Elektromanyetik Teori · Elektrik Akı Yoğunluğu ve Gauss Yasası

#10 Elektrik akı yoğunluğu D, Gauss yasasının integral ve diferansiyel biçimleri ve simetrik yük dağılımları

Elektrik akı yoğunluğunu kur, Gauss yasasını türet ve simetriyle uzun integralleri kısa cebire dönüştür.

Soru

Elektrik akı yoğunluğunu, Gauss yüzeylerini ve simetrik yük dağılımlarını gösteren ders karesi. — Uygun Gauss yüzeyi seçildiğinde D sabit veya yüzeye teğet olur ve akı integrali sadeleşir.

Elektrik akı yoğunluğu D'yi tanımlayın, Gauss yasasının integral ve diferansiyel biçimlerini ilişkilendirin ve küresel, silindirik ve düzlemsel simetride uygun Gauss yüzeyleriyle alanı hesaplayın.

Yazılı çözüm ve anlatım dökümü(çözümün tamamını gösterir)

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. Sürekli yük integralinden Gauss kısayoluna geç
Uygun Gauss yüzeyi seçildiğinde D sabit veya yüzeye teğet olur ve akı integrali sadeleşir.
Bir önceki dersimizde sürekli yük dağılımlarından kaynaklanan elektrik alanını türettik — sonsuz çizgisel yük, sonsuz yük levhası ve yüklü bir halka.
Bu türetmeler integrallerin kurulmasını ve hesaplanmasını gerektiriyordu, ki bu oldukça uzun sürebilir.
Bugün güçlü bir kısayol tanıtacağız.
Elektrik akı yoğunluğu vektörü D'yi tanımlayacak, Maxwell'in dört denkleminden biri olan Gauss yasasını ifade edecek ve yük dağılımı simetri taşıdığında D ve E'yi neredeyse anında nasıl bulduğunu göstereceğiz.
Sesli anlatım metni
Bir önceki dersimizde sürekli yük dağılımlarından kaynaklanan elektrik alanını türettik — sonsuz çizgisel yük, sonsuz yük levhası ve yüklü bir halka. Bu türetmeler integrallerin kurulmasını ve hesaplanmasını gerektiriyordu, ki bu oldukça uzun sürebilir. Bugün güçlü bir kısayol tanıtacağız. Elektrik akı yoğunluğu vektörü D'yi tanımlayacak, Maxwell'in dört denkleminden biri olan Gauss yasasını ifade edecek ve yük dağılımı simetri taşıdığında D ve E'yi neredeyse anında nasıl bulduğunu göstereceğiz.
2. Elektrik akı yoğunluğu D'yi tanımla
Uygun Gauss yüzeyi seçildiğinde D sabit veya yüzeye teğet olur ve akı integrali sadeleşir.
Elektrik alanı E ortama bağlıdır — serbest uzayda dielektrik sabiti ε₀ içerir.
Alanı ortamdan ayırmak için yeni bir vektör tanımlıyoruz: elektrik akı yoğunluğu, D.
Elektrik akı yoğunluğu:
$\displaystyle D = \varepsilon ₀E.$
D'nin birimi kulomb bölü metrekaredir — yüzeysel yük yoğunluğuyla aynı birim.
Bu bir tesadüf değildir, Gauss yasasıyla birlikte göreceğiz.
S yüzeyinden geçen elektrik akısı: ψ = ∫ₛ D·dS.
Sİ birimlerinde, bir elektrik akı çizgisi artı bir kulombdan başlar ve eksi bir kulombda biter.
Dolayısıyla toplam akı kulomb cinsinden ölçülür.
D'nin temel avantajı: yük dağılımlarından E için türettiğimiz tüm formüller hâlâ geçerlidir — sadece ε₀ ile çarpın.
Nokta yük için D = [Q/(4πr²)]e_r.
Sonsuz çizgisel yük için D = [ρ_L/(2πρ)]e_ρ.
Sonsuz levha için D = (ρ_S/2)e_n.
Dikkat edin, D yalnızca yüke ve geometriye bağlıdır — ortama değil.
Sesli anlatım metni
Elektrik alanı E ortama bağlıdır — serbest uzayda dielektrik sabiti epsilon-sıfır içerir. Alanı ortamdan ayırmak için yeni bir vektör tanımlıyoruz: elektrik akı yoğunluğu, D. D eşittir epsilon-sıfır çarpı E. D'nin birimi kulomb bölü metrekaredir — yüzeysel yük yoğunluğuyla aynı birim. Bu bir tesadüf değildir, Gauss yasasıyla birlikte göreceğiz. Bir S yüzeyi üzerinden geçen elektrik akısı psi, D nokta dé-S'in yüzey integralı olarak tanımlanır. Sİ birimlerinde, bir elektrik akı çizgisi artı bir kulombdan başlar ve eksi bir kulombda biter. Dolayısıyla toplam akı kulomb cinsinden ölçülür. D'nin temel avantajı: yük dağılımlarından E için türettiğimiz tüm formüller hâlâ geçerlidir — sadece epsilon-sıfır ile çarpın. Nokta yük için: D eşittir Q bölü dört pi r-kare. Sonsuz çizgisel yük için: D eşittir ro-L bölü iki pi ro. Sonsuz yük levhası için: D eşittir ro-S bölü iki. Dikkat edin, D yalnızca yüke ve geometriye bağlıdır — ortama değil.
3. Gauss yasasının iki biçimini kur
Uygun Gauss yüzeyi seçildiğinde D sabit veya yüzeye teğet olur ve akı integrali sadeleşir.
Şimdi ana sonuca geçelim.
Gauss yasası şunu ifade eder: herhangi bir kapalı yüzeyden geçen toplam elektrik akısı, o yüzeyin çevrelediği toplam yüke eşittir.
Gauss yasası: ∮ₛ D·dS = Q_enclosed.
Bu, Gauss yasasının integral formudur.
Diverjans teoremiyle ∫ᵥ(∇·D)dv = ∫ᵥρ_v dv.
Bu herhangi bir hacim için geçerli olması gerektiğinden, integrandlar eşit olmalıdır.
Diferansiyel biçim:
$\displaystyle ∇\cdot D = \rho _{v}.$
Bu, Maxwell'in dört denkleminin birincisidir.
Bize elektrik akısının pozitif yüklerden dışarıya doğru ıraksadığını ve negatif yüklere doğru yakınsadığını söyler.
Üç önemli not.
Birincisi, integral ve diferansiyel formlar eşdeğerdir — aynı şeyi farklı matematiksel dillerde söylerler.
İkincisi, Gauss yasası her zaman doğrudur, ancak yalnızca yük dağılımı simetri taşıdığında D'yi bulmak için kullanışlıdır.
Üçüncüsü, simetri varsa, D'nin ya sabit ve yüzeye dik olduğu ya da yüzeye teğet olduğu bir Gauss yüzeyi seçeriz — böylece integral dramatik şekilde sadeleşir.
Sesli anlatım metni
Şimdi ana sonuca geçelim. Gauss yasası şunu ifade eder: herhangi bir kapalı yüzeyden geçen toplam elektrik akısı, o yüzeyin çevrelediği toplam yüke eşittir. Denklem olarak: D nokta dé-S'in kapalı yüzey integrali eşittir Q-çevrelenmiş. Bu, Gauss yasasının integral formudur. Diverjans teoremini sol tarafa uygulayarak, bunu şuna dönüştürebiliriz: D'nin diverjansı çarpı dé-v'nin hacim integrali, eşittir ro-v çarpı dé-v'nin hacim integraline. Bu herhangi bir hacim için geçerli olması gerektiğinden, integrandlar eşit olmalıdır. Bu bize diferansiyel formu, diğer adıyla nokta formunu verir: D'nin diverjansı eşittir ro-v. Bu, Maxwell'in dört denkleminin birincisidir. Bize elektrik akısının pozitif yüklerden dışarıya doğru ıraksadığını ve negatif yüklere doğru yakınsadığını söyler. Üç önemli not. Birincisi, integral ve diferansiyel formlar eşdeğerdir — aynı şeyi farklı matematiksel dillerde söylerler. İkincisi, Gauss yasası her zaman doğrudur, ancak yalnızca yük dağılımı simetri taşıdığında D'yi bulmak için kullanışlıdır. Üçüncüsü, simetri varsa, D'nin ya sabit ve yüzeye dik olduğu ya da yüzeye teğet olduğu bir Gauss yüzeyi seçeriz — böylece integral dramatik şekilde sadeleşir.
4. Nokta ve çizgi yüküne Gauss uygula
Uygun Gauss yüzeyi seçildiğinde D sabit veya yüzeye teğet olur ve akı integrali sadeleşir.
Şimdi Gauss yasasını uygulayalım.
Orijinde bulunan bir Q nokta yükü için, Q merkezli r yarıçaplı küresel bir Gauss yüzeyi seçeriz.
Küresel simetriden dolayı D yalnızca radyal bileşene sahiptir ve küre üzerinde sabittir.
Kürede akı: ∮D·dS = D_r(4πr²).
$\displaystyle D_{r}\left(4\pi r²\right) = Q \Rightarrow D_{r} = Q/\left(4\pi r²\right).$
Sonuç:
$\displaystyle D = \left[\frac{Q}{4\pi r²}\right]e_{r}.$
z-ekseni boyunca uzanan sonsuz bir ρ_L çizgisel yükü için, ρ yarıçaplı ve l uzunluğundaki silindirik bir Gauss yüzeyi seçeriz.
Simetriden dolayı D yalnızca ρ-bileşenine sahiptir ve eğri yüzey üzerinde sabittir.
Üst ve alt kapaklardan geçen akı sıfırdır — D orada yüzeye teğettir.
Silindirin eğri yüzeyinden geçen akı: D_ρ(2πρ l).
$\displaystyle D_{\rho }\left(2\pi \rho l\right) = \rho _{L} l \Rightarrow D = \left[\frac{\rho _{L}}{2\pi \rho }\right]e_{\rho }.$
Yine bir integral yerine iki satır.
Simetriyle birlikte Gauss yasasının gücü işte budur.
Sesli anlatım metni
Şimdi Gauss yasasını uygulayalım. Orijinde bulunan bir Q nokta yükü için, Q merkezli r yarıçaplı küresel bir Gauss yüzeyi seçeriz. Küresel simetriden dolayı D yalnızca radyal bileşene sahiptir ve küre üzerinde sabittir. Dolayısıyla D nokta dé-S, D-r çarpı toplam yüzey alanına eşit olur: D-r çarpı dört pi r-kare. Bunu Q'ya eşitlersek D-r eşittir Q bölü dört pi r-kare elde ederiz. Yani D eşittir Q bölü dört pi r-kare, a-r yönünde — tam olarak Coulomb yasasının verdiği sonuç, ama bir integral yerine iki satırda türetildi. z-ekseni boyunca uzanan sonsuz bir ro-L çizgisel yükü için, ro yarıçaplı ve l uzunluğundaki silindirik bir Gauss yüzeyi seçeriz. Simetriden dolayı D yalnızca ro-bileşenine sahiptir ve eğri yüzey üzerinde sabittir. Üst ve alt kapaklardan geçen akı sıfırdır — D orada yüzeye teğettir. Eğri yüzeyden geçen akı D-ro çarpı iki pi ro l'dir. Bunu çevrelenen yük ro-L çarpı l'ye eşitlersek: D eşittir ro-L bölü iki pi ro, a-ro yönünde buluruz. Yine bir integral yerine iki satır. Simetriyle birlikte Gauss yasasının gücü işte budur.
5. Levha ve düzgün yüklü küreyi çöz
Uygun Gauss yüzeyi seçildiğinde D sabit veya yüzeye teğet olur ve akı integrali sadeleşir.
z = 0 düzlemindeki sonsuz ρ_S yük levhası için levhayı kesen dikdörtgen bir Gauss kutusu seçeriz.
Simetriden dolayı D, artı veya eksi z yönünü işaret eder ve yan yüzeyler boyunca bileşeni yoktur.
Akı yalnızca üst ve alt yüzeylerden çıkar.
Toplam akı:
$\displaystyle D_{z} A + D_{z} A = 2D_{z} A.$
Çevrelenen yük: Q_enclosed = ρ_S A.
D_z = ρ_S/2 ve D = (ρ_S/2)e_n.
Tek satırlık cebir.
Şimdi yarıçapı a olan, hacimsel yük yoğunluğu ρ₀ ile düzgün şekilde yüklenmiş bir küreyi ele alalım.
İki Gauss yüzeyine ihtiyacımız var.
r ≤ a iken, küre içinde r yarıçaplı bir Gauss yüzeyi kullanırız.
Küre içinde Q_enclosed = ρ₀(4πr³/3).
$\displaystyle D_{r}\left(4\pi r²\right) = \rho ₀\left(\frac{4\pi r³}{3}\right).$
Küre içinde D = (ρ₀ r/3)e_r.
Alan içeride doğrusal olarak artar.
r ≥ a iken çevrelenen toplam yük Q = ρ₀(4πa³/3).
Küre dışında D = [ρ₀ a³/(3r²)]e_r.
Dışarıda, beklendiği gibi bir nokta yük gibi görünür.
Sesli anlatım metni
z eşittir sıfır düzleminde düzgün yüzeysel yük yoğunluğu ro-S'ye sahip sonsuz bir yük levhası için, levha üzerine ortalanmış dikdörtgen bir kutu — bir hap kutusu — seçeriz. Simetriden dolayı D, artı veya eksi z yönünü işaret eder ve yan yüzeyler boyunca bileşeni yoktur. Akı yalnızca üst ve alt yüzeylerden çıkar. Her yüzeyin alanı A ise, toplam akı D-z çarpı A artı D-z çarpı A eşittir iki D-z A olur. Çevrelenen yük ro-S çarpı A'dır. Dolayısıyla D-z eşittir ro-S bölü iki, ve D eşittir ro-S bölü iki, a-n yönünde. Tek satırlık cebir. Şimdi yarıçapı a olan, hacimsel yük yoğunluğu ro-sıfır ile düzgün şekilde yüklenmiş bir küreyi ele alalım. İki Gauss yüzeyine ihtiyacımız var. r, a'ya eşit veya küçük olduğunda — kürenin içinde — r yarıçaplı küresel bir yüzey kullanırız. Çevrelenen yük, ro-sıfır çarpı dört bölü üç pi r-küp'tür. Gauss yasası D-r çarpı dört pi r-kare eşittir ro-sıfır çarpı dört bölü üç pi r-küp verir. Yani D eşittir ro-sıfır r bölü üç, a-r yönünde. Alan içeride doğrusal olarak artar. r, a'ya eşit veya büyük olduğunda — kürenin dışında — çevrelenen yük toplam yüktür: Q eşittir ro-sıfır çarpı dört bölü üç pi a-küp. Dolayısıyla D eşittir ro-sıfır a-küp bölü üç r-kare, a-r yönünde. Dışarıda, beklendiği gibi bir nokta yük gibi görünür.
6. Simetri ve Maxwell bağlantısını özetle
Uygun Gauss yüzeyi seçildiğinde D sabit veya yüzeye teğet olur ve akı integrali sadeleşir.
Bugünkü temel fikirleri özetleyelim.
D = ε₀E; elektrik akı yoğunluğu ortam bağımlılığını ayırır.
Gauss yasasının integral biçimi: ∮ₛD·dS = Q_enclosed.
Diferansiyel biçimi:
$\displaystyle ∇\cdot D = \rho _{v}.$
Bu, Maxwell'in birinci denklemidir.
Simetri varsa — küresel, silindirik veya düzlemsel — Gauss yasası bize D'yi bir veya iki satırlık cebirle verir, uzun integrasyonların yerini alır.
Bir sonraki derste, E'yi bulmak için bize bir yol daha sunan ve enerjiyi elektrik alanına bağlayan elektrik potansiyeli V'yi tanıtacağız.
Sesli anlatım metni
Bugünkü temel fikirleri özetleyelim. D eşittir epsilon-sıfır çarpı E — elektrik akı yoğunluğu ortam bağımlılığını ortadan kaldırır. Gauss yasasının integral formu: D nokta dé-S'in kapalı yüzey integrali eşittir Q-çevrelenmiş. Diferansiyel formu: D'nin diverjansı eşittir ro-v. Bu, Maxwell'in birinci denklemidir. Simetri varsa — küresel, silindirik veya düzlemsel — Gauss yasası bize D'yi bir veya iki satırlık cebirle verir, uzun integrasyonların yerini alır. Bir sonraki derste, E'yi bulmak için bize bir yol daha sunan ve enerjiyi elektrik alanına bağlayan elektrik potansiyeli V'yi tanıtacağız.