#05 Düzlem Yüzeylere Hidrostatik Kuvvet

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Geçen Ders ve Bugün

   

   Pascal ilkesi, barometre ve manometre tamam

   Bugün: basıncın bir yüzeye uyguladığı toplam kuvvet

   İki soru: kuvvet ne kadar, nereye etki ediyor?

   Sonunda: kendiliğinden açılan kanal kapağı

   Sesli anlatım metni

   Geçen derste durgun bir akışkanda basıncın derinlikle doğrusal arttığını gördük: atmosfer basıncına, yoğunluk çarpı yer çekimi çarpı derinlik eklenir. Paskal ilkesini, barometreyi ve manometreyi de öğrendik. Bugün bu basıncın bir yüzeye uyguladığı toplam kuvveti buluyoruz. İki soru soracağız: kuvvet ne kadar büyük, ve nereye etki ediyor? Dersin sonunda da kendi kendine açılan bir kanal kapağının sırrını çözeceğiz.

2. 2. Kendiliğinden Açılan Kapak

   

   Bir deney: tank duvarının dibinde çelik kapak

   Menteşe kapağın ortasının biraz altında; alt kenar eşiğe dayalı

   Kapağın arkasında su yükseliyor

   Su kapağın tepesini geçti — kapak kıpırdamıyor

   Belli bir seviyede kapak kendiliğinden devriliyor

   Neden tam o seviyede?

   Menteşe tam ortada olsaydı açılır mıydı?

   Sesli anlatım metni

   Önce bir deney. Bir kanalın ucunda dikdörtgen bir çelik kapak var. Kapak, ortasının biraz altından yatay bir menteşeye takılı; alt kenarı da akış yönündeki bir eşiğe dayanıyor. Kapağın arkasında su yükseliyor. Su kapağın üst kenarını geçiyor, kapak yine kıpırdamıyor. Sonra belli bir seviyede kapak kendiliğinden devriliyor ve su boşalıyor. Kimse dokunmadı. Neden tam o seviyede? Menteşeyi tam ortaya takmış olsaydık kapak hiç açılır mıydı? Bu soruları dersin sonunda sayılarla cevaplayacağız.

3. 3. Akışkanlar Statiği

   

   akışkanlar statiği: durgun akışkan

   katmanlar kaymaz → kayma gerilmesi yok

   tek gerilme: basınç

   kuvvet her noktada yüzeye dik

   hesap gösterge basıncıyla:

   $\displaystyle P = \rho g h$

   Sesli anlatım metni

   Önce zemini hazırlayalım. Akışkanlar statiği durgun akışkanlarla ilgilenir. Akışkan durgunsa katmanlar birbirinin üzerinde kaymaz, yani kayma gerilmesi yoktur. Geriye tek bir gerilme kalır: basınç. Bu yüzden durgun bir akışkanın bir yüzeye uyguladığı kuvvet her noktada yüzeye diktir. Bir şey daha: kapağın bir yüzünde su, öbür yüzünde hava varsa atmosfer basıncı iki yandan da bastırır ve birbirini götürür. O zaman hesabı yalnız gösterge basıncıyla yaparız: yoğunluk çarpı yer çekimi çarpı derinlik.

4. 4. Kuvvetin Büyüklüğü

   

   kuvvetin büyüklüğü

   ince şerit: dF = P dA

   P doğrusal → ortalama P = ağırlık merkezindeki P

   F = PC A

   akvaryum camı: 3 m × 2 m, üst kenar 1 m derinde

   hC = 1 + 2 / 2 = 2 m

   PC = 1000 · 9.81 · 2 = 19620 Pa

   $\displaystyle A = 3 \cdot 2 = 6 m²$

   F = 19620 · 6 = 117720 N ≈ 118 kN

   ≈ 12 ton yük

   Sesli anlatım metni

   Şimdi kuvvetin büyüklüğü. Suya batmış düz bir levha düşünelim ve onu yatay ince şeritlere bölelim. Her şeridin kuvveti, o derinlikteki basınç çarpı şeridin alanıdır. Basınç derinlikle doğrusal arttığı için bütün şeritlerin ortalama basıncı, levhanın ağırlık merkezindeki basınçtır. Tıpkı eşit adımlarla yükselen bir merdivende basamakların ortalamasının orta basamak olması gibi. Böylece çok kullanışlı bir sonuç çıkar: toplam kuvvet, ağırlık merkezindeki basınç çarpı levhanın alanı. Bir örnek: bir akvaryumun dikey camı 3 metre geniş, 2 metre yüksek ve üst kenarı yüzeyin 1 metre altında. Ağırlık merkezinin derinliği 1 artı 2'nin yarısı, yani 2 metre. Oradaki basınç 1000 çarpı 9.81 çarpı 2, yani 19620 paskal. Camın alanı 3 çarpı 2, 6 metrekare. Kuvvet 19620 çarpı 6, yani 117720 newton, yaklaşık 118 kilonewton. Bu, camın üzerinde 12 ton ağırlığında bir yük durması demek.

5. 5. Basınç Prizması

   

   basınç prizması

   her noktada ok: uzunluğu = oradaki basınç

   prizmanın hacmi = toplam kuvvet

   kanal kapağı: 1.5 m geniş, su üst kenara kadar, 2 m

   yüzeyde 0; dipte 1000 · 9.81 · 2 = 19620 Pa

   üçgen prizma:

   $\displaystyle ½ \cdot 19620 \cdot 2 \cdot 1.5 = 29430 N$

   kontrol: hC = 1 m → 9810 Pa; A = 3 m² → 9810 · 3 = 29430 N ✓

   etki çizgisi: prizmanın ağırlık merkezi

   üçgende derinliğin 2/3'ü: yüzeyden 1.33 m, dipten 0.67 m

   kuvvet ortada değil, daha aşağıda: aşağıda basınç büyük

   Sesli anlatım metni

   Bu kuvveti gözle görmenin güzel bir yolu var: basınç prizması. Levhanın her noktasına, oradaki basınç kadar uzun bir ok çizelim. Oklar derinlikle uzar ve uçları eğik bir yüzey oluşturur. Levha ile bu yüzey arasında kalan hacme basınç prizması denir; hacmi, toplam kuvvete eşittir. Bir sulama kanalının kapağını düşünelim: 1.5 metre geniş, su tam üst kenarına kadar, derinlik 2 metre. Yüzeyde gösterge basıncı sıfır, dipte 1000 çarpı 9.81 çarpı 2, yani 19620 paskal. Prizma bu yüzden üçgen biçimli: hacmi yarım çarpı 19620 çarpı 2 çarpı 1.5, yani 29430 newton. Ağırlık merkezi yöntemiyle kontrol edelim: merkezin derinliği 1 metre, oradaki basınç 9810 paskal, alan 3 metrekare; 9810 çarpı 3, yine 29430 newton. Kuvvetin etki çizgisi prizmanın ağırlık merkezinden geçer. Üçgen bir prizmada bu nokta derinliğin üçte ikisindedir: yüzeyden 1.33 metre aşağıda, dipten 0.67 metre yukarıda. Kuvvet levhanın ortasına değil, daha aşağıya etki eder; çünkü aşağıda basınç daha büyüktür.

6. 6. Basınç Merkezi

   

   genel bir levhada kuvvet nereye etki eder?

   basınç merkezi: kuvvetin etki noktası

   yP = yC + Ixx,C / (yC A)

   I: alan atalet momenti (uzaklığın karesiyle ağırlıklı)

   dikdörtgen:

   $\displaystyle I =\frac{ a b³ }{ 12}$

   cam:

   $\displaystyle I = 3 \cdot \frac{ 2³ }{ 12 }= 3 \cdot \frac{ 8 }{ 12 }= 2 m⁴$

   yC A = 2 · 6 = 12 m³

   e = 2 / 12 ≈ 0.167 m = 16.7 cm

   yP = 2 + 0.167 = 2.167 m

   kanal: I = 1.5 · 8 / 12 = 1; yC A = 1 · 3 = 3

   e = 1 / 3 m → yP = 1.33 m (prizmayla aynı ✓)

   dikdörtgen:

   $\displaystyle e = b² /$

   (12 hC)

   derinleştikçe e küçülür: merkeze yaklaşır, ulaşmaz

   Sesli anlatım metni

   Peki genel bir levhada bu nokta nerede? Kuvvetin etki ettiği noktaya basınç merkezi denir. Moment dengesinden çıkan sonuç şudur: basınç merkezi ağırlık merkezinin biraz altındadır ve aradaki mesafe, alanın atalet momenti bölü ağırlık merkezinin derinliği çarpı alan. Atalet momenti, alanın her parçasının eksene uzaklığının karesiyle ağırlıklandırılmış toplamıdır; alan dikey yönde ne kadar uzunsa o kadar büyüktür. Dikdörtgen için genişlik çarpı yüksekliğin küpü bölü 12. Akvaryum camına dönelim. Atalet momenti 3 çarpı 2'nin küpü, yani 3 çarpı 8, bölü 12: 2 metre üzeri dört. Ağırlık merkezinin derinliği çarpı alan, 2 çarpı 6, yani 12. Aradaki mesafe 2 bölü 12, yaklaşık 0.167 metre, yani 16.7 santimetre. Basınç merkezi yüzeyden 2.167 metre aşağıda. Kanal kapağında atalet momenti 1.5 çarpı 8 bölü 12, yani 1; merkez derinliği çarpı alan 1 çarpı 3, yani 3; mesafe üçte bir metre ve basınç merkezi 1.33 metrede: prizmadan bulduğumuz sonucun aynısı. Bir de şuna bakın: dikdörtgende bu mesafe, yüksekliğin karesi bölü 12 çarpı merkez derinliği. Levha derine indikçe mesafe küçülür; basınç merkezi ağırlık merkezine yaklaşır ama hiçbir zaman ona ulaşmaz.

7. 7. Başka Şekiller: Denizaltı Penceresi

   

   atalet momentleri tablolarda hazır

   denizaltı penceresi: Ø 40 cm, merkez 30 m, ρ = 1025

   PC = 1025 · 9.81 · 30 ≈ 301.7 kPa

   $\displaystyle A = \pi \cdot 0.2² \approx 0.1257 m²$

   F = 301.7 kPa · 0.1257 ≈ 37.9 kN ≈ 4 ton

   daire:

   $\displaystyle e = R² /$

   (4 hC)

   e = 0.04 / 120 ≈ 0.33 mm

   derinde P neredeyse düzgün → basınç merkezi ≈ merkez

   Sesli anlatım metni

   Başka şekillerin atalet momentleri de tablolarda hazırdır: daire için pi çarpı yarıçapın dördüncü kuvveti bölü 4, üçgen için taban çarpı yüksekliğin küpü bölü 36, yarım daire için yaklaşık 0.11 çarpı yarıçapın dördüncü kuvveti. Bir denizaltının yuvarlak penceresini düşünelim: çapı 40 santimetre, merkezi 30 metre derinlikte; deniz suyunun yoğunluğu 1025. Merkezdeki basınç 1025 çarpı 9.81 çarpı 30, yaklaşık 301.7 kilopaskal. Pencerenin alanı pi çarpı 0.2'nin karesi, yaklaşık 0.1257 metrekare. Kuvvet 301.7 kilopaskal çarpı 0.1257, yaklaşık 37.9 kilonewton: küçük bir pencereye neredeyse 4 ton yük biniyor. Basınç merkezi ne kadar aşağıda? Daire için mesafe, yarıçapın karesi bölü 4 çarpı merkez derinliği: 0.04 bölü 120, yani üçte bir milimetre. Derinde basınç pencere boyunca neredeyse aynı olduğundan basınç merkezi pratikte pencerenin tam ortasındadır.

8. 8. Eğik Yüzeyler

   

   eğik levha

   y: levha boyunca, su yüzeyini kestiği çizgiden

   düşey derinlik:

   $\displaystyle h = y \sin \theta$

   kuvvette hC (düşey derinlik)

   kapak: 1.2 m × 2 m, θ = 60°, üst kenar yüzeyde

   yC = 1 m → hC = 1 · sin 60° = 0.866 m

   PC = 1000 · 9.81 · 0.866 ≈ 8495 Pa

   $\displaystyle A = 1.2 \cdot 2 = 2.4 m² \to F = 8495 \cdot 2.4 \approx 20390 N$

   I = 1.2 · 8 / 12 = 0.8; yC A = 1 · 2.4; e = 0.8 / 2.4 = 1/3 m

   yP = 1.33 m (eğim boyunca) → hP = 1.33 · 0.866 ≈ 1.15 m

   kuvvette h (düşey), basınç merkezinde y (eğim boyunca)

   Sesli anlatım metni

   Levha eğik olursa ne değişir? Mesafeleri artık levha boyunca, levhanın su yüzeyini kestiği çizgiden ölçeriz. Bir noktanın düşey derinliği, levha boyunca uzaklığı çarpı eğim açısının sinüsüdür. Kuvvet için yine ağırlık merkezinin düşey derinliği kullanılır. Örnek: 1.2 metre geniş, eğim boyunca 2 metre uzun bir kapak yatayla 60 derece yapıyor ve üst kenarı su yüzeyinde. Ağırlık merkezi eğim boyunca 1 metrede; düşey derinliği 1 çarpı 60 derecenin sinüsü, yani 0.866 metre. Basınç 1000 çarpı 9.81 çarpı 0.866, yaklaşık 8495 paskal. Alan 1.2 çarpı 2, 2.4 metrekare; kuvvet 8495 çarpı 2.4, yaklaşık 20390 newton. Basınç merkezi ise eğim boyunca ölçülür: atalet momenti 1.2 çarpı 8 bölü 12, yani 0.8; merkez uzaklığı çarpı alan 1 çarpı 2.4; mesafe 0.8 bölü 2.4, yani üçte bir metre. Basınç merkezi eğim boyunca 1.33 metrede, düşey derinliği 1.33 çarpı 0.866, yaklaşık 1.15 metre. Kısacası: kuvvette düşey derinlik, basınç merkezinde eğim boyunca uzaklık.

9. 9. Kapağın Sırrı

   

   baştaki kapak: neden tam o seviyede açılıyor?

   kapak 3 m × 2 m; menteşe tabandan 1.2 m (ortanın 0.3 m altı)

   su tepenin altında: prizma üçgen, basınç merkezi H / 3 (H = 3 m'de bile 1 m)

   kuvvet alt kısmı eşiğe bastırır → kapalı

   su tepeyi aşınca kapak tamamen su altında

   $\displaystyle I = 2 \cdot \frac{ 3³ }{ 12 }= 4.5 m⁴, A = 6 m²$

   e = 4.5 / (6 hC) = 0.75 / hC

   açılma: e = 0.3 m → 0.75 / hC = 0.3

   hC = 0.75 / 0.3 = 2.5 m

   H = 2.5 + 1.5 = 4 m (kapağın 1 m üstü)

   F = 1000 · 9.81 · 2.5 · 6 ≈ 147 kN ≈ 15 ton

   menteşe ortada → e hep sıfırdan büyük → hiç açılmaz

   Sesli anlatım metni

   Şimdi baştaki kapağa dönelim. Kapak 3 metre yüksek, 2 metre geniş; menteşe tabandan 1.2 metre yukarıda, yani kapağın ortasının 0.3 metre altında. Su kapağın tepesine ulaşmadan önce basınç prizması üçgendir ve basınç merkezi tabandan, su derinliğinin üçte biri kadar yukarıdadır; su tam tepeye geldiğinde bile bu nokta tabandan yalnız 1 metre yukarıdadır, menteşenin altında. Kuvvet kapağın alt kısmını eşiğe bastırır ve kapak kapalı kalır. Su kapağın üstünü geçince kapak tamamen su altındadır. Atalet momenti 2 çarpı 3'ün küpü bölü 12, yani 4.5; alan 6 metrekare. Basınç merkezinin ortadan uzaklığı 4.5 bölü 6 çarpı merkez derinliği, yani 0.75 bölü merkez derinliği. Su yükseldikçe bu mesafe küçülür. Kapak, basınç merkezi menteşeye ulaştığı an açılır: 0.75 bölü merkez derinliği eşittir 0.3. Buradan merkez derinliği 0.75 bölü 0.3, yani 2.5 metre. Kapağın ortası tabandan 1.5 metre yukarıda olduğuna göre su derinliği 2.5 artı 1.5, yani 4 metre: kapağın 1 metre üstü. O anda kapağa binen kuvvet 1000 çarpı 9.81 çarpı 2.5 çarpı 6, yaklaşık 147 kilonewton, yani 15 ton. Menteşe tam ortada olsaydı? Basınç merkezi her zaman ortanın biraz altında kalır; su ne kadar derin olursa olsun menteşeye ulaşamaz ve kapak hiç açılmaz.

10. 10. Yatay Yüzey ve Baraj

    

    iki özel durum: yatay yüzey ve dikey baraj

    yatay taban: 2 m × 1 m, 1.5 m su altında

    P = 1000 · 9.81 · 1.5 = 14715 Pa

    F = 14715 · 2 = 29430 N, tam ortada

    dikey baraj yüzü: su yüzeyden tabana

    metre genişlik başına:

    $\displaystyle F =\frac{ \rho g H² }{ 2}$

    H = 100 m: 1000 · 9.81 · 10000 / 2 ≈ 49 MN ≈ 5000 ton

    tabandan H / 3 ≈ 33 m yukarıda

    H × 2 → F × 4, devirme momenti × 8

    barajlar bu yüzden tabanda kalın

    Sesli anlatım metni

    İki özel durum daha. Yatay bir yüzeyde basınç her yerde aynıdır. 1.5 metre su altındaki, 2 metreye 1 metrelik bir tank tabanında basınç 1000 çarpı 9.81 çarpı 1.5, yani 14715 paskal; kuvvet 14715 çarpı 2, yani 29430 newton ve tam ortaya etki eder. Dikey bir baraj yüzünde ise su yüzeyden tabana kadar dayanır. Barajın her metre genişliğine düşen kuvvet, yoğunluk çarpı yer çekimi çarpı derinliğin karesi bölü 2. 100 metre derin bir baraj için 1000 çarpı 9.81 çarpı 10000 bölü 2: metre başına 49 milyon newton, yani yaklaşık 5000 ton; tabandan 33 metre yukarıya etki eder. Derinlik iki katına çıkarsa kuvvet dört katına, barajı devirmeye çalışan moment sekiz katına çıkar. Barajların tabanda bu kadar kalın olmasının nedeni budur.

11. 11. Üç Tuzak

    

    ① Kuvveti yüzeydeki ya da dipteki basınçla hesaplamak → doğrusu: ağırlık merkezindeki basınç

    ② Kuvveti levhanın ortasına koymak → basınç merkezi ağırlık merkezinin altında (yatay levha hariç)

    ③ Eğik levhada düşey derinlikle eğim boyunca uzaklığı karıştırmak → kuvvette h, basınç merkezinde y

    Sesli anlatım metni

    Üç tuzak. Bir: kuvveti yüzeydeki ya da dipteki basınçla hesaplamak; doğru basınç, ağırlık merkezindeki basınçtır. İki: kuvveti levhanın ortasına koymak; basınç merkezi, yatay levha dışında her zaman ağırlık merkezinin altındadır. Üç: eğik levhada düşey derinlikle eğim boyunca uzaklığı karıştırmak; kuvvette düşey derinlik, basınç merkezi formülünde eğim boyunca uzaklık kullanılır.

12. 12. Özet ve Sıradaki Ders

    

    Kuvvet: F = PC A — ağırlık merkezindeki basınç × alan

    Basınç merkezi ağırlık merkezinin altında; derinleştikçe ona yaklaşır

    Basınç prizması: hacmi kuvvet, ağırlık merkezi etki çizgisi

    Sıradaki ders: eğri yüzeyler ve kaldırma kuvveti (Arşimet)

    Sesli anlatım metni

    Özetleyelim. Düz bir yüzeye etki eden toplam kuvvet, ağırlık merkezindeki basınç çarpı alandır. Bu kuvvet basınç merkezine etki eder; bu nokta ağırlık merkezinin altındadır ve yüzey derinleştikçe ona yaklaşır. Basınç prizması hem kuvveti hem de etki noktasını gözle görmemizi sağlar. Sıradaki derste eğri yüzeylere geçiyoruz ve kaldırma kuvvetini, yani Arşimet ilkesini göreceğiz. Görüşmek üzere.

Kaynak video: Düzlem Yüzeylere Hidrostatik Kuvvet (11:20)