#01 Dinamiğe Giriş ve Doğrusal Hareket

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Dinamik Dersine Hoş Geldiniz

   

   Herkese selamlar! Dinamik dersine hoş geldiniz

   Kaynak kitap: R. C. Hibbeler, Engineering Mechanics: Dynamics, 14. baskı — konu sırası ve gösterim; örnekler bize ait

   Ön bilgi: Statik + biraz türev ve integral (yeri gelince hatırlatılır)

   Her derste: bir konu · üç boyutlu animasyon · adım adım çözüm

   Sesli anlatım metni

   Herkese selamlar, Dinamik dersine hoş geldiniz. Statik derslerinde cisimler ya duruyordu ya da sabit hızla gidiyordu; bütün kuvvetler dengedeydi. Dinamikte ise cisimler hızlanıyor, yavaşlıyor ve yön değiştiriyor: fren yapan bir otomobil, havaya atılan bir top, kalkışa geçen bir asansör. Dinamik iki parçadan oluşur. Birincisi kinematik: hareketin geometrisi, yani konum, hız ve ivme. Hareketin nasıl olduğunu, neden olduğuna bakmadan anlatır. İkincisi kinetik: hareketi doğuran kuvvetler, yani Newton'un ikinci yasası. Önce boyutunu ihmal ettiğimiz parçacığın hareketini, sonra dönen ve öteleyen rijit cisimleri inceleyeceğiz. İlk on derste doğrusal hareketle başlayıp grafiklere, eğrisel harekete ve eğik atışa, farklı koordinat sistemlerine ve bağıl harekete geçeceğiz; sonra Newton'un ikinci yasası ve iş enerji ilkesi gelecek. Kaynak kitabımız Hibbeler'in Dinamik kitabı, on dördüncü baskı. Konu sırasını ve gösterimi oradan izliyoruz, örneklerimiz ise bize ait. Ön bilgi olarak Statik ile biraz türev ve integral yeterli; gerekeni yeri gelince hatırlatacağım. Her derste bir konu, üç boyutlu animasyonlar ve hiçbir işlem atlanmadan adım adım çözüm olacak. Hadi başlayalım.

2. 2. Fren Mesafesi: Kaç Kat?

   

   Aynı yol, aynı fren · biri 50, diğeri 100 km/h

   Hızlı olan kaç kat uzun mesafede durur?

   İlk tahmin: 2 kat ✗ → doğrusu: 4 kat

   Sesli anlatım metni

   İlk konumuz doğrusal hareket. Bir soruyla başlayalım. Aynı yolda iki otomobil var, frenleri de aynı. Biri saatte 50, diğeri saatte 100 kilometreyle gidiyor ve ikisi aynı çizgide frene basıyor. Hızlı olan kaç kat uzun mesafede durur? Çoğumuzun ilk cevabı iki kat. Oysa doğru cevap dört kat. Bu dersin sonunda bunu kendi hesabınızla göreceksiniz.

3. 3. Konum, Yer Değiştirme, Alınan Yol

   

   parçacık: kütlesi var, boyutu ihmal

   otomobil de: dönme ihmal, kütle merkezinin hareketi

   doğrusal hareket: tek eksen, s

   sabit başlangıç O ve pozitif yön (→ +)

   konum s: O'dan işaretli uzaklık

   yer değiştirme:

   $\displaystyle \Delta s = s′ - s$

   (son − ilk)

   alınan yol s_T: toplam yol, hep pozitif

   koşucu: 30 m ileri, sonra 10 m geri

   $\displaystyle \Delta s = 30 - 10 = +20 m$

   $\displaystyle s_{T} = 30 + 10 = 40 m$

   Sesli anlatım metni

   Önce birkaç tanım. Parçacık, kütlesi olan ama boyutu hesaba katılmayan bir cisimdir. Bir otomobil de, dönmesini ihmal edip kütle merkezinin hareketine baktığımız sürece parçacıktır. Doğrusal harekette parçacığın yeri tek bir eksenle verilir. Sabit bir başlangıç noktası O seçer, bir de pozitif yön belirleriz. Konum, O noktasından parçacığa olan işaretli uzaklıktır. Yer değiştirme, konumdaki değişimdir: son konum eksi ilk konum. Alınan yol ise gidilen toplam yoldur ve hep pozitiftir. Bir örnek: bir koşucu 30 metre ileri koşuyor, sonra 10 metre geri dönüyor. Yer değiştirmesi 30 eksi 10, artı 20 metre. Aldığı yol ise 30 artı 10, 40 metre.

4. 4. Hız

   

   koşucu:

   $\displaystyle \Delta t = 10 s$

   ortalama hız = Δs / Δt = 20 / 10 = 2 m/s

   ortalama sürat = s_T / Δt = 40 / 10 = 4 m/s

   geri dönüş: Δs azalır, yol artar → farklı

   Δt → 0: ortalama hız → anlık hız

   v = ds/dt (konumun türevi)

   işaret = yön: ileri → v > 0 · geri → v < 0

   sürat = |v| (hızın büyüklüğü)

   Sesli anlatım metni

   Koşucu bu hareketi 10 saniyede yaptıysa iki ayrı ortalama tanımlarız. Ortalama hız, yer değiştirme bölü süredir: 20 bölü 10, saniyede 2 metre. Ortalama sürat ise alınan yol bölü süredir: 40 bölü 10, saniyede 4 metre. İkisi farklı, çünkü geri dönüş yer değiştirmeyi azaltır ama yolu artırır. Süreyi küçülttükçe ortalama hız, o anki hıza yaklaşır. Anlık hız, konumun zamana göre türevidir. Hızın işareti yönü söyler: parçacık pozitif yönde gidiyorsa hız artı, geri geliyorsa eksidir. Hızın büyüklüğüne de sürat denir.

5. 5. İvme

   

   a = dv/dt = d²s/dt² (hızın türevi)

   a, v ile aynı yönde → hızlanır · zıt → yavaşlar

   tuzak: v = 0 ise a = 0 mı?

   tepede an:

   $\displaystyle v = 0$

   ama a = 9.81 m/s² aşağı

   a = 0 olsaydı top havada asılı kalırdı

   dt'yi yok et: dt = ds / v = dv / a

   a ds = v dv → konum ile hızı bağlar

   Sesli anlatım metni

   Hız değişiyorsa bir ivme vardır. Anlık ivme, hızın zamana göre türevidir; yani konumun ikinci türevi. İvme ile hız aynı yöndeyse cisim hızlanır; zıt yöndeyse yavaşlar, buna yavaşlama deriz. Burada klasik bir tuzak var: hız sıfırsa ivme de sıfır mıdır? Havaya dik atılan bir topu düşünün. En tepede bir an durur, hızı sıfırdır. Ama ivmesi hâlâ 9.81 metre bölü saniye kare, aşağı doğru. İvme sıfır olsaydı top orada asılı kalırdı. Son olarak, iki türev tanımından zamanı yok edersek üçüncü bir bağıntı çıkar: ivme çarpı konumdaki küçük değişim, hız çarpı hızdaki küçük değişime eşittir. Bu bağıntı konumla hızı doğrudan bağlar; fren mesafesinde işimize yarayacak.

6. 6. Sabit İvme: Üç Formül

   

   Başlangıç (t = 0): konum s₀, hız v₀

   $\displaystyle v = v₀ + a_{c} t$

   $\displaystyle s = s₀ + v₀ t + ½ a_{c} t²$

   $\displaystyle v² = v₀² + 2 a_{c} \left(s - s₀\right)$

   Yalnız ivme sabitken geçerli!

   Serbest düşme (hava direnci yok):

   $\displaystyle a = 9.81 m/s² aşağı$

   Sesli anlatım metni

   İvme sabitse bu bağıntıları integre edip üç hazır formül elde ederiz. Başlangıç anındaki konuma ilk konum, hıza da ilk hız diyelim. Birinci formül hızı verir: son hız, ilk hıza ivme çarpı zamanın eklenmesiyle bulunur. İkinci formül konumu verir: ilk konuma, ilk hız çarpı zaman ile yarım çarpı ivme çarpı zamanın karesi eklenir. Üçüncü formül zamanı içermez: son hızın karesi, ilk hızın karesine iki çarpı ivme çarpı yer değiştirmenin eklenmesiyle bulunur. Dikkat: bu üç formül yalnızca ivme sabitken geçerlidir. İvme zamana, hıza ya da konuma bağlıysa integrali kendimiz alırız; bunu bir sonraki derste yapacağız. Hava direncini ihmal edersek serbest düşme sabit ivmeye güzel bir örnektir: ivme 9.81 metre bölü saniye kare.

7. 7. Fren Sorusunu Çözelim

   

   → + : gidiş yönü · a = −6 m/s² (sabit)

   $\displaystyle v₀ =\frac{ 50 }{ 3.6 }\approx \frac{ 13.89 m}{s}$

   durunca v = 0

   zaman yok → ③ v² = v₀² + 2 a s

   $\displaystyle 0 = 13.89² + 2 \cdot \left(-6\right) \cdot s$

   $\displaystyle 13.89² \approx 192.9 \cdot 2 \cdot 6 = 12$

   $\displaystyle s =\frac{ 192.9 }{ 12 }\approx 16.1 m$

   100 km/h:

   $\displaystyle \frac{100 }{ 3.6 }\approx \frac{ 27.78 m}{s}$

   $\displaystyle 27.78² \approx 771.7 \to \frac{ 771.7 }{ 12 }\approx 64.3 m$

   $\displaystyle \frac{64.3 }{ 16.1 }\approx 4$

   s ∝ v₀²: hız ×2 → mesafe ×2² = ×4

   t = v₀ / 6: 2.31 s · 4.63 s (yalnız ×2)

   tepki ≈ 1 s: +13.9 m · +27.8 m

   toplam ≈ 30 m ve 92 m

   Sesli anlatım metni

   Şimdi fren sorusunu çözelim. Pozitif yönü otomobilin gidiş yönü seçiyoruz; fren ivmesi sabit ve gidişe zıt: eksi 6 metre bölü saniye kare. Önce birim çevirme: saatte 50 kilometreyi 3.6'ya bölüyoruz, yaklaşık saniyede 13.89 metre. Otomobil durduğunda son hız sıfır. Zaman bilinmediği için üçüncü formülü kullanıyoruz: sıfır, 13.89'un karesi artı iki çarpı eksi 6 çarpı durma mesafesi. 13.89'un karesi yaklaşık 192.9; iki çarpı 6, 12; 192.9 bölü 12, yaklaşık 16.1 metre. Saatte 100 kilometre için: 100 bölü 3.6, yaklaşık 27.78; karesi yaklaşık 771.7; bölü 12, yaklaşık 64.3 metre. Oran: 64.3 bölü 16.1, yaklaşık 4. Aslında tam 4: formülde mesafe hızın karesiyle büyür; hız iki katına çıkınca mesafe iki kare, yani dört katına çıkar. Durma süresi ise hızla doğru orantılıdır: 13.89 bölü 6, yaklaşık 2.31 saniye; öteki 4.63 saniye, yalnızca iki katı. Gerçek hayatta buna bir de tepki mesafesi eklenir: sürücü frene basana kadar geçen yaklaşık 1 saniyede otomobil 13.9 ya da 27.8 metre daha gider. Toplam durma mesafeleri yaklaşık 30 ve 92 metre.

8. 8. Havaya Atılan Top

   

   v₀ = 12 m/s (yukarı)

   +↑ seçtik → a = −9.81 m/s²

   tepede v = 0

   $\displaystyle ① 0 = 12 - 9.81 \cdot t$

   $\displaystyle t =\frac{ 12 }{ 9.81 }\approx 1.22 s$

   $\displaystyle ③ 0 = 12² - 2 \cdot 9.81 \cdot h$

   $\displaystyle 12² = 144 \cdot 2 \cdot 9.81 = 19.62$

   $\displaystyle h =\frac{ 144 }{ 19.62 }\approx 7.34 m$

   tepede v = 0 ama a = −9.81 m/s²

   t ≈ 2.45 s: ele döner, v = −12 m/s (aynı sürat, ters yön)

   Sesli anlatım metni

   Şimdi havaya atılan topa sayılarla bakalım. Top elden saniyede 12 metreyle dik yukarı atılıyor. Bu kez yukarıyı pozitif seçiyoruz; o zaman yerçekimi ivmesi eksi 9.81. En tepede hız sıfır. Birinci formülden: sıfır, 12 eksi 9.81 çarpı zaman; zaman 12 bölü 9.81, yaklaşık 1.22 saniye. Üçüncü formülden yükseklik: 12'nin karesi 144; bölü iki çarpı 9.81, yani 19.62; yaklaşık 7.34 metre. O anda hız sıfır ama ivme hâlâ eksi 9.81. Top 2.45 saniye sonra ele döner ve hızı eksi 12'dir: aynı sürat, ters yön.

9. 9. Üç Klasik Tuzak

   

   ① Yer değiştirme ile alınan yolu karıştırmak → geri dönüş varsa ikisi farklı

   ② Sabit ivme formüllerini ivme değişirken kullanmak → önce: a sabit mi?

   ③ İşaretleri karıştırmak → yukarı pozitifse a = −9.81 m/s²

   Sesli anlatım metni

   Üç klasik tuzak. Bir: yer değiştirme ile alınan yolu karıştırmak; geri dönüş varsa ikisi farklıdır. İki: sabit ivme formüllerini ivme değişirken kullanmak; önce ivmenin gerçekten sabit olduğunu kontrol edin. Üç: işaretleri karıştırmak; pozitif yönü baştan seçin, yukarı pozitifse yerçekimi ivmesi eksidir.

10. 10. Özet ve Sıradaki Ders

    

    50 → 100 km/h: fren mesafesi 16.1 → 64.3 m · hız ×2, mesafe ×4

    Sıradaki ders: değişken ivme — a(t), a(v), a(s) ile integral

    Sesli anlatım metni

    Fren sorusuna dönelim: hız saatte 50'den 100'e çıkınca fren mesafesi 16.1 metreden 64.3 metreye çıkıyor; hız iki katı, mesafe dört katı. Özetle: konum, yer değiştirme, hız ve ivmeyi tanımladık. Hız konumun, ivme de hızın zamana göre türevi. İvme sabitse üç hazır formül var; zamanı içermeyen üçüncüsü fren mesafesinin anahtarı. Bir sonraki derste ivmenin zamana, hıza ya da konuma bağlı olduğu durumları integralle çözeceğiz. Görüşmek üzere.

Kaynak video: Dinamiğe Giriş ve Doğrusal Hareket (7:38)