkış y eşittir x birdir. A matrisi birinci satırda sıfır ve bir, ikinci satırda eksi bir bölü T kare ve eksi 2 D bölü T'dir. Bu kalıp genelleşir: herhangi bir n'inci dereceden transfer fonksiyonu n durum değişkeni gerektirir.

  8. 8. Blok diyagramdan durum denklemlerini oku

    Durum uzayı modelinden transfer fonksiyonu türetimini, DC motor doğrulamasını ve standart blokların durum gerçekleştirimlerini gösteren ders karesi.
    Sıfır başlangıç koşulunda X(s)=(sI−A)⁻¹bU(s) çözümü çıkış denklemine yerleştirilerek G(s)=cᵀ(sI−A)⁻¹b+d elde edilir.
    İşte pratik bir kural: bir blok diyagramdan durum uzayı denklemlerini okumak için her integratörü belirleyin.
    İntegratörlü bir gerçekleştirimde bağımsız integratör çıkışları durum değişkeni seçilebilir.
    Ardından her durum türevini yazmak için sinyalleri takip edin.
    Örneğin, bir K kazancı ve bir integratör içeren geri besleme döngüsünde, integratör çıkışı tek durum x'tir.
    Durum denklemi ẋ=K(r−x) olur.
    Bu yaklaşım cebirsel çevrim içermeyen uygun integratör gerçekleştirimlerinde sistematik olarak çalışır.

    Sesli anlatım metni

    İşte pratik bir kural: bir blok diyagramdan durum uzayı denklemlerini okumak için her integratörü belirleyin. Her integratörün çıkışı bir durum değişkeni olur. Ardından her durum türevini yazmak için sinyalleri takip edin. Örneğin, bir K kazancı ve bir integratör içeren geri besleme döngüsünde, integratör çıkışı tek durum x'tir. Durum denklemi x nokta eşittir K çarpı referans eksi x olur. Bu sistematik yaklaşım ne kadar karmaşık olursa olsun herhangi bir blok diyagram için çalışır.

  9. 9. Durum uzayı–transfer fonksiyonu dönüşümünü toparla

    Durum uzayı modelinden transfer fonksiyonu türetimini, DC motor doğrulamasını ve standart blokların durum gerçekleştirimlerini gösteren ders karesi.
    Sıfır başlangıç koşulunda X(s)=(sI−A)⁻¹bU(s) çözümü çıkış denklemine yerleştirilerek G(s)=cᵀ(sI−A)⁻¹b+d elde edilir.
    Özetle, sıfır başlangıç koşulunda G(s)=cᵀ(sI−A)⁻¹b+d bağıntısını türettik.
    DC motor örneğiyle doğruladık ve ders 14'teki blok diyagram sadeleştirmesiyle eşleştiğini gösterdik.
    İntegratör, birinci derece gecikme ve ikinci derece gecikmenin durum uzayı karşılıklarını gösterdik.
    Cebirsel çevrim içermeyen uygun gerçekleştirimlerde bağımsız integratör çıkışlarından durum denklemlerini okumayı öğrendik.
    Bir sonraki derste doğrusal olmayan sistem modellemeyi inceleyeceğiz.

    Sesli anlatım metni

    Özetlemek gerekirse: durum uzayından transfer fonksiyonunu G s eşittir c transpoz çarpı s I eksi A'nın tersi çarpı b artı d olarak türettik. Di Si motor örneğiyle doğruladık ve ders 14'teki blok diyagram sadeleştirmesiyle eşleştiğini gösterdik. İntegratör, birinci derece gecikme ve ikinci derece gecikmenin durum uzayı karşılıklarını gösterdik. Ve integratör çıkışlarını belirleyerek blok diyagramlardan durum denklemlerini doğrudan okumayı öğrendik. Bir sonraki derste doğrusal olmayan sistem modellemeyi inceleyeceğiz.

Kaynak video: Kontrol Teorisi #16 — Durum Uzayından Transfer Fonksiyonuna (6:03)