#28 İntegral tanımları, impuls çiftleri ve dikdörtgen darbenin dönüşümü

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Dönüşüm ve ters dönüşüm tanımları

   

   Olağan ileri dönüşüm için ölçülebilir sinyalin sonlu Lebesgue integralini kullanın:

   $\displaystyle X\left(\omega \right)=\int _{-\infty }^{\infty }x\left(t\right)e^{-j\omega t}\mathrm{d}t$

   Uygun ters dönüşüm koşulları sağlandığında üs işareti değişir ve normalizasyon eklenir:

   $\displaystyle x\left(t\right)=\left(\frac{1}{2\pi }\right)\int _{-\infty }^{\infty }X\left(\omega \right)e^{j\omega t}d \omega$

   Mutlak integrallenebilirlik ileri integrali garanti eder; ters spektrumun da mutlak integrallenebilir olmasını tek başına garanti etmez.

   Koşullu uygunsuz integraller ve genelleştirilmiş dönüşümler farklı varlık tanımları kullanır; bu tanımlar açıkça belirtilmelidir.

   Kaydırılmış impulsları, impuls çiftlerini ve sonlu dikdörtgen darbeyi incelerken bu tanımları ayıracağız.

   Sesli anlatım metni

   Önceki videoda, periyodik genişletmenin periyodunu sonsuza götürerek Fourier Dönüşümü'nü ve tersini türettik. Şimdi iki güçlü formülümüz var: büyük X omega, x t çarpı e üzeri eksi j omega t'nin integrali; ve x t, bir bölü iki pi çarpı büyük X omega çarpı e üzeri artı j omega t'nin integrali. Ama bu integral her zaman yakınsar mı? Ve belirli sinyaller için Fourier Dönüşümü nasıl görünür? Bu videoda, önce yakınsama koşulunu belirleyeceğiz, sonra ilk Fourier Dönüşümü örneklerimizi hesaplayacağız: impuls fonksiyonları, impuls çiftleri ve dikdörtgen darbe.

2. 2. Mutlak integral sınırı

   

   Ölçülebilir sinyalin mutlak integral büyüklüğünü tanımlayın; sonlu Lebesgue tanımı bu büyüklüğün sonlu olmasını gerektirir:

   $\displaystyle I_{1}=\int _{-\infty }^{\infty }|x\left(t\right)|dt$

   Üçgen eşitsizliği yeterli bir üst sınır sağlar:

   $\displaystyle |X\left(\omega \right)|\le B\left(\omega \right)=\int _{-\infty }^{\infty }|x\left(t\right)||e^{-j\omega t}|dt$

   Birim büyüklük özelliği, gerçel açı, zaman ve açısal frekansla kurulan salt sanal üs için geçerlidir.

   Gerçel açı için Euler özdeşliği şöyledir:

   $\displaystyle e^{j\theta }=\cos \left(\theta \right)+j \sin \left(\theta \right)$

   Trigonometrik bileşenlerin kareleri birim büyüklük verir:

   $\displaystyle |e^{j\theta }|=\sqrt{\cos \left(\theta \right)^{2}+\sin \left(\theta \right)^{2}}=1$

   Salınımlı çarpan mutlak integral büyüklüğünü değiştirmez:

   $\displaystyle |e^{-j\omega t}|=1, B\left(\omega \right)=I_{1}$

   Mutlak integral büyüklüğünün sonlu olması, mutlak integrallenebilirlik veya L1 üyeliği demektir.

   Her L1 sinyalin her gerçel frekansta sonlu ileri dönüşümü vardır. Buradaki gereklilik üçgen eşitsizliğini ters çevirmekten değil, sonlu Lebesgue tanımından gelir.

   L1 dışında sonlu Lebesgue dönüşümü bulunmaz; ancak koşullu yakınsayan olağan bir uygunsuz dönüşüm yine de bulunabilir.

   Genelleştirilmiş dönüşümler impuls, kosinüs ve basamak sinyalleri için başka bir uzantı sağlar; Dirac impulsunu olağan bir L1 fonksiyonuna dönüştürmez.

   Sesli anlatım metni

   Fourier Dönüşümü integralinin sonlu bir değere sahip olması için şuna ihtiyacımız var: eksi sonsuzdan artı sonsuza integral, x t çarpı e üzeri eksi j omega t dt'nin mutlak değeri sonsudan küçük olmalıdır. Üçgen eşitsizliğini kullanarak, bu değer x t'nin mutlak değeri çarpı e üzeri eksi j omega t'nin mutlak değerinin integralinden küçük veya eşittir. Şimdi önemli bir gerçek. Karmaşık üstelin büyüklüğü her zaman birdir. e üzeri j teta, kosinüs teta artı j sinüs teta'ya eşit olduğundan, büyüklüğü kosinüs kare teta artı sinüs kare teta'nın kareköküdür, yani bire eşittir. Dolayısıyla e üzeri eksi j omega t'nin mutlak değeri bire eşittir ve koşulumuz şuna sadeleşir: eksi sonsuzdan artı sonsuza x t'nin mutlak değerinin integrali sonlu olmalıdır. Buna mutlak integrallenebilirlik denir. Bir sinyal mutlak integrallenebilir ise, Fourier Dönüşümü vardır. Değilse, dönüşüm klasik anlamda yakınsamayabilir. Ancak delta fonksiyonları kullanan genelleştirilmiş Fourier Dönüşümleri, bunu kosinüs ve basamak fonksiyonları gibi sinyallere genişletebilir.

3. 3. İmpuls örnekleri

   

   İmpulsları noktasal ölçü veya dağılım olarak yorumlayın; kaydırma ve genlik gerçel, ayrı impuls çiftleri için kaydırma büyüklüğü pozitif olsun.

   İlk sinyal A ağırlıklı kaydırılmış impulstur:

   $\displaystyle x\left(t\right)=A\delta \left(t-t_{0}\right)$

   Eleme özelliği Fourier çekirdeğini impuls konumunda değerlendirir:

   $\displaystyle X\left(\omega \right)=\int _{-\infty }^{\infty }A\delta \left(t-t_{0}\right)e^{-j\omega t}\mathrm{d}t=A e^{-j\omega t_0}$

   Faz frekansla değişirken büyüklük impuls ağırlığının mutlak değeridir:

   $\displaystyle |X\left(\omega \right)|=|A|$

   İki pozitif birim ağırlıkla simetrik çifti tanımlayın:

   $\displaystyle x_{S}\left(t\right)=\delta \left(t+t_{0}\right)+\delta \left(t-t_{0}\right)$

   Simetrik çift gerçel ve çifttir; negatif zamandaki impuls pozitif üslü çekirdeği katkı olarak verir.

   Doğrusallık iki çekirdek değerinin toplamını verir:

   $\displaystyle X_{S}\left(\omega \right)=e^{j\omega t_0}+e^{-j\omega t_0}$

   Euler özdeşliği toplamı gerçel ve çift bir spektruma indirger:

   $\displaystyle X_{S}\left(\omega \right)=2\cos \left(\omega t_{0}\right)$

   Antisimetrik çiftin pozitif zamandaki ağırlığı pozitif, negatif zamandaki ağırlığı negatiftir:

   $\displaystyle x_{A}\left(t\right)=\delta \left(t-t_{0}\right)-\delta \left(t+t_{0}\right)$

   Bu çift gerçel ve tektir; hangi impulsun çıkarıldığı dönüşümün işaretini belirler.

   Dönüşümü salt sanal ve tektir:

   $\displaystyle X_{A}\left(\omega \right)=e^{-j\omega t_0}-e^{j\omega t_0}=-2j \sin \left(\omega t_{0}\right)$

   Simetrik çift kosinüs spektrumu verir; antisimetrik ağırlıkları ters çevirmek sanal sinüs spektrumunun işaretini değiştirir.

   Sesli anlatım metni

   İlk örneklerimizi hesaplayalım. Örnek bir: tek bir impulsun Fourier Dönüşümü'nü bulun: x t eşittir A çarpı delta t eksi t sıfır. Ef Di integralini uygulayarak ve delta fonksiyonunun eleme özelliğini kullanarak: büyük X omega, A çarpı delta t eksi t sıfır, çarpı e üzeri eksi j omega t'nin integraline eşittir, bu da A çarpı e üzeri eksi j omega t sıfır'a eşittir. Yani kaydırılmış bir impuls, frekans alanında karmaşık bir üstele eşlenir. Örnek iki: x t eşittir delta t artı t sıfır, artı delta t eksi t sıfır için büyük X omega'yı bulun. Bu simetrik bir impuls çiftidir. Doğrusallığı kullanarak: büyük X omega, e üzeri artı j omega t sıfır, artı e üzeri eksi j omega t sıfır'a eşittir. Euler formülüne göre, bu iki kosinüs omega t sıfır'a eşittir. Örnek üç: x t eşittir delta t eksi t sıfır, eksi delta t artı t sıfır. Bu anti-simetrik bir çifttir. Dönüşüm şunu verir: büyük X omega, e üzeri eksi j omega t sıfır, eksi e üzeri artı j omega t sıfır'a eşittir, bu da eksi iki j sinüs omega t sıfır'a eşittir. Dikkat edin: simetrik impuls çiftleri reel kosinüs spektrumu verir, anti-simetrik çiftler ise tamamen sanal sinüs spektrumu verir.

4. 4. Dikdörtgen darbe ve normalize sinc

   

   Yarı genişlik T pozitif, açısal frekans gerçel olsun. Darbenin toplam genişliği T değerinin iki katıdır.

   Dikdörtgen darbe eksi T ile artı T arasında bir, dışarıda sıfırdır; uç nokta değerleri ileri integrali etkilemez.

   Yalnız sonlu destek aralığı katkı verir:

   $\displaystyle X\left(\omega \right)=\int _{-T}^{T}e^{-j\omega t}\mathrm{d}t$

   Sıfır olmayan açısal frekans için çekirdeğin bir ilkel fonksiyonu şöyledir:

   $\displaystyle g\left(t\right)=\frac{e^{-j\omega t}}{-j\omega }$

   Üst uç değerinden alt uç değerini çıkarın:

   $\displaystyle X\left(\omega \right)=\frac{e^{-j\omega T}-e^{j\omega T}}{-j\omega }$

   Her iki işareti ters çevirerek eşdeğer ifadeyi elde edin:

   $\displaystyle X\left(\omega \right)=\frac{e^{j\omega T}-e^{-j\omega T}}{j\omega }$

   Euler özdeşliği payı verir:

   $\displaystyle e^{j\omega T}-e^{-j\omega T}=2j \sin \left(\omega T\right)$

   Sıfır olmayan açısal frekans için sanal birimi sadeleştirin:

   $\displaystyle X\left(\omega \right)=\frac{2\sin \left(\omega T\right)}{\omega }$

   Normalize sinc işlevini q ile gösterin; sıfırda değerini sürekli uzantıyla bir olarak alın:

   $\displaystyle q\left(z\right)=\frac{\sin \left(\pi z\right)}{\pi z}, X\left(\omega \right)=2T q\left(\frac{\omega T}{\pi }\right)$

   Sıfır frekansta doğrudan integral darbe alanını verir ve görünür tekilliği kaldırır:

   $\displaystyle X\left(0\right)=2T$

   Sesli anlatım metni

   Şimdi sinyal işlemedeki en önemli Fourier Dönüşümü çiftlerinden birini hesaplayalım. x t, eksi büyük T'den artı büyük T'ye uzanan, genliği bir olan dikdörtgen bir darbe olsun. Ef Di tanımını uygulayarak: büyük X omega, eksi T'den T'ye kadar bir çarpı e üzeri eksi j omega t dt'nin integraline eşittir. Üsteli integre ederek: bu, e üzeri eksi j omega t bölü eksi j omega'ya eşittir, eksi T'den T'ye değerlendirilmiş. Sınırları yerine koyarak: bir bölü eksi j omega çarpı e üzeri eksi j omega T eksi e üzeri artı j omega T. Düzenleyerek: bir bölü j omega çarpı e üzeri j omega T eksi e üzeri eksi j omega T. Pay, Euler formülüne göre tam olarak iki j sinüs omega T'dir. Dolayısıyla büyük X omega, iki j sinüs omega T bölü j omega'ya eşittir, bu da iki sinüs omega T bölü omega'ya sadeleşir. Bu aynı zamanda iki T çarpı sink omega T bölü pi olarak da yazılabilir. Bu dikdörtgen darbeden sink fonksiyonuna ilişki temeldir ve sinyal işleme, iletişim ve örnekleme teorisinde her yerde karşınıza çıkar.

5. 5. Özet

   

   Sonlu Lebesgue integrali, koşullu uygunsuz yakınsama ve genelleştirilmiş dönüşümleri ayırın.

   Belirtilen sonlu Lebesgue tanımında olağan sinyalin mutlak integrallenebilir olması gerekir; bu gereklilik diğer bütün dönüşüm tanımlarına genellenemez.

   İmpuls örnekleri genelleştirilmiş veya noktasal ölçü yorumunu kullanır; dikdörtgen darbe ise olağan bir L1 sinyalidir.

   Kaydırılmış impuls şu dönüşümü verir:

   $\displaystyle X\left(\omega \right)=A e^{-j\omega t_0}$

   Simetrik birim impuls çifti şu sonucu verir:

   $\displaystyle X_{S}\left(\omega \right)=2\cos \left(\omega t_{0}\right)$

   Dikdörtgen darbe her gerçel frekansta normalize sinc ifadesini verir:

   $\displaystyle X\left(\omega \right)=2T q\left(\frac{\omega T}{\pi }\right)$

   Bir dönüşüm çiftini kullanmadan önce üs işaretlerini, impuls ağırlıklarını, darbe genişliğini ve sıfır frekans limitini kontrol edin.

   Sonraki konu Fourier serisini Fourier dönüşümüyle ilişkilendirir ve başka dönüşüm çiftlerini geliştirir.

   Sesli anlatım metni

   Öğrendiklerimizi özetleyelim. Birincisi, yakınsama koşulu: bir sinyalin Fourier Dönüşümü'nün klasik anlamda var olması için mutlak integrallenebilir olması gerekir. İkincisi, üç temel Ef Di çifti hesapladık. Kaydırılmış impuls A delta t eksi t sıfır, A e üzeri eksi j omega t sıfır'a dönüşür. Simetrik impuls çifti, iki kosinüs omega t sıfır'a dönüşür. Ve eksi T'den T'ye kadar dikdörtgen darbe, iki bölü omega çarpı sinüs omega T'ye dönüşür. Bunlar ileride yoğun olarak kullanacağımız yapı taşlarıdır. Bir sonraki videoda, Fourier Serisi ile Fourier Dönüşümü arasındaki ilişkiyi keşfedecek ve kapsamlı bir dönüşüm çiftleri tablosu oluşturacağız.

Kaynak video: Sinyaller ve Sistemler #28 | FD Yakınsama ve Temel Dönüşüm Örnekleri (5:49)