Elektromanyetik Teori · Elektrik Potansiyeli ve E–V İlişkisi

#11 Potansiyel farkı, nokta ve sürekli yük potansiyeli, süperpozisyon, E = −∇V ve elektrostatik alanın korunumluluğu

Skaler potansiyelden elektrik alanına geç, süperpozisyonu sadeleştir ve işi yol bağımsız hesapla.

Soru

Elektrik potansiyelini, E–V ilişkisini ve küresel koordinatlarda örneği gösteren ders karesi. — Elektrostatik potansiyel skalerdir; elektrik alan potansiyelin negatif gradyanıdır.

Elektrik potansiyelini iş ve potansiyel farkıyla tanımlayın; nokta ve sürekli yük dağılımlarında süperpozisyonu uygulayın, E = −∇V ilişkisini türetin ve küresel koordinatlarda örnek çözün.

Yazılı çözüm ve anlatım dökümü(çözümün tamamını gösterir)

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. Gauss yasasından skaler potansiyele geç
Elektrostatik potansiyel skalerdir; elektrik alan potansiyelin negatif gradyanıdır.
Bir önceki dersimizde elektrik akı yoğunluğu D'yi tanımladık ve Maxwell'in denklemlerinin ilki olan Gauss yasasını türettik.
Simetri varken, Gauss yasası birkaç satır cebirle D'yi bulmamızı sağlıyordu.
Bugün elektrik potansiyeli V'yi tanıtacağız — elektrik alanını bulmanın bir başka yolunu sağlayan skaler bir büyüklük.
E-V ilişkisini türeteceğiz, ki bu statik alanlar için Maxwell'in ikinci denklemidir, ve bir skalerle çalışmanın vektörlerle çalışmaktan neden çok daha kolay olduğunu göstereceğiz.
Sesli anlatım metni
Bir önceki dersimizde elektrik akı yoğunluğu D'yi tanımladık ve Maxwell'in denklemlerinin ilki olan Gauss yasasını türettik. Simetri varken, Gauss yasası birkaç satır cebirle D'yi bulmamızı sağlıyordu. Bugün elektrik potansiyeli V'yi tanıtacağız — elektrik alanını bulmanın bir başka yolunu sağlayan skaler bir büyüklük. E-V ilişkisini türeteceğiz, ki bu statik alanlar için Maxwell'in ikinci denklemidir, ve bir skalerle çalışmanın vektörlerle çalışmaktan neden çok daha kolay olduğunu göstereceğiz.
2. Potansiyel farkını ve nokta yükü tanımla
Elektrostatik potansiyel skalerdir; elektrik alan potansiyelin negatif gradyanıdır.
Bir E elektrik alanında bir Q nokta yükünü A noktasından B noktasına taşıdığımızı düşünelim.
Dış etkenin yaptığı iş: W_ext = −Q∫ₐᵇ E·dl.
Potansiyel farkı: V_AB = V_B − V_A = −∫ₐᵇ E·dl.
Bu V_AB büyüklüğü volt cinsinden ölçülür — jul bölü kulomb.
Orijindeki bir Q nokta yükü için E alanı radyaldir.
V(∞)=0 referansıyla nokta yük potansiyeli:
$\displaystyle V = Q/\left(4\pi \varepsilon ₀r\right).$
Bu çok önemli bir sonuçtur.
Üç bileşeni olan vektör E'nin aksine, V bir skalerdir — uzaydaki her noktada sadece bir sayı.
Ve V_AB potansiyel farkı, A ile B arasında izlenen yoldan bağımsızdır.
Elektrostatik alan korunumludur.
Sesli anlatım metni
Bir E elektrik alanında bir Q nokta yükünü A noktasından B noktasına taşıdığımızı düşünelim. Alana karşı bir dış etken tarafından yapılan iş şöyledir: W eşittir eksi Q çarpı A'dan B'ye E nokta dé-l'in çizgi integrali. Q'ya bölersek A ve B arasındaki potansiyel farkını elde ederiz: V-A-B eşittir eksi A'dan B'ye E nokta dé-l'in integrali. Bu V-A-B büyüklüğü volt cinsinden ölçülür — jul bölü kulomb. Orijindeki bir Q nokta yükü için E alanı radyaldir. V'nin sıfır olduğu sonsuzluğu referans alırsak, r mesafesindeki potansiyel şöyledir: V eşittir Q bölü dört pi epsilon-sıfır r. Bu çok önemli bir sonuçtur. Üç bileşeni olan vektör E'nin aksine, V bir skalerdir — uzaydaki her noktada sadece bir sayı. Ve V-A-B potansiyel farkı, A ile B arasında izlenen yoldan bağımsızdır. Elektrostatik alan korunumludur.
3. Nokta ve sürekli yük potansiyellerini topla
Elektrostatik potansiyel skalerdir; elektrik alan potansiyelin negatif gradyanıdır.
E'nin süperpozisyona uyduğu gibi, V de uyar.
N nokta yük için V(r) = Σₖ Qₖ/[4πε₀|r − rₖ|].
Muazzam avantaja dikkat edin: vektörleri değil, skalerleri topluyoruz.
Bileşenlere ayırıp ayrı ayrı toplamaya gerek yok.
Sürekli yük dağılımları için toplamı bir integralle değiştiririz.
Çizgisel yük: V = ∫ₗ ρ_L dl/(4πε₀R).
Yüzeysel yük: V = ∫ₛ ρ_S dS/(4πε₀R).
Hacimsel yük: V = ∫ᵥ ρ_v dv/(4πε₀R).
Her durumda R, kaynak elemanından alan noktasına olan mesafedir.
V'nin sıfır olduğu referans noktası sonsuzlukta alınır.
Sesli anlatım metni
E'nin süperpozisyona uyduğu gibi, V de uyar. r-bir'den r-n'e konumlardaki n tane Q-bir'den Q-n'e nokta yükleri için, herhangi bir r noktasındaki potansiyel şöyledir: V eşittir Q-k bölü dört pi epsilon-sıfır çarpı r eksi r-k'nın büyüklüğünün toplamı. Muazzam avantaja dikkat edin: vektörleri değil, skalerleri topluyoruz. Bileşenlere ayırıp ayrı ayrı toplamaya gerek yok. Sürekli yük dağılımları için toplamı bir integralle değiştiririz. Çizgisel yük için: V eşittir ro-L dé-l bölü dört pi epsilon-sıfır R'nin integrali. Yüzeysel yük için: V eşittir ro-S dé-S bölü dört pi epsilon-sıfır R'nin integrali. Hacimsel yük için: V eşittir ro-v dé-v bölü dört pi epsilon-sıfır R'nin integrali. Her durumda R, kaynak elemanından alan noktasına olan mesafedir. V'nin sıfır olduğu referans noktası sonsuzlukta alınır.
4. E = −∇V ve korunumluluğu türet
Elektrostatik potansiyel skalerdir; elektrik alan potansiyelin negatif gradyanıdır.
Potansiyel farkı V_AB = −∫ₐᵇE·dl olarak tanımlanır.
Toplam diferansiyel: dV = (∂V/∂x)dx + (∂V/∂y)dy + (∂V/∂z)dz.
Karşılaştırınca E = −grad V bulunur.
Başka bir deyişle E = −∇V.
Bu son derece kullanışlıdır.
Eğer V'yi biliyorsak — tek bir skaler fonksiyon — kısmi türevler alarak E'nin üç bileşenini de bulabiliriz.
E yüksek potansiyelden düşük potansiyele doğru işaret eder ve büyüklüğü V'nin en hızlı değiştiği yerde en büyüktür.
Her gradyanın rotasyoneli sıfırdır:
$\displaystyle ∇\times E = 0.$
Bu, statik alanlar için Maxwell'in ikinci denklemidir.
İntegral biçimi: ∮E·dl = 0.
Fiziksel olarak, bir yükü elektrostatik alanda herhangi bir kapalı yol boyunca taşırken net iş yapılmaz.
Bu, elektrostatik alanın korunumlu ve dönümsüz olduğunu doğrular.
Sesli anlatım metni
Potansiyeli V eşittir eksi E nokta dé-l'in integrali olarak tanımlamıştık. Ancak çok değişkenli analizden, toplam diferansiyel dé-V eşittir kısmi V kısmi x çarpı dé-x artı kısmi V kısmi y çarpı dé-y artı kısmi V kısmi z çarpı dé-z'dir. Bu iki ifadeyi karşılaştırırsak şunu buluruz: E eşittir eksi V'nin gradyanı. Başka bir deyişle, E eşittir eksi nabla V. Bu son derece kullanışlıdır. Eğer V'yi biliyorsak — tek bir skaler fonksiyon — kısmi türevler alarak E'nin üç bileşenini de bulabiliriz. E yüksek potansiyelden düşük potansiyele doğru işaret eder ve büyüklüğü V'nin en hızlı değiştiği yerde en büyüktür. Şimdi, herhangi bir gradyanın rotasyoneli özdeş olarak sıfır olduğundan: nabla çarpı E eşittir sıfır elde ederiz. Bu, statik alanlar için Maxwell'in ikinci denklemidir. İntegral formu şöyledir: E nokta dé-l'in kapalı çizgi integrali eşittir sıfır. Fiziksel olarak, bir yükü elektrostatik alanda herhangi bir kapalı yol boyunca taşırken net iş yapılmaz. Bu, elektrostatik alanın korunumlu ve dönümsüz olduğunu doğrular.
5. Küresel koordinatlarda E ve işi hesapla
Elektrostatik potansiyel skalerdir; elektrik alan potansiyelin negatif gradyanıdır.
E-V ilişkisinin hesaplamaları nasıl basitleştirdiğini görelim.
Verilen potansiyel: V = (10/r²)sinθ cosφ; E'yi ve taşıma işini bulun.
Önce E = −∇V.
Küresel gradyan:
$\displaystyle ∇V =\frac{ e_{r}\partial V}{\partial r }+\frac{ e_{\theta }\left(\frac{1}{r}\right)\partial V}{\partial \theta }+ e_{\varphi }\left[\frac{1}{r \sin \theta }\right]\partial V/\partial \varphi .$
$\displaystyle E_{r} = \left(20/r³\right)\sin \theta \cos \varphi , E_{\theta } = -\left(10/r³\right)\cos \theta \cos \varphi , E_{\varphi } = \left(10/r³\right)\sin \varphi .$
$\displaystyle q = 10 \mu C; A=\left(1,30^{\circ},120^{\circ}\right), B=\left(4,90^{\circ},60^{\circ}\right).$
W_ext = qV_AB = q(V_B − V_A).
Sadece koordinatları yerleştirin.
Doğru ara değerler: V_A = −2,5 V ve V_B = 10/32 = 0,3125 V.
W_ext = 10 μC × 2,8125 V = 28,125 μJ.
Çizgi integraline gerek yok — skaler potansiyelle çalışmanın gücü işte budur.
Sesli anlatım metni
E-V ilişkisinin hesaplamaları nasıl basitleştirdiğini görelim. Küresel koordinatlarda V eşittir on bölü r-kare çarpı sinüs teta kosinüs fi potansiyeli verildiğinde, E'yi bulun ve bir yükü taşırken yapılan işi hesaplayın. Önce E eşittir eksi nabla V. Küresel koordinatlarda gradyan üç terim içerir: r'ye göre kısmi türev, bir bölü r çarpı teta'ya göre kısmi türev, ve bir bölü r sinüs teta çarpı fi'ye göre kısmi türev. Her kısmi türevi alarak şunu elde ederiz: E-r eşittir yirmi bölü r-küp çarpı sinüs teta kosinüs fi, E-teta eşittir eksi on bölü r-küp çarpı kosinüs teta kosinüs fi, ve E-fi eşittir on bölü r-küp çarpı sinüs fi. Şimdi iş hesabı: on mikro-kulomb yükü r eşittir bir, teta eşittir otuz derece, fi eşittir yüz yirmi derecedeki A noktasından, r eşittir dört, teta eşittir doksan derece, fi eşittir altmış derecedeki B noktasına taşıyoruz. İkinci yöntem çok daha kolaydır: W eşittir Q çarpı V-A-B, yani Q çarpı V-B eksi V-A. Sadece koordinatları yerleştirin. A'daki V eksi beştir, B'deki V on bölü otuz ikidir. Dolayısıyla W eşittir on mikro-kulomb çarpı fark, bu da yirmi sekiz nokta yüz yirmi beş mikro-jul verir. Çizgi integraline gerek yok — skaler potansiyelle çalışmanın gücü işte budur.
6. Potansiyel–alan ilişkisini özetle
Elektrostatik potansiyel skalerdir; elektrik alan potansiyelin negatif gradyanıdır.
Bugünkü temel fikirleri özetleyelim.
V_AB = −∫ₐᵇE·dl; potansiyel farkı yoldan bağımsızdır.
Nokta yük için V = Q/(4πε₀r).
Potansiyel süperpozisyona uyar — vektörleri değil, skalerleri toplayın.
E = −∇V; vektör alanı skaler potansiyelden bulunur.
Bu, Maxwell'in ikinci statik denklemidir.
İntegral biçimi: ∮E·dl = 0.
Bir sonraki derste, elektrik dipolünü ve elektrostatik alanlarda depolanan enerjiyi inceleyeceğiz.
Sesli anlatım metni
Bugünkü temel fikirleri özetleyelim. V-A-B eşittir eksi A'dan B'ye E nokta dé-l'in integrali — potansiyel farkı yoldan bağımsızdır. Nokta yük için: V eşittir Q bölü dört pi epsilon-sıfır r. Potansiyel süperpozisyona uyar — vektörleri değil, skalerleri toplayın. E eşittir eksi nabla V — bir skaler fonksiyondan vektör alanını bulun. Bu, Maxwell'in ikinci statik denklemidir. İntegral formu: E nokta dé-l'in kapalı çizgi integrali eşittir sıfır. Bir sonraki derste, elektrik dipolünü ve elektrostatik alanlarda depolanan enerjiyi inceleyeceğiz.