نظرية الدوائر الكهربائية 2 · الاستجابة الترددية والمقدار والطور والديسيبل

#20 من دالة الانتقال إلى الجيب المستقر ومخطط بودي لمرشح RC منخفض التمرير

اقرأ الكسب والطور عند كل تردد، ثم احسب نقطة القطع والديسيبل بخطوات واضحة.

السؤال

بطاقة أصلية عن الاستجابة الترددية أو مرشح RC أو قراءة المقدار والطور والديسيبل. — مرجع من الفيديو نفسه؛ بعض الرسوم ذات محاور أو حدود غير دقيقة استبدلت ببطاقات التعريف والخلاصة. المعادلات والشروط الدقيقة في سطور الدفتر؛ الفيديو والصوت لم يتغيرا.

استخرج الاستجابة الترددية من دالة الانتقال، ثم احسب المقدار والطور والديسيبل لمرشح RC منخفض التمرير. نفترض نظاما خطيا ثابتا مع الزمن (LTI)، سببيا ومستقرا، وقد زال الجزء العابر؛ المحور التخيلي داخل منطقة تقارب تحويل الاستجابة النبضية، وليس عليه قطب. لا يكفي التعويض الجبري وحده لإثبات وجود حالة مستقرة في نظام غير مستقر. s متغير لابلاس، وj الوحدة التخيلية. ω تردد زاوي بوحدة راديان/ثانية، وf بالهرتز، وt بالثانية. في مثال RC العناصر مثالية وثابتة وموجبة؛ R بالأوم وC بالفاراد، وτ=RC بالثانية. مصدر جهد مثالي يفرض جهد الدخل بين طرف المقاومة الأيسر والمرجع السفلي؛ R متسلسلة، وC من عقدة الخرج إلى المرجع، والخرج جهد المكثف العلوي ناقص المرجع. لا حمل خارجي ولا مقاومة مصدر إضافية. هذا تعريف لمنفذ الجهد في الرسم، لا افتراض لسلك عائم. H نسبة جهدي الخرج والدخل مع شروط ابتدائية صفرية؛ القيم الكبيرة تحويلات لا جهود آنية. نرمز للمقدار M(ω) ولإزاحة الطور φ(ω). الدخل الجيبي x(t)=A cos(ωt) ذو سعة قمية A موجبة؛ إذا بدأ بزاوية أخرى تضاف زاوية الدخل أيضا إلى طور الخرج. المحافظة على التردد تخص النظام الخطي والحالة المستقرة. إزاحة الطور عند تردد واحد ليست تأخيرا زمنيا ثابتا عاما لكل الترددات. جميع log هنا للأساس عشرة، وتدخلها نسبة موجبة بلا وحدة بين كميتين من النوع نفسه وبالاصطلاح نفسه (قيمي RMS معا أو قمتين معا). ديسيبل السعة يساوي 20 log للنسبة، وديسيبل القدرة يساوي 10 log لنسبة القدرة المتوسطة الحقيقية الموجبة. تفسير مربع نسبة الجهد أو التيار كنسبة قدرة يحتاج مقاومات مرجعية متساوية؛ عند اختلافها لا تتساوى النسبتان. صفر ديسيبل يعني نسبة واحد، وليس انعدام الخرج؛ نسبة صفر تعطي سالب ما لا نهاية لا لوغاريتما منتهيا. وصف نقطة القطع بنصف القدرة يعني مربع الكسب نسبة إلى نطاق المرور أو مقارنة قدرة على مقاومتين مرجعيتين متساويتين؛ لا يعني قدرة متوسطة يستهلكها المكثف المثالي. قيم 1/√2 و−3.01 ديسيبل تخص ω عند القطع فقط. التقريب صفر ديسيبل صالح بعيدا تحت القطع، وميل −20 ديسيبل لكل زيادة عشرية صالح بعيدا فوقه؛ الانتقال ليس حادا. المرجع البصري من الفيديو نفسه: استبدلت موجة بلا محور صفر واضح وبطاقتا الطور والديسيبل ومخطط بودي ذوات قصور المحاور/الحدود ببطاقات تعريف وخلاصة؛ المعادلات الدقيقة في سطور الدفتر، ولم يعد إنتاج الفيديو أو الصوت.

الحل المكتوب ونص الشرح(يعرض الحل كاملًا)

تجد أدناه جميع الأسطر المكتوبة في الدفتر مع النص الكامل للشرح الصوتي.

1. من دالة الانتقال إلى التردد
مرجع من الفيديو نفسه؛ بعض الرسوم ذات محاور أو حدود غير دقيقة استبدلت ببطاقات التعريف والخلاصة. المعادلات والشروط الدقيقة في سطور الدفتر؛ الفيديو والصوت لم يتغيرا.
مع شروط ابتدائية صفرية، تربط دالة الانتقال الدخل بالخرج:
$\displaystyle Y\left(s\right)=H\left(s\right) X\left(s\right)$
نستخدم الخريطة نفسها لدراسة استجابة الدائرة لتردد واحد في كل مرة.
السؤال الآن: كيف تتغير سعة الجيب وطورُه عند كل تردد، بعد زوال الجزء العابر؟
عندما تتحقق شروط الاستقرار والتقارب المذكورة، نعوض على المحور التخيلي:
$\displaystyle s=j\omega$
المحور التخيلي يعني أن الجزء الحقيقي من s يساوي صفرا؛ ليس كل تعويض دليلا على حالة مستقرة.
نص الشرح الصوتي
في الدرس السابق كانت دالة الانتقال خريطة صفرية الحالة بين الدخل والخرج: Y في إس تساوي X في إس مضروبة في H في إس. الآن نستخدم نفس الخريطة بطريقة عملية جدا. بدلا من أن نسأل عن كل شكل موجي ممكن في الزمن، نسأل: كيف تتعامل الدائرة مع كل تردد جيبي؟ الخطوة صغيرة لكنها قوية: نأخذ H في إس، ونضع إس تساوي j أوميغا. هكذا نقرأ الدالة على المحور التخيلي.
2. تعريف الاستجابة الترددية
مرجع من الفيديو نفسه؛ بعض الرسوم ذات محاور أو حدود غير دقيقة استبدلت ببطاقات التعريف والخلاصة. المعادلات والشروط الدقيقة في سطور الدفتر؛ الفيديو والصوت لم يتغيرا.
نقرأ دالة الانتقال على المحور التخيلي للحصول على H(jω).
لكل ω قيمة مركبة؛ لا نختزلها إلى عدد حقيقي ونتجاهل الطور.
نرمز للمقدار ولزاوية الدالة:
$\displaystyle M\left(\omega \right)=|H\left(j\omega \right)|,\; \varphi \left(\omega \right)=∠H\left(j\omega \right)$
المرشح قد يمرر ترددات ويضعف أخرى، ولكل تردد كسب وإزاحة طور؛ لا يلزم أن يكون التأخير الزمني ثابتا.
نص الشرح الصوتي
الاستجابة الترددية هي H عند j أوميغا. لكل قيمة من أوميغا، نحصل على عدد مركب. مقدار هذا العدد يخبرنا بالكسب عند ذلك التردد، وزاويته تخبرنا بإزاحة الطور. لذلك يمكن أن نرى الدائرة كمرشح ترددي: ترددات تمر تقريبا كما هي، وترددات تضعف، ومع كل تردد قد يحدث تأخير أو تقدم في الطور.
3. الجيب في الحالة المستقرة
مرجع من الفيديو نفسه؛ بعض الرسوم ذات محاور أو حدود غير دقيقة استبدلت ببطاقات التعريف والخلاصة. المعادلات والشروط الدقيقة في سطور الدفتر؛ الفيديو والصوت لم يتغيرا.
قاعدة الجيب المستقر لنظام خطي ثابت مع الزمن بعد زوال العابر.
نختار دخلًا بزاوية ابتدائية صفرية وسعة قمية A:
$\displaystyle x\left(t\right)=A \cos \left(\omega t\right)$
يبقى التردد نفسه؛ الذي يتغير سعة الخرج A_o وإزاحة طوره φ.
نضرب السعة في المقدار ونضيف زاوية الدالة إلى الطور:
$\displaystyle A_{o}=A M\left(\omega \right),\; y_{\mathrm{ss}}\left(t\right)=A M\left(\omega \right) \cos \left(\omega t+\varphi \left(\omega \right)\right)$
المقدار والطور يعيدان تشكيل الجيب؛ بطاقة المرجع هنا بديلة عن موجة ذات محور صفر غير واضح، لا رسم موجة جديد.
نص الشرح الصوتي
القاعدة الأساسية في الحالة الجيبية المستقرة هي الآتية. إذا كان الدخل A مضروبة في cos أوميغا t، فبعد زوال الجزء العابر، يكون الخرج له نفس التردد. لكنه يتغير في السعة والطور. السعة تضرب في مقدار H عند j أوميغا، والطور يضاف إليه زاوية H عند j أوميغا. إذن التردد لا يتغير؛ الذي يتغير هو مقدار الإشارة وموضعها الزمني.
4. مرشح RC منخفض
مرجع من الفيديو نفسه؛ بعض الرسوم ذات محاور أو حدود غير دقيقة استبدلت ببطاقات التعريف والخلاصة. المعادلات والشروط الدقيقة في سطور الدفتر؛ الفيديو والصوت لم يتغيرا.
نستخدم RC منخفض التمرير: R متسلسلة وC إلى المرجع، والخرج على C؛ مصدر مثالي ولا حمل إضافي.
نعرف ثابت الزمن τ بالثانية ثم دالة الانتقال:
$\displaystyle \tau =R C,\; H\left(s\right)=\frac{1}{\tau s+1}$
للاستجابة الجيبية المستقرة نعوض متغير لابلاس:
$\displaystyle s=j\omega$
بالتعويض في المقام نحصل على:
$\displaystyle H\left(j\omega \right)=\frac{1}{1+j\omega \tau }$
بعيدا تحت القطع تكون ωτ صغيرة جدا، فيقارب المقام الواحد ويقارب مقدار كسب الجهد الواحد.
بعيدا فوق القطع تكبر ωτ، فتضعف سعة جهد المكثف بالنسبة إلى سعة الدخل.
نص الشرح الصوتي
نستخدم نفس مرشح R C المنخفض من الدرس السابق. دالة الانتقال هي واحد على tau s زائد واحد، حيث tau تساوي R C. للحصول على الاستجابة الترددية نضع s تساوي j أوميغا. فنحصل على H عند j أوميغا تساوي واحدا على واحد زائد j أوميغا tau. عند التردد المنخفض تكون أوميغا tau صغيرة، فيكون المقام قريبا من واحد. وعند التردد العالي تكبر أوميغا tau، فيصغر خرج المكثف.
5. المقدار والطور
مرجع من الفيديو نفسه؛ بعض الرسوم ذات محاور أو حدود غير دقيقة استبدلت ببطاقات التعريف والخلاصة. المعادلات والشروط الدقيقة في سطور الدفتر؛ الفيديو والصوت لم يتغيرا.
نبدأ من العدد المركب؛ المرجع بطاقة التعريف بدل منحنى ذي تدريج طرفي غير دقيق:
$\displaystyle H\left(j\omega \right)=\frac{1}{1+j\omega \tau }$
مقدار المقام هو جذر مجموع مربعي جزأيه؛ نأخذ مقلوبه:
$\displaystyle M\left(\omega \right)=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\omega \tau \right)^{2}}}$
للتردد الموجب المقام في الربع الأول؛ زاوية البسط صفر، لذلك:
$\displaystyle \varphi \left(\omega \right)=-\arctan \left(\omega \tau \right)$
بعيدا تحت القطع يقارب M الواحد ويقارب الطور الصفر؛ arctan يعطي راديانات ما لم نحول إلى درجات.
عند القطع تكون ω_c τ واحدا؛ نعوض في دالة الطور:
$\displaystyle \varphi \left(\omega _{c}\right)=-\arctan \left(1\right)=-\frac{\pi }{4}=-45^{\circ}$
نص الشرح الصوتي
من H عند j أوميغا تساوي واحدا على واحد زائد j أوميغا tau، نستخرج المقدار والطور. المقدار يساوي واحدا على الجذر التربيعي لواحد زائد أوميغا tau تربيع. والطور يساوي سالب arctangent أوميغا tau. عند التردد المنخفض جدا، المقدار قريب من واحد والطور قريب من صفر درجة. وعند تردد القطع حيث أوميغا tau تساوي واحدا، الطور يساوي ناقص خمس وأربعين درجة.
6. الديسيبل
مرجع من الفيديو نفسه؛ بعض الرسوم ذات محاور أو حدود غير دقيقة استبدلت ببطاقات التعريف والخلاصة. المعادلات والشروط الدقيقة في سطور الدفتر؛ الفيديو والصوت لم يتغيرا.
الديسيبل طريقة لوغاريتمية لعرض النسب؛ وليس وحدة جهد مطلق دون مرجع.
لنسبة سعة جهد إلى جهد أو تيار إلى تيار، بالاصطلاح والوحدة نفسيهما:
$\displaystyle G_{A}=20 \log _{10}\left(M\right)$
نسبة واحد تعني تساوي السعتين، لا صفرا في الخرج:
$\displaystyle G_{A}=20 \log _{10}\left(1\right)=0$
للنسبة عند قطع RC، نعوض أولا ثم نحسب؛ القيمة بالديسيبل:
$\displaystyle G_{A}=20 \log _{10}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\approx 20\left(-0.150515\right)\approx -3.0103$
مثالان بالديسيبل؛ اللوغاريتم يحول التضعيف والتكبير إلى قيم سالبة وموجبة:
$\displaystyle 20 \log _{10}\left(0.1\right)=-20,\; 20 \log _{10}\left(10\right)=20$
لنسبة قدرتين متوسطتين حقيقيتين موجبتين نستخدم عشرة؛ الوحدتان متماثلتان:
$\displaystyle G_{P}=10 \log _{10}\left(\frac{P_{2}}{P_{1}}\right)$
نص الشرح الصوتي
غالبا نرسم نسب السعة بالديسيبل. إذا كانت النسبة لجهد أو تيار، نستخدم عشرين مضروبة في log قاعدة عشرة لمقدار النسبة. نسبة واحد تعني صفر ديسيبل. نسبة واحد على جذر اثنين تعطي تقريبا ناقص ثلاثة ديسيبل. نسبة صفر فاصلة واحد تعطي ناقص عشرين ديسيبل، ونسبة عشرة تعطي زائد عشرين ديسيبل. أما في نسب القدرة، فنستخدم عشرة log بدلا من عشرين log.
7. مخطط بودي للمقدار
مرجع من الفيديو نفسه؛ بعض الرسوم ذات محاور أو حدود غير دقيقة استبدلت ببطاقات التعريف والخلاصة. المعادلات والشروط الدقيقة في سطور الدفتر؛ الفيديو والصوت لم يتغيرا.
بودي للمقدار: تردد موجب على محور لوغاريتمي، وكسب بالديسيبل؛ المرجع بطاقة خلاصة بدل الرسم ذي تدريج غير متسق.
التردد الزاوي عند قطع RC بالراديان/ثانية:
$\displaystyle \omega _{c}=\frac{1}{\tau }=\frac{1}{R C}$
عند ω_c، المقدار 1/√2 وليس عند كل تردد؛ قيمة الكسب بالديسيبل:
$\displaystyle G_{A}\left(\omega _{c}\right)=20 \log _{10}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\approx -3.0103$
بعيدا تحت القطع، لا في كل المنطقة التي تسبقه مباشرة، يقارب الكسب صفر ديسيبل.
بعيدا فوق القطع، كل زيادة عشرة أضعاف في التردد تخفض الكسب بنحو 20 ديسيبل؛ هذا ميل تقريبي لا جدار حاد.
نص الشرح الصوتي
مخطط بودي للمقدار يضع التردد على محور لوغاريتمي، والكسب بوحدة الديسيبل. في مرشح R C المنخفض، تردد القطع أوميغا c يساوي واحدا على tau. عند هذه النقطة يكون الكسب ناقص ثلاثة فاصلة صفر واحد ديسيبل تقريبا. قبل تردد القطع يبقى الكسب قريبا من صفر ديسيبل. وبعده يهبط المقدار تقريبا عشرين ديسيبل لكل عقدة ترددية.
8. مصائد شائعة
مرجع من الفيديو نفسه؛ بعض الرسوم ذات محاور أو حدود غير دقيقة استبدلت ببطاقات التعريف والخلاصة. المعادلات والشروط الدقيقة في سطور الدفتر؛ الفيديو والصوت لم يتغيرا.
أربع نقاط تحفظ معنى الوحدات واللوغاريتم والطور والحالة المستقرة.
التردد الزاوي ω بالراديان/ثانية وf بالهرتز؛ لا نخلط بينهما:
$\displaystyle \omega =2\pi f$
20 log لنسبة السعة و10 log لنسبة القدرة؛ مساواة تفسيريهما كقدرة تتطلب مقاومات مرجعية متساوية.
لـ RC المنخفض، الطور سالب عند التردد الموجب؛ يتأخر جيب الخرج، بينما عند الصفر الطور صفر.
هذه استجابة الجيب المستقر بعد اضمحلال العابر في النظام المستقر؛ ليست الاستجابة الكاملة عند لحظة التشغيل.
نص الشرح الصوتي
انتبه لأربع مصائد. الأولى: أوميغا هي التردد الزاوي بالراديان في الثانية، أما f فهي التردد بالهرتز، والعلاقة أوميغا تساوي اثنين pi f. الثانية: استخدم عشرين log لنسب الجهد أو التيار، وعشرة log لنسب القدرة. الثالثة: إشارة الطور مهمة؛ مرشح R C المنخفض يؤخر الطور، لذلك الطور سالب. الرابعة: الاستجابة الترددية تصف الحالة الجيبية المستقرة بعد أن يختفي الجزء العابر.
9. الخلاصة
مرجع من الفيديو نفسه؛ بعض الرسوم ذات محاور أو حدود غير دقيقة استبدلت ببطاقات التعريف والخلاصة. المعادلات والشروط الدقيقة في سطور الدفتر؛ الفيديو والصوت لم يتغيرا.
الخلاصة: نفس دالة الانتقال، لكن نقرؤها حسب التردد.
مع تحقق شروط الاستقرار والتقارب، نعوض لقراءة المحور التخيلي:
$\displaystyle s=j\omega$
المقدار يعطي نسبة السعة، والزاوية إزاحة الطور، والديسيبل يسهل مقارنة نسب كبيرة وصغيرة.
في RC، القطع عند ω_c وليس f_c؛ الكسب هناك نحو −3.01 ديسيبل، والميل −20 ديسيبل لكل عشرة أضعاف فقط بعيدا فوق القطع:
$\displaystyle \omega _{c}=\left(\frac{1}{\tau }\right),\; f_{c}=\frac{1}{2\pi \tau }$
الدرس التالي يقارن RC منخفض التمرير وعالي التمرير بالمقدار والطور وبودي.
نص الشرح الصوتي
الخلاصة. نبدأ من دالة الانتقال H في إس، ثم نضع إس تساوي j أوميغا لنحصل على الاستجابة الترددية. المقدار يعطينا الكسب حسب التردد، والزاوية تعطينا إزاحة الطور، والديسيبل يجعل قراءة النسب الكبيرة والصغيرة أسهل. في مرشح R C المنخفض، تردد القطع هو واحد على tau، والكسب هناك حوالي ناقص ثلاثة ديسيبل، وبعد تردد القطع يهبط المقدار تقريبا عشرين ديسيبل لكل عقدة. في الدرس التالي نقارن المرشح المنخفض والمرشح العالي بنفس اللغة.