#04 FM, PM, anlık frekans, modülasyon indeksi ve Carson kuralı

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Sabit genlikli taşıyıcıyı anlık açıyla tanımla

   

   Açı modülasyonu: s(t)=A_c cosθ_i(t)

   Anlık faz: θ_i(t)=2πf_c t+φ(t)

   A_c sabit → bilgi genlikte değil açıda

   Anlık açısal frekans: ω_i(t)=dθ_i(t)/dt

   Anlık frekans: f_i(t)=(1/2π)dθ_i(t)/dt [Hz]

   FM kuralı: f_i(t)=f_c+k_f m(t)

   PM kuralı: φ_PM(t)=k_p m(t)

   Birim: k_f [Hz/V], k_p [rad/V] (m volt ise)

   Ortak özellik: sabit zarf, değişen açı

   Sesli anlatım metni

   Önceki derslerde her şemayı taşıyıcı genliği üzerine kurmuştuk. Şimdi kuralı değiştiriyoruz. Genliği sabit tutuyor ve mesajı taşıyıcının açısına yerleştiriyoruz. Açının iki doğal bileşeni vardır, frekans ve faz. Bu tek karar iki ilgili şemaya ayrılır. Frekans Modülasyonu yani FM, mesajın anlık frekansı kontrol etmesine izin verir. Faz Modülasyonu yani PM ise mesajın anlık fazı kontrol etmesine izin verir. İkisi de açı modülasyonu ailesindedir.

2. 2. Tek tonlu FM’de anlık frekansı faz türevinden çıkar

   Mesajı açık seç: m(t)=A_m cos(2πf_m t)

   FM: f_i(t)=f_c+k_f A_m cos(2πf_m t)

   Tepe frekans sapması: Δf=k_f A_m [Hz]

   dθ_FM/dt=2π[f_c+Δf cos(2πf_m t)]

   İntegral al: θ_FM(t)=2πf_c t+(Δf/f_m)sin(2πf_m t)

   FM indeksi: β_f=Δf/f_m (boyutsuz)

   $s_{\mathrm{F}}M(t)=A_{\mathrm{c}} \cos [2\pif_{\mathrm{c}} t+\beta_{\mathrm{f}} \sin (2\pif_{\mathrm{m}} t)]$

   m(t)>0 → f_i>f_c; m(t)<0 → f_i<f_c

   Zarf kontrolü: |s_FM| tepe değeri A_c, değişmez

   Yaygın hata: fazdaki sinüsü doğrudan frekans sanmak; f_i fazın türevidir

   Sesli anlatım metni

   Açı modülasyonunun temel fikri, anlık frekans kavramıdır. Sabit bir hızda salınan saf bir taşıyıcı düşünün. Mesaj yükseldiğinde taşıyıcıyı biraz daha hızlı salınmaya zorlarız. Mesaj düştüğünde ise biraz daha yavaş salınır. Yani her an taşıyıcının, mesajı izleyen kendi yerel frekansı vardır. Genlik asla değişmez, yalnızca dalganın zamanda ne kadar hızlı ilerlediği değişir. İşte bir FM dalgasının bazı bölgelerde sıkışmış, başka bölgelerde gerilmiş görünmesinin sebebi budur, hâlbuki her çevrim tam olarak aynı yüksekliktedir.

3. 3. FM ile PM arasındaki türev–integral ilişkisini çıkar

   FM’de mesaj frekansı sürer: f_i-f_c=k_f m(t)

   FM fazı: φ_FM(t)=2πk_f∫m(τ)dτ

   PM’de mesaj fazı sürer: φ_PM(t)=k_p m(t)

   PM anlık frekansı: f_i=f_c+(k_p/2π)dm(t)/dt

   Sonuç: PM[m(t)] ≡ FM[dm(t)/dt] (kazanç ölçeğiyle)

   Tek ton için PM indeksi: β_p=k_p A_m [rad]

   PM tepe frekans sapması: Δf_PM=β_p f_m

   FM’de Δf genliğe; PM’de Δf hem genliğe hem f_m’ye bağlı

   Yaygın hata: faz sapması ile frekans sapmasını aynı nicelik sanmak

   Sesli anlatım metni

   FM ve PM ekranda çok benzer görünür, fakat mesajı farklı biçimde kodlarlar. Frekans Modülasyonunda anlık frekans sapması doğrudan mesajla orantılıdır. Yani daha güçlü bir mesaj, frekansı taşıyıcıdan daha uzağa iter. Faz Modülasyonunda ise anlık faz sapması mesajla orantılıdır. Bu küçük fark, PM'i mesajın türevine uygulanan FM'e denk hale getirir. Pratikte yayın ve ses radyosunda FM baskın olmuştur, PM ise daha çok dijital haberleşmenin temel taşı olarak görülür.

4. 4. Modülasyon indeksine göre dar ve geniş bant FM’i ayır

   

   Tek tonlu FM indeksi: β_f=Δf/f_m

   β_f≪1 → dar bant FM (NBFM)

   NBFM: taşıyıcı + baskın ilk yan bant çifti

   Yaklaşık bant: B_NBFM≈2f_m

   β_f≫1 → geniş bant FM (WBFM)

   Spektrum çizgileri: f_c±n f_m, n=1,2,…

   Kesin genlikler: A_c J_n(β_f)

   Anlamlı en yüksek mertebe yaklaşık n≈β_f+1

   Büyük β: daha çok yan bant ve gürültü direnci; bedel daha çok spektrum

   Sesli anlatım metni

   FM içinde modülasyonun ne kadar agresif olduğunu belirleyen tek bir sayı vardır, modülasyon indeksi, genelde beta ile gösterilir. Beta küçükse, yalnızca küçük bir frekans sapması kullanılır ve spektrum hemen hemen AM gibi tek bir yan bant çiftine benzer. Buna dar bant FM denir. Beta büyüdüğünde taşıyıcı, frekansta uzaklara kadar salınır ve spektrum, taşıyıcı etrafında çok sayıda yan bant çiftine açılır. Buna geniş bant FM denir. Beta büyüdükçe ses kalitesi ve gürültüye dayanıklılık artar, fakat bu her zaman daha fazla bant genişliğine mal olur.

5. 5. Carson kuralıyla pratik FM bant genişliğini hesapla

   

   Mesaj bant sınırı: |f|≤W

   Tepe frekans sapması: Δf=max|f_i(t)-f_c|

   Carson: B_FM≈2(Δf+W)

   Tek ton için: B_FM≈2f_m(β_f+1)

   Verilen: Δf=75 kHz, W=15 kHz

   Topla: Δf+W=75+15=90 kHz

   B_FM≈2×90 kHz=180 kHz

   Birim kontrolü: frekans + frekans → frekans

   Sağlama: β_f=75/15=5 → geniş bant FM

   Mühendislik ödünleşimi: daha büyük Δf, daha temiz alım; daha geniş bant

   Sesli anlatım metni

   Toparlarsak, FM ve PM, sadelikten vazgeçip gürültüye karşı dayanıklılık ile kalite kazanır. Bant genişliği artık sadece mesaj bant genişliğinin iki katı değildir. Pratik bir yaklaşım, Carson kuralıdır. FM bant genişliği yaklaşık olarak tepe frekans sapması ile en yüksek mesaj frekansının toplamının iki katıdır. Yani daha geniş bir sapma daha temiz bir alım kazandırır, fakat her zaman daha fazla spektruma mal olur. Bir sonraki derste FM'in nasıl demodüle edildiğine ve bir alıcının taşıyıcıya nasıl Faz Kilitli Devre yani PLL ile kilitlendiğine bakacağız.

Kaynak video: Analog Haberleşme #04 | Frekans Modülasyonu (FM) ve Faz Modülasyonu (PM) Sezgisi (3:00)