#49 Geçici Analiz #49 — Eksik sönümlü ve sönümsüz paralel RLC

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Salınımlı iki durumu ayır

   

   Karakteristik kökleri α ve ω₀ karşılaştırması belirler

   0<α<ω₀ → eksik sönümlü

   α=0 → sönümsüz

   Her iki durumda da karmaşık eşlenik kökler vardır

   Eksik sönümde genlik azalır

   Sönümsüz durumda genlik sabit kalır

   Sesli anlatım metni

   Önceki derste ikinci derece cevabın salınımsız tarafını gördük. Şimdi salınımlı durumlara geçiyoruz. Bu durumlar, kökler artık iki farklı gerçek sayı olmadığında ortaya çıkar. Paralel RLC devresi için yine temel soru alfa ile omega sıfır arasındaki ilişkidir. Bu derste underdamped durumu ve ideal undamped sınırını inceleyeceğiz.

2. 2. Eksik sönümlü çözüm biçimi

   

   Koşul:

   $\displaystyle 0<\alpha <\omega ₀$

   $\displaystyle s₁,₂=-\alpha \pm j\omega _{d}$

   $\displaystyle \omega _{d}=\sqrt{\omega ₀²-\alpha ²}$

   ω_d: sönümlü doğal açısal frekans

   $\displaystyle x_{n}=e^{-\alpha t}\left[B₁\cos \left(\omega _{d}t\right)+B₂\sin \left(\omega _{d}t\right)\right]$

   e^−αt zarfı tepe genliklerini küçültür

   Salınım sürer ama enerji her çevrimde azalır

   Sesli anlatım metni

   Önce underdamped durumu ele alalım. Burada alfa, omega sıfırdan küçüktür. Karakteristik kökler, negatif alfa artı eksi j omega d biçiminde karmaşık eşlenik hale gelir. Buradaki omega d, omega sıfır kare eksi alfa kare ifadesinin kareköküdür. Doğal cevap bu yüzden e üzeri eksi alfa t ile çarpılan salınımlı bir terim biçimini alır. Yani dalga şekli salınır; fakat genliği üstel bir zarf altında giderek küçülür.

3. 3. Eksik sönümlü sayısal örnek

   

   α=0,45 s⁻¹, ω₀=2,2 rad/s

   ω_d=√(2,2²−0,45²)≈2,1535 rad/s

   Zarf zaman sabiti:

   $\displaystyle \frac{1}{\alpha }\approx 2,222 s$

   Salınım periyodu:

   $\displaystyle T_{d}=\frac{2\pi }{\omega _{d}}\approx 2,918 s$

   $\displaystyle x_{n}=e^{-0,45t}\left[B₁\cos \left(2,1535t\right)+B₂\sin \left(2,1535t\right)\right]$

   B₁ ve B₂ başlangıç koşullarından bulunur

   Sönüm zarfı ve salınım frekansı ayrı etkiler taşır

   Sesli anlatım metni

   Örnek olarak alfa sıfır nokta kırk beş ve omega sıfır iki nokta iki olsun. Bu durumda cevap, e üzeri eksi alfa t ile kosinüs omega d t benzeri bir biçim gösterir. Buradaki ana görsel fikir zarftır. Salınım sıfırı tekrar tekrar keser; fakat direnç enerji harcadığı için tepe değerleri zamanla küçülür. İşte bu, klasik sönümlü salınım şeklidir.

4. 4. Sönümsüz çözüm biçimi

   

   Koşul:

   $\displaystyle \alpha =0$

   $\displaystyle s₁,₂=\pm j\omega ₀$

   Üstel zarf e⁰=1 olur

   $\displaystyle x_{n}=B₁\cos \left(\omega ₀t\right)+B₂\sin \left(\omega ₀t\right)$

   İdeal devrede direnç ve enerji kaybı yoktur

   Enerji L ile C arasında sürekli yer değiştirir

   Genlik azalmaz; salınım ω₀ ile sonsuza dek sürer

   Sesli anlatım metni

   Şimdi ideal undamped duruma bakalım. Burada alfa sıfıra eşittir; yani sönüm yoktur. Pratikte bu, ideal L C sınırıdır. Kökler tam olarak imajiner eksen üzerinde artı eksi j omega sıfır noktalarına yerleşir. Doğal cevap saf sinüzoidal birleşime dönüşür: B bir kosinüs omega sıfır t artı B iki sinüs omega sıfır t. Artık azalan bir zarf yoktur.

5. 5. Enerji ve dalga biçimini karşılaştır

   

   Eksik sönüm:

   $\displaystyle 0<\alpha <\omega ₀$

   R enerjiyi ısıya dönüştürür

   Zarf: ±Ke^−αt

   Salınım frekansı ω_d, ω₀'dan küçüktür

   Sönümsüz:

   $\displaystyle \alpha =0$

   Enerji kaybı yoktur ve zarf sabittir

   Salınım frekansı doğrudan ω₀'dır

   Sesli anlatım metni

   Bu iki salınımlı durumu dikkatle karşılaştıralım. Underdamped cevapta devre salınmaya devam eder; fakat direnç zamanla enerjiyi tükettiği için genlik azalır. Undamped cevapta ise enerji, kayıp olmadan kapasitor ile induktor arasında gidip gelir; bu yüzden genlik sabit kalır. Her iki cevap da salınımlıdır. Temel fark, zarfın küçülmesi ya da düz kalmasıdır.

6. 6. Eksik sönüm ve sönümsüz cevabı özetle

   

   Karmaşık kökler salınımlı cevabı doğurur

   Gerçek kısım −α → zarfın sönüm hızı

   Sanal kısım ω_d → salınım hızı

   α sıfıra yaklaşınca ω_d, ω₀'a yaklaşır

   α=0 sınırında zarf kaybolur

   Başlangıç koşulları B₁ ve B₂'yi belirler

   Sıradaki: doğal cevap ile zorlanmış cevabı birleştirmek

   Sesli anlatım metni

   Özetleyelim. Alfa, omega sıfırdan küçükse devre underdamped olur ve kökler karmaşık eşlenik hale gelir. Cevap, üstel bir zarf altında salınır ve sönümlü frekans omega d ile tanımlanır. Alfa sıfırsa devre ideal undamped L C durumuna geçer ve sinüzoidal salınım sürekli olarak devam eder. Bir sonraki derste doğal cevap durumlarından tam ikinci derece cevaba geçeceğiz.