#04 Eğrisel Hareket ve Eğik Atış

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Geçen Ders ve Bugün

   

   Geçen derste: hareket grafikleri — eğim ve alan

   Şimdiye kadar: düz çizgi (tek eksen)

   Bugün: eğrisel hareket — vektörler, x–y bileşenleri, eğik atış

   Sesli anlatım metni

   Merhaba, Dinamik dersinin dördüncü videosuna hoş geldiniz. Geçen derste hareketi grafiklerle okuduk: eğim ve alan. Şimdiye kadar hep düz bir çizgi üzerindeydik. Bugün düz çizgiden çıkıyoruz: eğrisel hareket. Konum, hız ve ivme artık birer vektör; onları yatay ve düşey bileşenlerine ayıracağız ve bu yolla eğik atışı çözeceğiz.

2. 2. Hangisi Önce Düşer?

   

   Yatay hareket düşmeyi etkilemez: düşey hareketler tıpatıp aynı

   Sesli anlatım metni

   Bir soruyla başlayalım. 5 metre yüksekliğindeki bir balkondan iki top aynı anda bırakılıyor: biri elden düşüyor, öteki saniyede 6 metre hızla yatay fırlatılıyor. Hangisi yere önce düşer? Çoğumuz, yatay giden top daha uzun yol aldığı için daha geç düşer diye düşünürüz. Ama ikisi de aynı anda, yaklaşık 1.01 saniyede yere çarpar. Fırlatılan top bu sürede 6.06 metre ileri gider. Neden? Çünkü yatay hareket düşmeyi hiç etkilemez: iki topun düşeydeki hareketi tıpatıp aynıdır.

3. 3. Eğrisel Hareket: Konum, Hız ve İvme Vektörleri

   

   konum: r (sabit O noktasından)

   yer değiştirme:

   $\displaystyle \Delta r = r′ - r$

   hız: v = dr/dt → her zaman yola teğet

   sürat = |v|

   ivme: a = dv/dt

   a genellikle yola teğet değil!

   v yön değiştirir → a eğrinin iç (çukur) tarafına

   Sesli anlatım metni

   Önce genel çerçeve. Parçacık eğri bir yol izlediğinde konumunu, sabit bir O noktasından çizilen konum vektörüyle, r ile gösteririz. Kısa bir sürede parçacık yol boyunca ilerler; iki konum vektörünün farkı yer değiştirmedir. Hız, konum vektörünün zamana göre türevidir ve her zaman yola teğettir; büyüklüğüne sürat deriz. İvme ise hız vektörünün türevidir. Dikkat: ivme genellikle yola teğet değildir. Hız hem büyüklük hem yön değiştirir; yön değişimi hız vektörünü eğrinin iç tarafına çevirdiği için ivme de içeriyi, yani çukur tarafı gösterir.

4. 4. Dik Bileşenler: x ve y Ayrı Ayrı

   

   $\displaystyle r = x i + y j$

   v = vx i + vy j · vx = dx/dt, vy = dy/dt

   a = ax i + ay j · ax = dvx/dt, ay = dvy/dt

   sabit eksenler → her eksende ayrı doğrusal hareket

   yatay: ax = 0 → vx = 6 m/s (sabit)

   düşey: ay = −9.81 m/s²

   t = 0.5 s:

   $\displaystyle x = 6 \cdot 0.5 = 3 m$

   $\displaystyle y = 5 - ½ \cdot 9.81 \cdot 0.5² = 5 - 1.23 \approx 3.77 m$

   vx = 6 · vy = −9.81 · 0.5 = −4.905 m/s

   v = √(vx² + vy²) = √(36 + 24.06) = √60.06 ≈ 7.75 m/s

   yön:

   $\displaystyle \tan \theta =\frac{ 4.905 }{ 6 }\to \theta \approx 39.3^{\circ}$

   (yatayın altında)

   Sesli anlatım metni

   Vektörlerle hesap yapmanın en kolay yolu, onları sabit yatay ve düşey eksenlere ayırmak. Konum vektörü, yatay ve düşey bileşenlerin toplamıdır. Hız bileşenleri, bu koordinatların zamana göre türevleri; ivme bileşenleri de hız bileşenlerinin türevleri. Eksenler sabit olduğu için her eksende ayrı bir doğrusal hareket vardır; geçen derslerin bütün araçları olduğu gibi geçerli. Balkon örneğine dönelim. Hava direnci yoksa yatay ivme sıfır: yatay hız hep saniyede 6 metre. Düşey ivme eksi 9.81. Yarım saniyede: yatay konum 6 çarpı 0.5, 3 metre. Yükseklik 5 eksi yarım çarpı 9.81 çarpı 0.25, yaklaşık 3.77 metre. Hız bileşenleri: yatayda 6, düşeyde eksi 9.81 çarpı 0.5, eksi 4.905. Sürat, bileşenlerin karelerinin toplamının karekökü: 36 artı yaklaşık 24.06, 60.06; karekökü yaklaşık 7.75 metre bölü saniye. Yönü, yatayın 39.3 derece altında.

5. 5. İtfaiye Su Topu: Su Ne Hızla Çıkmalı?

   

   O: su topunun ağzı · x → bina, y ↑

   bilinmeyenler: v₀ ve t

   yatay:

   $\displaystyle 12 = v₀ \cos 45^{\circ} \cdot t$

   düşey:

   $\displaystyle 10 - 1.5 = 8.5 = v₀ \sin 45^{\circ} \cdot t - ½ \cdot 9.81 \cdot t²$

   $\displaystyle \sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ} \to v₀ \sin 45^{\circ} \cdot t = 12$

   $\displaystyle 8.5 = 12 - 4.905 t² \to t² =\frac{ 3.5 }{ 4.905 }\approx 0.714$

   $\displaystyle t \approx 0.845 s$

   $\displaystyle v₀ =\frac{ 12 }{0.707 \cdot 0.845}\approx \frac{ 20.1 m}{s }\to v₀x = v₀y \approx \frac{ 14.2 m}{s}$

   pencerede: vy = 14.2 − 9.81 · 0.845 ≈ +5.9 m/s

   vy > 0: su hâlâ yükseliyor → tepeye varmadan çarpar

   Sesli anlatım metni

   Şimdi bir mühendislik sorusu. Bir itfaiye aracının su topunun ağzı yerden 1.5 metre yüksekte ve su 45 derecelik açıyla çıkıyor. Hedef, yatayda 12 metre uzaktaki binanın 10 metre yüksekliğindeki penceresi. Su ne hızla çıkmalı? Önce eksenler: başlangıç noktası su topunun ağzı, yatay eksen binaya doğru, düşey eksen yukarı. Bilinmeyenler: çıkış hızı ve uçuş süresi. Yatayda: 12, hız çarpı kosinüs 45 çarpı zamana eşit. Düşeyde: 10 eksi 1.5, yani 8.5, hız çarpı sinüs 45 çarpı zaman, eksi yarım çarpı 9.81 çarpı zamanın karesine eşit. 45 derecede sinüs ve kosinüs eşit olduğu için, hız çarpı sinüs 45 çarpı zaman da 12 eder. O zaman 8.5, 12 eksi 4.905 çarpı zamanın karesine eşit; zamanın karesi 3.5 bölü 4.905, yaklaşık 0.714; zaman yaklaşık 0.845 saniye. Çıkış hızı: 12 bölü, 0.707 çarpı 0.845; yaklaşık saniyede 20.1 metre. Pencereye vardığında düşey hız 14.2 eksi 9.81 çarpı 0.845, yaklaşık artı 5.9: su hâlâ yükseliyor, en yüksek noktasına varmadan pencereye çarpıyor.

6. 6. Menzil: Hangi Açıda En Uzağa?

   

   aynı seviyeye iniş:

   $\displaystyle t =\frac{ 2 v₀ \sin \theta }{ g}$

   menzil:

   $\displaystyle R = v₀ \cos \theta \cdot t$

   $\displaystyle R = v₀² \cdot \frac{ 2 \sin \theta \cos \theta }{ g }=\frac{ v₀² \sin 2\theta }{ g}$

   30°:

   $\displaystyle 400 \cdot \frac{ \sin 60^{\circ} }{ 9.81 }\approx 35.3 m$

   45°:

   $\displaystyle \sin 90^{\circ} = 1 \to \frac{ 400 }{ 9.81 }\approx 40.8 m$

   60°: yine ≈ 35.3 m

   30° + 60° = 90° → aynı menzil

   en uzak: 45° (hava direnci açıyı biraz düşürür)

   Sesli anlatım metni

   Son bir soru: saniyede 20 metreyle vurulan bir top hangi açıda en uzağa gider? Top aynı seviyeye düşüyorsa uçuş süresi, 2 çarpı düşey hız bölü g; menzil de yatay hız çarpı uçuş süresi. Bunları birleştirince menzil: hızın karesi çarpı iki katı açının sinüsü, bölü g. 30 derecede: 400 çarpı sinüs 60, bölü 9.81, yaklaşık 35.3 metre. 45 derecede sinüs 90, yani 1: 400 bölü 9.81, yaklaşık 40.8 metre. 60 derecede yine 35.3 metre: 30 ve 60 derece, toplamı 90 olan açılar, aynı menzili verir. En uzak menzil 45 derecede; gerçekte hava direnci bu açıyı biraz düşürür.

7. 7. Üç Klasik Tuzak

   

   ① Yatay hızın değiştiğini sanmak → hava direnci yoksa vx sabit

   ② Tepede hızı sıfır sanmak → yalnız vy = 0; vx sürer, a = g

   ③ İki bileşen için farklı süre → süre ortak

   Sesli anlatım metni

   Üç klasik tuzak. Bir: yatay hızın değiştiğini sanmak; hava direnci yoksa yatay hız hiç değişmez. İki: tepede hızın sıfır olduğunu sanmak; tepede yalnız düşey hız sıfırdır, yatay hız sürer ve ivme yine g'dir. Üç: yatay ve düşey hareket için farklı süreler kullanmak; iki bileşen aynı saati paylaşır, süre ortaktır.

8. 8. Özet ve Sıradaki Ders

   

   Hız yola teğet, ivme eğrinin içine

   Sabit x–y eksenleri: her bileşen ayrı doğrusal hareket

   Eğik atış: ax = 0, ay = −g; ortak zaman

   Sıradaki ders: normal ve teğetsel bileşenler

   Sesli anlatım metni

   Özetleyelim. Eğrisel harekette hız yola teğettir, ivme ise eğrinin içine döner. Sabit yatay ve düşey eksenlerde her bileşen ayrı bir doğrusal harekettir. Eğik atışta yatay ivme sıfır, düşey ivme eksi g; iki bileşeni ortak zaman bağlar. Bir sonraki derste eksenleri yolun kendisine bağlayacağız: normal ve teğetsel bileşenler. Görüşmek üzere.

Kaynak video: Eğrisel Hareket ve Eğik Atış (5:33)