#07 Hızlanan ve Dönen Kaplarda Sıvılar: Rijit Cisim Hareketi

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Geçen Ders ve Bugün

   

   Geçen ders: eğri yüzeyler, kaldırma kuvveti, kararlılık — su hep hareketsizdi

   Bugün: kap hareket ediyor

   ① düz yolda hızlanan kap

   ② yukarı / aşağı hızlanan kap ve serbest düşme

   ③ kendi ekseni etrafında dönen kap

   Sıvı, kapla birlikte katı bir cisim gibi hareket eder

   Sesli anlatım metni

   Geçen derste eğri yüzeylere etki eden kuvveti, kaldırma kuvvetini ve yüzen cisimlerin kararlılığını gördük. Bu hesapların hepsinde su hareketsizdi. Bugün kabı hareket ettiriyoruz. Önce düz bir yolda hızlanan bir kap; sonra yukarı ya da aşağı hızlanan bir kap ve serbest düşme; en sonda da kendi ekseni etrafında dönen bir kap. Üçünde de sıvı, kapla birlikte tek bir katı cisim gibi hareket ediyor.

2. 2. Hızlanan Arabada Su

   

   Arabada su dolu tank ve iple asılı sarkaç

   Dururken: yüzey yatay, sarkaç dik

   Hızlanırken: su arkaya yığılır, yüzey eğik bir düzlem olur

   Sarkaç da geriye yatar

   Sabit hızda: yüzey yine yatay

   Frende: yüzey öne eğilir

   Ne kadar eğilir? İp neden yüzeye dik?

   Sesli anlatım metni

   Tekerlekli bir arabanın üstünde, içinde su olan cam bir tank var. Yanında, direğe iple asılmış küçük bir sarkaç. Araba dururken su yüzeyi yatay, sarkaç dik. Araba hızlanmaya başlıyor: su arkaya yığılıyor, bir süre çalkalanıyor ve sonra eğik bir düzlem olarak duruyor. Sarkaç da geriye yatıyor. Araba sabit hıza çıkınca yüzey yeniden yatay oluyor; fren yapınca bu kez öne eğiliyor. Yüzey neden eğiliyor, ne kadar eğiliyor? Ve sarkacın ipi neden hep yüzeye dik?

3. 3. Rijit Cisim Hareketi

   

   önce çalkalanır, sonra bütün su kapla aynı ivmeyle gider

   katmanlar kaymaz → kayma gerilmesi yok

   durgun sudaki gibi yalnız basınç

   rijit cisim hareketi = katı cisim gibi hareket

   suyu ileri iten kuvvet? → basınç farkı

   su parçası: arka yüzde basınç ön yüzdekinden büyük

   hareket yönünde:

   $\displaystyle \frac{\partial P}{\partial x }= -\rho a$

   (her metrede ρa azalır)

   düşeyde:

   $\displaystyle \frac{\partial P}{\partial z }= -\rho g$

   (derinleştikçe artar)

   hızlanan kapta yer çekimi geriye yatmış gibi

   etkin yer çekimi: g − a

   sarkaç g − a yönünü gösterir; yüzey ona diktir

   Sesli anlatım metni

   Önce ne olduğunu anlayalım. Hızlanma başlarken su bir süre çalkalanır; sonra bütün su, kapla aynı ivmeyle hareket eder. Su katmanları birbirine göre kaymaz; kayma olmayınca kayma gerilmesi de olmaz. Tıpkı durgun suda olduğu gibi, yalnız basınç vardır. Buna rijit cisim hareketi, yani katı cisim gibi hareket denir. Peki suyu ileri doğru hızlandıran kuvvet nereden geliyor? Basınç farkından. Küçük bir su parçasını düşünelim: arka yüzündeki basınç, ön yüzündekinden büyük olmalı ki onu ileri itsin. Newton'un ikinci yasasından: hareket yönünde her metrede basınç, yoğunluk çarpı ivme kadar azalır. Düşey doğrultuda ise durgun sudaki gibi, derinleştikçe yoğunluk çarpı yerçekimi ivmesi kadar artar. Bunu akılda tutmanın kolay bir yolu var: hızlanan kabın içindeki su için yerçekimi biraz geriye yatmış gibidir. Bu etkin yerçekimi, gerçek yerçekimi ile ivmenin tersinin toplamıdır. Sarkacın ipi tam bu yönü gösterir; su yüzeyi de her zaman bu yöne diktir.

4. 4. Doğrusal İvme: Eğik Yüzey

   

   yüzeyin her noktasında P = Patm

   aynı yükseklikte öne gittikçe P azalır → yüzey öne alçalır

   $\displaystyle \tan \theta =\frac{ a }{ g}$

   düşey ivme de varsa: tan θ = ax / (g + az)

   yüzey bir düzlem; orta yerinde kalır, arka yükselir, ön alçalır (hacim sabit)

   arabamız:

   $\displaystyle a = 3 m/s² \to \tan \theta =\frac{ 3 }{ 9.81 }\approx 0.306$

   θ ≈ 17°; sarkaç da 17° geriye

   60 cm tank: arka kenar 30 · 0.306 ≈ 9.2 cm yükselir

   fincan Ø 8 cm; kahve kenara 1 cm kala dolu

   araba 0 → 100 km/h: 10 s

   100 km/h = 100 / 3.6 = 27.78 m/s

   $\displaystyle a =\frac{ 27.78 }{ 10 }= 2.78 m/s²$

   $\displaystyle \tan \theta =\frac{ 2.78 }{ 9.81 }\approx 0.283 \to \theta \approx 15.8^{\circ}$

   R = 4 cm: arka kenar 4 · 0.283 = 1.13 cm yükselir

   1.13 cm > 1 cm → kahve dökülür

   dökülmesin:

   $\displaystyle \tan \theta \le \frac{ 1}{4 }\to a \le \frac{ 9.81 }{ 4 }= 2.45 m/s²$

   0 → 100 km/h en az 27.78 / 2.45 = 11.3 s

   Sesli anlatım metni

   Şimdi yüzeyin eğimini bulalım. Yüzeyin her noktasında basınç atmosfer basıncıdır. Aynı yükseklikte öne gittikçe basınç azalır; basıncın atmosfer basıncına indiği yüzey de bu yüzden öne doğru alçalır. Buradan eğim açısının tanjantı çıkar: yatay ivme bölü yerçekimi ivmesi. İvmenin düşey bir bileşeni de varsa paydada yerçekimi ivmesine eklenir. Yüzey yine düz bir düzlemdir; tankın ortası yerinde kalır, arka kenar yükselir, ön kenar aynı miktar alçalır, çünkü su hacmi değişmez. Bizim arabada ivme 3 metre bölü saniye kare: tanjant 3 bölü 9.81, yaklaşık 0.306; açı yaklaşık 17 derece. Sarkaç da tam 17 derece geriye yatar. Tank 60 santimetre uzunluğunda; arka kenarda su 30 çarpı 0.306, yani yaklaşık 9.2 santimetre yükselir. Şimdi günlük bir örnek. Arabanın bardaklığında, 8 santimetre çaplı bir fincan var; kahve kenarına 1 santimetre kalana kadar dolu. Araba sıfırdan saatte 100 kilometreye 10 saniyede çıkıyor. Saatte 100 kilometre, 100 bölü 3.6, yani saniyede 27.78 metre. İvme: 27.78 bölü 10, yani 2.78 metre bölü saniye kare. Tanjant: 2.78 bölü 9.81, yaklaşık 0.283; açı yaklaşık 15.8 derece. Fincanın yarıçapı 4 santimetre; arka kenarda kahve 4 çarpı 0.283, yani 1.13 santimetre yükselir. Boşluk 1 santimetreydi: kahve dökülür. Dökülmemesi için tanjant en fazla 1 bölü 4 olmalı; ivme en fazla 9.81 bölü 4, yani 2.45 metre bölü saniye kare. Yani sıfırdan 100'e en az 27.78 bölü 2.45, yani 11.3 saniyede çıkarsanız kahve dökülmez.

5. 5. Düşey İvme ve Serbest Düşme

   

   asansörde kova: 30 cm su

   dururken: 1000 · 9.81 · 0.3 = 2943 Pa

   yukarı 2 m/s² ile hızlanırken

   g yerine 9.81 + 2 = 11.81

   1000 · 11.81 · 0.3 = 3543 Pa (%20 fazla)

   aşağı hızlanırken: 9.81 − 2 = 7.81 → 2343 Pa

   serbest düşme:

   $\displaystyle a = 9.81 aşağı \to 9.81 - 9.81 = 0$

   suyun içinde basınç farkı yok

   delikli şişe: elde su fışkırır, düşerken akmaz

   yörüngede: yer çekimi var, hepsi birlikte düşüyor

   Sesli anlatım metni

   Şimdi ivme düşey olsun. Asansörde, içinde 30 santimetre su olan bir kova düşünelim. Asansör dururken kovanın dibindeki gösterge basıncı 1000 çarpı 9.81 çarpı 0.3, yani 2943 pascal. Asansör yukarı doğru 2 metre bölü saniye kare ivmeyle hızlanırken su hem ağırlığını taşımalı hem de yukarı hızlanmalı; formülde yerçekimi ivmesinin yerine 9.81 artı 2, yani 11.81 gelir. Dipteki basınç 1000 çarpı 11.81 çarpı 0.3, yani 3543 pascal olur; yüzde 20 fazla. Aşağı doğru hızlanırken 9.81 eksi 2, yani 7.81 kullanılır: 2343 pascal. Kova serbest düşerse ne olur? İvme aşağı doğru tam 9.81; parantezin içi sıfır olur. Suyun içinde hiçbir basınç farkı kalmaz. Yan yüzünde delikler olan bir şişe düşünün: elinizde dururken deliklerden su fışkırır; şişeyi bırakın, düşerken su akmayı keser. Uzay istasyonundaki astronotlar da bu yüzden ağırlıksız görünür; orada yerçekimi sıfır değildir, istasyonla birlikte hep düşerler.

6. 6. Dönen Kap: Paraboloit Yüzey

   

   bardak R = 4 cm, 10 cm su, döner tabla

   tabla dönünce su da katı cisim gibi döner

   her parçacık çember çizer: merkeze doğru ivme r ω²

   bu ivmeyi basınç farkı sağlar: dışarı doğru P artar

   ortada çukur, kenarda yüksek: paraboloit

   $\displaystyle \Delta z =\frac{ \omega ² R² }{2g}$

   hacim sabit: orta ne kadar alçalırsa kenar o kadar yükselir

   180 dev/dk = 3 dev/s

   ω = 2π · 3 = 18.85 rad/s; ω² = 355.3

   $\displaystyle R² = 0.04 \cdot 0.04 = 0.0016$

   Δz = 355.3 · 0.0016 / 19.62 ≈ 2.9 cm

   orta −1.45 cm → 8.55 cm; kenar +1.45 cm → 11.45 cm

   aynı yarıçapta basınç hidrostatik

   tabanda kenar − orta = 1000 · 9.81 · 0.029 ≈ 284 Pa

   Sesli anlatım metni

   Son durum: dönen kap. Yarıçapı 4 santimetre olan bir bardakta 10 santimetre su var ve bardak bir döner tablanın üstünde. Tabla dönmeye başlayınca su önce bardağa yetişir, sonra bardakla birlikte katı bir cisim gibi döner. Dönen her su parçacığı bir çember çizer; bunun için merkeze doğru bir ivmeye ihtiyacı vardır: merkezden uzaklık çarpı açısal hızın karesi. Bu ivmeyi yine basınç farkı sağlar: merkezden dışarı gidildikçe basınç artar. Yüzey bu yüzden ortada çukurlaşır, kenarda yükselir; şekli bir paraboloittir. Kenar ile orta arasındaki yükseklik farkı: açısal hızın karesi çarpı yarıçapın karesi, bölü iki kere yerçekimi ivmesi. Silindir bir bardakta su hacmi değişmediği için orta ne kadar alçalırsa kenar o kadar yükselir. Sayılarla: bardak dakikada 180 devir, yani saniyede 3 devir dönüyor. Açısal hız 2 pi çarpı 3, yani 18.85 radyan bölü saniye; karesi 355.3. Yükseklik farkı: yarıçapın karesi 0.04 çarpı 0.04, yani 0.0016; 355.3 çarpı 0.0016, bölü 19.62, yaklaşık 2.9 santimetre. Orta 1.45 santimetre alçalıp 8.55 santimetreye iner; kenar 1.45 santimetre yükselip 11.45 santimetreye çıkar. Aynı yarıçapta ise basınç yine durgun sudaki gibi derinlikle artar: tabanda kenardaki basınç, ortadakinden 1000 çarpı 9.81 çarpı 0.029, yani yaklaşık 284 pascal fazladır.

7. 7. Bardak Ne Zaman Taşar?

   

   bardak 12 cm: hangi hızda taşar?

   kenar 12 cm'ye çıkınca taşar: +2 cm

   kenarın yükselmesi = ω² R² / (4g) = 0.02 m

   $\displaystyle \omega =\frac{\sqrt{4 \cdot 9.81 \cdot 0.02}}{ 0.04}$

   $\displaystyle 4 \cdot 9.81 \cdot 0.02 = 0.7848; \surd 0.7848 = 0.886$

   0.886 / 0.04 = 22.15 rad/s

   n = 22.15 · 60 / (2π) ≈ 211 dev/dk

   ortada 10 − 2 = 8 cm → taban kuru kalmaz

   şekil sıvıya bağlı değil → dönen cıva: teleskop aynası

   Sesli anlatım metni

   Bardak 12 santimetre yüksekliğinde olsun. Hangi hızda su taşar? Kenardaki su 12 santimetreye, yani 2 santimetre yükselince. Kenarın yükselmesi farkın yarısıdır: açısal hızın karesi çarpı yarıçapın karesi, bölü 4 kere yerçekimi ivmesi. Bunu 2 santimetreye eşitleyip açısal hızı yalnız bırakalım: 4 çarpı 9.81 çarpı 0.02, yani 0.7848; karekökü 0.886; bunu yarıçapa bölelim: 0.886 bölü 0.04, yani 22.15 radyan bölü saniye. Dakikada devir: 22.15 çarpı 60, bölü 2 pi; yaklaşık 211. O anda ortadaki su 10 eksi 2, yani 8 santimetrede; taban kuru kalmaz. Bu şekil sıvının cinsine bağlı değildir: dönen cıvanın yüzeyinden parabolik ayna yapan teleskoplar bile vardır.

8. 8. Üç Tuzak

   

   ① Sabit hızda yüzey eğik kalır sanmak → ivme sıfırsa yüzey yatay; eğim yalnız hızlanırken ve yavaşlarken

   ② Dönen kapta yüzeyi koni ya da düz yükselmiş sanmak → paraboloit; orta ne kadar alçalırsa kenar o kadar yükselir

   ③ Serbest düşmede basınç artar sanmak → düşen suda basınç farkı yok

   Sesli anlatım metni

   Üç tuzak. Bir: sabit hızla giden kapta yüzeyin eğik kaldığını sanmak; ivme sıfırsa yüzey yataydır, eğim yalnız hızlanırken ve yavaşlarken oluşur. İki: dönen kapta yüzeyin koni biçiminde olduğunu ya da her yerde aynı miktar yükseldiğini sanmak; yüzey bir paraboloittir ve silindirde orta ne kadar alçalırsa kenar o kadar yükselir. Üç: serbest düşmede basıncın arttığını sanmak; düşen suyun içinde basınç farkı kalmaz.

9. 9. Özet ve Sıradaki Ders

   

   Rijit cisim hareketi: kayma yok, yalnız basınç

   Doğrusal ivme: eğik düzlem, tan θ = ax / (g + az)

   Serbest düşme: basınç farkı kalmaz

   Dönen kap: paraboloit, Δz = ω² R² / (2g)

   Sıradaki ders: akışkan kinematiği

   Sesli anlatım metni

   Özetleyelim. Kapla birlikte katı bir cisim gibi hareket eden sıvıda kayma gerilmesi yoktur, yalnız basınç vardır. Doğrusal ivmede yüzey eğik bir düzlemdir; eğimin tanjantı, yatay ivme bölü yerçekimi ivmesi. Serbest düşmede basınç farkı kaybolur. Dönen kapta yüzey paraboloittir; kenar ile orta arasındaki fark, açısal hızın karesi çarpı yarıçapın karesi, bölü iki kere yerçekimi ivmesidir. Sıradaki derste akışkanların nasıl hareket ettiğini, yani akışkan kinematiğini konuşacağız. Görüşmek üzere.

Kaynak video: Hızlanan ve Dönen Kaplarda Sıvılar: Rijit Cisim Hareketi (9:01)