#12 Elektrik dipolü, akı çizgileri, eşpotansiyel yüzeyler, yük montaj enerjisi ve elektrostatik enerji yoğunluğu

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Potansiyelden dipol ve alan enerjisine geç

   

   Önceki derste V, E = −∇V ve ∇×E = 0 bağıntılarını kurduk.

   Bugün iki önemli konuyu ele alacağız.

   Birincisi, elektrik dipolü — kendine özgü bir alan örüntüsü üreten eşit ve zıt işaretli bir yük çifti.

   İkincisi, bir elektrostatik alanda ne kadar enerji depolandığını türetip enerji yoğunluğunu tanımlayacağız.

   Sesli anlatım metni

   Bir önceki dersimizde elektrik potansiyeli V'yi tanımladık, gradyan ilişkisi E eşittir eksi nabla V'yi türettik ve Maxwell'in ikinci statik denklemini kurduk: E'nin rotasyoneli sıfıra eşittir. Bugün iki önemli konuyu ele alacağız. Birincisi, elektrik dipolü — kendine özgü bir alan örüntüsü üreten eşit ve zıt işaretli bir yük çifti. İkincisi, bir elektrostatik alanda ne kadar enerji depolandığını türetip enerji yoğunluğunu tanımlayacağız.

2. 2. Elektrik dipolünü ve uzak alanını türet

   

   Bir elektrik dipolü, artı Q ve eksi Q olmak üzere, küçük bir d mesafesiyle ayrılmış iki yükten oluşur.

   Dipol momenti p = Qd'dir ve −Q'dan +Q'ya yönelir.

   r ≫ d için V = Qd cosθ/(4πε₀r²).

   p = Qd a_z ve V = p·a_r/(4πε₀r²).

   $\displaystyle E = -∇V; E_{r} =\frac{ 2p \cos \theta }{4\pi \varepsilon ₀r³}, E_{\theta } = p \sin \theta /\left(4\pi \varepsilon ₀r³\right).$

   Dipol alanı 1/r³ ile, nokta yük alanı 1/r² ile azalır.

   Bu fiziksel olarak anlamlıdır: uzaktan bakıldığında artı Q ve eksi Q alanları neredeyse birbirini götürür.

   Sesli anlatım metni

   Bir elektrik dipolü, artı Q ve eksi Q olmak üzere, küçük bir d mesafesiyle ayrılmış iki yükten oluşur. Dipol momenti p eşittir Q çarpı d olarak tanımlanır ve negatif yükten pozitif yüke doğru yönelir. Merkezi orijinde, ekseni z boyunca olan bir dipol için, r'nin d'den çok büyük olduğu uzak bir noktadaki potansiyel şöyle sadeleşir: V eşittir Q d kosinüs teta bölü dört pi epsilon-sıfır r-kare. Dipol moment vektörünü p eşittir Q d a-z olarak tanımlarız, böylece V eşittir p nokta a-r bölü dört pi epsilon-sıfır r-kare olur. Elektrik alanı, küresel koordinatlarda E eşittir eksi nabla V alınarak bulunur: E-r eşittir iki p kosinüs teta bölü dört pi epsilon-sıfır r-küp, ve E-teta eşittir p sinüs teta bölü dört pi epsilon-sıfır r-küp. Dipol alanının bir bölü r-küp ile azaldığına dikkat edin — nokta yükün bir bölü r-kare bağımlılığından daha hızlı. Bu fiziksel olarak anlamlıdır: uzaktan bakıldığında artı Q ve eksi Q alanları neredeyse birbirini götürür.

3. 3. Akı çizgilerini eşpotansiyellerle ilişkilendir

   

   Elektrik akı çizgisi — kuvvet çizgisi olarak da adlandırılır — her noktada teğeti elektrik alanı E'nin yönünde olan bir eğridir.

   Faraday bu çizgileri alanları görselleştirmek için tanıttı.

   Eşpotansiyel yüzey, potansiyel V'nin her yerde sabit olduğu bir yüzeydir.

   E = −∇V olduğundan akı çizgileri eşpotansiyel yüzeylere diktir.

   Eşpotansiyel boyunca E·dl = 0; yapılan iş sıfırdır.

   Nokta yük için eşpotansiyel yüzeyler eşmerkezli kürelerdir.

   Dipol için örüntü daha karmaşıktır — orta düzlemin üstünde pozitif potansiyel, altında negatif, sıfır voltluk yüzey ise orta düzlemin kendisidir.

   Sesli anlatım metni

   Elektrik akı çizgisi — kuvvet çizgisi olarak da adlandırılır — her noktada teğeti elektrik alanı E'nin yönünde olan bir eğridir. Faraday bu çizgileri alanları görselleştirmek için tanıttı. Eşpotansiyel yüzey, potansiyel V'nin her yerde sabit olduğu bir yüzeydir. E eşittir eksi nabla V olduğundan ve gradyan sabit değerli yüzeylere dik olduğundan, akı çizgileri her zaman eşpotansiyel yüzeylere diktir. Bir yükü eşpotansiyel yüzey boyunca taşımak sıfır iş gerektirir, çünkü yüzey boyunca E nokta dé-l sıfırdır. Nokta yük için eşpotansiyel yüzeyler eşmerkezli kürelerdir. Dipol için örüntü daha karmaşıktır — orta düzlemin üstünde pozitif potansiyel, altında negatif, sıfır voltluk yüzey ise orta düzlemin kendisidir.

4. 4. Yük sisteminin montaj enerjisini kur

   

   Bir yük topluluğu oluşturduğumuzda ne kadar enerji depolanır?

   Üç nokta yükü sırayla konumlandırmayı düşünelim.

   İlk yük için W₁ = 0; henüz alan yoktur.

   İkinci yük için W₂ = Q₂V₂₁.

   Üçüncü yük için W₃ = Q₃(V₃₁ + V₃₂).

   Toplam montaj enerjisi W_E = ½ΣₖQₖVₖ.

   Hacimsel dağılım için W_E = ½∫ρ_vV dv.

   Benzer ifadeler çizgisel ve yüzeysel yükler için de geçerlidir.

   Sesli anlatım metni

   Bir yük topluluğu oluşturduğumuzda ne kadar enerji depolanır? Üç nokta yükü sırayla konumlandırmayı düşünelim. Birinci yük Q-bir sıfır enerji gerektirir — mevcut bir alan yoktur. Q-ikiyi konumuna getirmek, Q-iki çarpı V-yirmi-bir'e eşit iş gerektirir; burada V-yirmi-bir, Q-bir'in yarattığı potansiyeldir P-iki noktasında. Benzer şekilde, Q-üç için gereken iş Q-üç çarpı V-otuz-bir artı V-otuz-iki toplamıdır. Bunları topladığımızda ve montaj sırasını ters çevirme simetri argümanını kullandığımızda şunu elde ederiz: W-E eşittir yarım çarpı Q-k V-k toplamı, k eşittir birden n'e kadar; burada V-k, Q-k'nın konumundaki diğer tüm yüklere bağlı toplam potansiyeldir. Sürekli yük dağılımları için toplam bir integral olur: W-E eşittir yarım çarpı ro-v çarpı V dé-v'nin integrali, hacimsel yük için. Benzer ifadeler çizgisel ve yüzeysel yükler için de geçerlidir.

5. 5. Elektrostatik enerji yoğunluğunu türet

   

   W_E = ½∫ρ_vV dv ve ρ_v = ∇·D ile başlayalım.

   Diverjans teoremiyle W_E = ½∫D·E dv.

   Boşlukta D = ε₀E ve W_E = ½ε₀∫E² dv.

   Enerji yoğunluğu w_E = ½D·E = ½ε₀E² = D²/(2ε₀).

   Birimi metreküp başına jul'dür.

   Toplam enerji, alanın var olduğu tüm uzay üzerinde w_E'nin hacim integralidir.

   Bu güçlü bir sonuçtur — enerji, yalnızca yük konumlarında değil, alanın kendisinde, uzay boyunca dağılmış olarak depolanır.

   Sesli anlatım metni

   W-E eşittir yarım çarpı ro-v çarpı V dé-v integralinden başlayarak, Gauss yasasından ro-v eşittir nabla nokta D'yi yerine koyar ve bir vektör özdeşliği uygularız. Diverjans teoremini kullandıktan ve sınırlayıcı yüzey sonsuza giderken yüzey integralinin sıfıra gittiğini belirttikten sonra şuna ulaşırız: W-E eşittir yarım çarpı D nokta E dé-v'nin integrali. D eşittir epsilon-sıfır çarpı E olduğundan, bu şu hale gelir: W-E eşittir yarım epsilon-sıfır çarpı E-kare dé-v'nin integrali. Elektrostatik enerji yoğunluğunu tanımlarız: w-E eşittir yarım D nokta E, bu da yarım epsilon-sıfır E-kare'ye, bu da D-kare bölü iki epsilon-sıfır'a eşittir. Birimi metreküp başına jul'dür. Toplam enerji, alanın var olduğu tüm uzay üzerinde w-E'nin hacim integralidir. Bu güçlü bir sonuçtur — enerji, yalnızca yük konumlarında değil, alanın kendisinde, uzay boyunca dağılmış olarak depolanır.

6. 6. Düzgün yüklü kürenin enerjisini hesapla

   

   Sadiku'dan Örnek dört nokta on beşi çözelim.

   Yarıçapı R olan bir küre, düzgün hacimsel yük yoğunluğu ρ₀'a sahiptir.

   V'yi her yerde ve içeride depolanan enerjiyi bulun.

   Gauss yasasından E'yi zaten biliyoruz.

   r ≥ R:

   $\displaystyle E = \rho ₀R³/\left(3\varepsilon ₀r²\right) a_{r}.$

   r ≤ R:

   $\displaystyle E = \rho ₀r/\left(3\varepsilon ₀\right) a_{r}.$

   r ≥ R:

   $\displaystyle V = \rho ₀R³/\left(3\varepsilon ₀r\right).$

   r ≤ R:

   $\displaystyle V = \rho ₀\left(3R² - r²\right)/\left(6\varepsilon ₀\right).$

   Küre içinde W = ½ε₀∫E² dv.

   Sonuç:

   $\displaystyle W = 2\pi \rho ₀²R⁵/\left(45\varepsilon ₀\right).$

   Bu sonuç, alan konfigürasyonunun yüklü bölge içinde tam olarak ne kadar enerji depoladığını söyler.

   Sesli anlatım metni

   Sadiku'dan Örnek dört nokta on beşi çözelim. Yarıçapı R olan bir küre, düzgün hacimsel yük yoğunluğu ro-sıfır'a sahiptir. V'yi her yerde ve içeride depolanan enerjiyi bulun. Gauss yasasından E'yi zaten biliyoruz. Dışarıda, r büyük eşit R: E eşittir ro-sıfır R-küp bölü üç epsilon-sıfır r-kare, a-r yönünde. İçeride, r küçük eşit R: E eşittir ro-sıfır r bölü üç epsilon-sıfır, a-r yönünde. Dışarıdaki potansiyel: V eşittir ro-sıfır R-küp bölü üç epsilon-sıfır r. İçeride, r eşittir R'de sürekliliği sağlayarak: V eşittir ro-sıfır bölü altı epsilon-sıfır çarpı üç R-kare eksi r-kare. Kürenin içindeki depolanan enerji: W eşittir yarım epsilon-sıfır çarpı E-kare dé-v integrali. Yerine koyup küresel koordinatlarda integre ederek: W eşittir iki pi ro-sıfır-kare R-üssü-beş bölü kırk beş epsilon-sıfır elde ederiz. Bu sonuç, alan konfigürasyonunun yüklü bölge içinde tam olarak ne kadar enerji depoladığını söyler.

7. 7. Dipol ve enerji bağıntılarını özetle

   

   Bugünkü temel sonuçları gözden geçirelim.

   Elektrik dipol momenti p = Qd'dir.

   Alanı bir bölü r³ ile azalır.

   Akı çizgileri her zaman eşpotansiyel yüzeylere diktir.

   Yük sisteminde W_E = ½ΣₖQₖVₖ.

   Alan cinsinden W_E = ½∫D·E dv.

   Boşlukta w_E = ½ε₀E².

   Bir sonraki derste, Bölüm beşe geçeceğiz — malzeme içinde elektrik alanları: iletkenler, dielektrikler ve sınır koşulları.

   Sesli anlatım metni

   Bugünkü temel sonuçları gözden geçirelim. Elektrik dipol momenti p eşittir Q d'dir. Alanı bir bölü r-küp ile azalır. Akı çizgileri her zaman eşpotansiyel yüzeylere diktir. Bir yük sisteminde depolanan enerji W-E eşittir yarım çarpı Q-k V-k toplamıdır. Alan cinsinden: W-E eşittir yarım çarpı D nokta E dé-v integrali. Enerji yoğunluğu w-E eşittir yarım epsilon-sıfır E-kare'dir. Bir sonraki derste, Bölüm beşe geçeceğiz — malzeme içinde elektrik alanları: iletkenler, dielektrikler ve sınır koşulları.

Kaynak video: Elektromanyetik Teori (v2) #12 Elektrik Dipolü ve Enerji Yoğunluğu (6:59)