Elektromanyetik Teori · Görüntüler Yöntemi

#17 Topraklanmış düzlem için görüntü yükü, indüklenen yüzey yükü, kama geometrisi ve dik açılı iki iletken düzlem örneği

İletken sınırını görüntü yükleriyle değiştir, düzlem ve kama geometrilerinde potansiyeli süperpozisyonla kur.

Soru

Topraklanmış düzlem, görüntü yükleri, kama geometrisi ve dik açılı iki düzlem örneğini gösteren ders karesi.
Görüntü yükleri, iletken sınır koşulunu gerçek çözüm bölgesinin dışında sağlamak üzere yerleştirilir.

Görüntüler yöntemini açıklayın; topraklanmış düzlemde potansiyel ve yüzey yükünü kurun, kama için görüntü sayısını bulun ve dik açılı iki düzlem örneğini çözümleyin.

Yazılı çözüm ve anlatım dökümü(çözümün tamamını gösterir)

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

  1. 1. Alan çözümlerinden görüntüler yöntemine geç

    Topraklanmış düzlem, görüntü yükleri, kama geometrisi ve dik açılı iki düzlem örneğini gösteren ders karesi.
    Görüntü yükleri, iletken sınır koşulunu gerçek çözüm bölgesinin dışında sağlamak üzere yerleştirilir.
    Önceki derslerimizde Laplace denklemini integre ederek ve sınır koşullarını uygulayarak sınır değer problemlerini çözmüştük.
    Alan çözümlerinden direnç ve kapasitansı hesapladık.
    Bugün zarif bir alternatif tanıtıyoruz: görüntüler yöntemi.
    Bu yöntem diferansiyel denklem çözmeyi tamamen devre dışı bırakır.

    Sesli anlatım metni

    Önceki derslerimizde Laplace denklemini integre ederek ve sınır koşullarını uygulayarak sınır değer problemlerini çözmüştük. Alan çözümlerinden direnç ve kapasitansı hesapladık. Bugün zarif bir alternatif tanıtıyoruz: görüntüler yöntemi. Bu yöntem diferansiyel denklem çözmeyi tamamen devre dışı bırakır.

  2. 2. Görüntü yükü fikrini kur

    Topraklanmış düzlem, görüntü yükleri, kama geometrisi ve dik açılı iki düzlem örneğini gösteren ders karesi.
    Görüntü yükleri, iletken sınır koşulunu gerçek çözüm bölgesinin dışında sağlamak üzere yerleştirilir.
    Görüntüler yöntemi 1848'de Lord Kelvin tarafından ortaya konulmuştur.
    Fikir çok basittir.
    İletken yüzey üzerinde karmaşık sınır koşullarıyla Laplace denklemini çözmek yerine, iletkeni kaldırıp yerine eşdeğer bir görüntü yükü koyarız.
    Görüntü yükü, orijinal sınır koşullarının otomatik olarak sağlanacağı şekilde yerleştirilir.
    Teklik teoremine göre, bu çözüm doğru çözüm olmak zorundadır.
    Sonsuz topraklanmış iletken düzlemin h yüksekliğinde bir Q nokta yükü düşünelim.
    Topraklanmış iletken yüzeyinde V = 0.
    İletkeni kaldırıp, düzlemin h uzaklığı altında ayna konumuna negatif Q görüntü yükü yerleştiririz.
    Gerçek Q ve görüntü −Q çifti orta düzlemde V = 0 koşulunu sağlar.
    Düzlemin üstündeki çözüm, basitçe iki nokta yükünün süperpozisyonudur.

    Sesli anlatım metni

    Görüntüler yöntemi 1848'de Lord Kelvin tarafından ortaya konulmuştur. Fikir çok basittir. İletken yüzey üzerinde karmaşık sınır koşullarıyla Laplace denklemini çözmek yerine, iletkeni kaldırıp yerine eşdeğer bir görüntü yükü koyarız. Görüntü yükü, orijinal sınır koşullarının otomatik olarak sağlanacağı şekilde yerleştirilir. Teklik teoremine göre, bu çözüm doğru çözüm olmak zorundadır. Sonsuz topraklanmış iletken düzlemin h yüksekliğinde bir Q nokta yükü düşünelim. İletken, yüzeyinde V eşittir sıfır koşulunu sağlar. İletkeni kaldırıp, düzlemin h uzaklığı altında ayna konumuna negatif Q görüntü yükü yerleştiririz. Bu yük çifti, orta düzlemde doğal olarak V eşittir sıfır üretir ve sınır koşulumuzu tam olarak karşılar. Düzlemin üstündeki çözüm, basitçe iki nokta yükünün süperpozisyonudur.

  3. 3. Düzlem ve kama bağıntılarını türet

    Topraklanmış düzlem, görüntü yükleri, kama geometrisi ve dik açılı iki düzlem örneğini gösteren ders karesi.
    Görüntü yükleri, iletken sınır koşulunu gerçek çözüm bölgesinin dışında sağlamak üzere yerleştirilir.
    Topraklanmış düzlem z eşittir sıfırda olmak üzere, sıfır, sıfır, h noktasındaki Q yükü için görüntü, sıfır, sıfır, negatif h noktasında negatif Q'dur.
    z > 0 için V = Q/(4πε₀)(1/r₁ − 1/r₂).
    r₁ gerçek yükten, r₂ görüntü yükten uzaklıktır.
    İletken bölgesinde V = 0.
    z = 0 yüzeyinde ρs = −Qh/[2π(x²+y²+h²)(3/2)].
    Bu ifadeyi tüm iletken düzlem üzerinde integre edersek, toplam indüklenen yükün negatif Q'ya eşit olduğunu buluruz.
    Tüm alan çizgileri Q'dan çıkıp iletkende sonlanır.
    Aynı yaklaşım, topraklanmış düzlem üstündeki çizgi yükü için de çalışır.
    Görüntü, ayna konumunda zıt işaretli paralel bir çizgi yüküdür.
    İlginç bir uzantı kama geometrisidir.
    Bir yük, φ açısıyla kesişen iki iletken düzlem arasındaysa, birden fazla görüntü yükü gerekir.
    Görüntü sayısı N = 360°/φ − 1.
    Bu yalnızca 360 bölü φ bir tamsayı olduğunda çalışır.
    Örneğin, 90 derece açıyla kesişen iki düzlem 3 görüntü yükü gerektirir.

    Sesli anlatım metni

    Topraklanmış düzlem z eşittir sıfırda olmak üzere, sıfır, sıfır, h noktasındaki Q yükü için görüntü, sıfır, sıfır, negatif h noktasında negatif Q'dur. Düzlemin üstündeki herhangi bir noktada potansiyel: V eşittir Q bölü 4 pi epsilon sıfır, çarpı 1 bölü r1 eksi 1 bölü r2. Burada r1 gerçek yükten, r2 görüntü yükten uzaklıktır. İletkenin altında V eşittir sıfırdır. Z eşittir sıfır yüzeyinde yüzey yük yoğunluğu: rho s eşittir negatif Q h, bölü 2 pi çarpı x kare artı y kare artı h kare, üzeri 3 bölü 2. Bu ifadeyi tüm iletken düzlem üzerinde integre edersek, toplam indüklenen yükün negatif Q'ya eşit olduğunu buluruz. Tüm alan çizgileri Q'dan çıkıp iletkende sonlanır. Aynı yaklaşım, topraklanmış düzlem üstündeki çizgi yükü için de çalışır. Görüntü, ayna konumunda zıt işaretli paralel bir çizgi yüküdür. İlginç bir uzantı kama geometrisidir. Bir yük, phi açısıyla kesişen iki iletken düzlem arasındaysa, birden fazla görüntü yükü gerekir. Görüntü sayısı N eşittir 360 bölü phi eksi 1'dir. Bu yalnızca 360 bölü phi bir tamsayı olduğunda çalışır. Örneğin, 90 derece açıyla kesişen iki düzlem 3 görüntü yükü gerektirir.

  4. 4. Dik açılı iki düzlem örneğini çöz

    Topraklanmış düzlem, görüntü yükleri, kama geometrisi ve dik açılı iki düzlem örneğini gösteren ders karesi.
    Görüntü yükleri, iletken sınır koşulunu gerçek çözüm bölgesinin dışında sağlamak üzere yerleştirilir.
    Sadiku'nun 6.14 örneğini uygulayalım.
    Bir Q nokta yükü, z ekseni boyunca dik açıyla kesişen iki topraklanmış iletken düzlem arasında a, sıfır, b konumundadır.
    Bir düzlem y eşittir sıfır, diğeri x eşittir sıfırdır.
    Herhangi bir noktadaki potansiyeli ve Q üzerindeki kuvveti bulun.
    Birinci adım: görüntü sayısını belirleyin.
    φ = 90° için N = 360°/90° − 1 = 3.
    Yani 3 görüntü yükü gerekiyor.
    İkinci adım: Görüntüleri yerleştirelim.
    Q'yu her düzleme göre yansıtıp, görüntünün görüntüsünü de ekliyoruz.
    Dört yük şöyledir: artı Q, a, sıfır, b konumunda, gerçek yükümüz.
    Eksi Q, negatif a, sıfır, b konumunda, x eşittir sıfır düzlemine göre yansıma.
    Eksi Q, a, sıfır, negatif b konumunda, z eşittir sıfır düzlemine göre yansıma.
    Ve artı Q, negatif a, sıfır, negatif b konumunda, görüntünün görüntüsü.
    Üçüncü adım: Potansiyeli yazalım.
    Sesli kaynakta verilen ifade:
    V(P)=Q/(4πε0)(1/r1−1/r2+1/r3−1/r4).\displaystyle V\left(P\right)=Q/\left(4\pi \varepsilon ₀\right)\left(1/r₁-1/r₂+1/r₃-1/r₄\right).
    Burada r1'den r4'e kadar her yükten P'ye uzaklıklardır.
    Dördüncü adım: Kuvveti bulalım.
    Q üzerindeki kuvvet, üç görüntüye göre Coulomb yasasıyla hesaplanır.
    Negatif a, sıfır, b konumundaki görüntü, Q'yu negatif x yönünde çeker, kuvveti 1 bölü 4 a² ile orantılıdır.
    a, sıfır, negatif b konumundaki görüntü, Q'yu negatif z yönünde çeker, kuvveti 1 bölü 4 b² ile orantılıdır.
    Negatif a, sıfır, negatif b konumundaki görüntü aynı işaretli olduğundan Q'yu iter ve hem x hem z bileşenleri vardır.

    Sesli anlatım metni

    Sadiku'nun 6.14 örneğini uygulayalım. Bir Q nokta yükü, z ekseni boyunca dik açıyla kesişen iki topraklanmış iletken düzlem arasında a, sıfır, b konumundadır. Bir düzlem y eşittir sıfır, diğeri x eşittir sıfırdır. Herhangi bir noktadaki potansiyeli ve Q üzerindeki kuvveti bulun. Birinci adım: Görüntü sayısını belirleyelim. Phi eşittir 90 derece olduğundan, N eşittir 360 bölü 90 eksi 1 eşittir 3. Yani 3 görüntü yükü gerekiyor. İkinci adım: Görüntüleri yerleştirelim. Q'yu her düzleme göre yansıtıp, görüntünün görüntüsünü de ekliyoruz. Dört yük şöyledir: artı Q, a, sıfır, b konumunda, gerçek yükümüz. Eksi Q, negatif a, sıfır, b konumunda, x eşittir sıfır düzlemine göre yansıma. Eksi Q, a, sıfır, negatif b konumunda, z eşittir sıfır düzlemine göre yansıma. Ve artı Q, negatif a, sıfır, negatif b konumunda, görüntünün görüntüsü. Üçüncü adım: Potansiyeli yazalım. P x, y, z noktasındaki V, Q bölü 4 pi epsilon sıfır çarpı: 1 bölü r1 eksi 1 bölü r2, artı 1 bölü r3, eksi 1 bölü r4'e eşittir. Burada r1'den r4'e kadar her yükten P'ye uzaklıklardır. Dördüncü adım: Kuvveti bulalım. Q üzerindeki kuvvet, üç görüntüye göre Coulomb yasasıyla hesaplanır. Negatif a, sıfır, b konumundaki görüntü, Q'yu negatif x yönünde çeker, kuvveti 1 bölü 4 a kare ile orantılıdır. a, sıfır, negatif b konumundaki görüntü, Q'yu negatif z yönünde çeker, kuvveti 1 bölü 4 b kare ile orantılıdır. Negatif a, sıfır, negatif b konumundaki görüntü aynı işaretli olduğundan Q'yu iter ve hem x hem z bileşenleri vardır.

  5. 5. Görüntüler yöntemini özetle

    Topraklanmış düzlem, görüntü yükleri, kama geometrisi ve dik açılı iki düzlem örneğini gösteren ders karesi.
    Görüntü yükleri, iletken sınır koşulunu gerçek çözüm bölgesinin dışında sağlamak üzere yerleştirilir.
    Görüntüler yöntemini özetleyelim.
    İletkeni, sınır koşullarını sağlayan ayna konumundaki bir görüntü yüküyle değiştirin.
    Topraklanmış düzlem üzerindeki Q nokta yükü için görüntü negatif Q'dur ve iletkendeki toplam indüklenen yük negatif Q'ya eşittir.
    Kama geometrisinde N = 360°/φ − 1.
    Yöntem, basit süperpozisyon yoluyla kesin çözümler verir ve diferansiyel denklem çözme ihtiyacını ortadan kaldırır.
    Bir sonraki dersimizde Bölüm 7'ye geçip Biot-Savart yasasıyla manyetostatik alanlara başlayacağız.

    Sesli anlatım metni

    Görüntüler yöntemini özetleyelim. İletkeni, sınır koşullarını sağlayan ayna konumundaki bir görüntü yüküyle değiştirin. Topraklanmış düzlem üzerindeki Q nokta yükü için görüntü negatif Q'dur ve iletkendeki toplam indüklenen yük negatif Q'ya eşittir. Kama geometrileri için görüntü sayısı N eşittir 360 bölü phi eksi 1'dir. Yöntem, basit süperpozisyon yoluyla kesin çözümler verir ve diferansiyel denklem çözme ihtiyacını ortadan kaldırır. Bir sonraki dersimizde Bölüm 7'ye geçip Biot-Savart yasasıyla manyetostatik alanlara başlayacağız.

Kaynak video: Elektromanyetik Teori (v2) #17 Görüntüler Yöntemi (5:37)