#52 التحليل العابر #52 — حل مسائل RLC من الدرجة الثانية

تجد أدناه جميع الأسطر المكتوبة في الدفتر مع النص الكامل للشرح الصوتي.

1. 1. بناء مسار حل مسائل الدرجة الثانية

   

   1) اختر متغير الاستجابة وشكل الدائرة

   2) احسب α وω₀ وصنف الأقطاب

   3) إذا وجد مصدر فاحسب x(∞) أولا

   4) اكتب صيغة الاستجابة الطبيعية أو الكاملة

   5) استخدم الاستمرارية لإيجاد x(0⁺)

   6) استخدم KCL أو KVL لإيجاد x′(0⁺)

   7) حل ثابتين وتحقق من القيمتين الابتدائية والنهائية

   نص الشرح الصوتي

   في مسائل الدرجة الثانية نريد طريقة ثابتة، لا حفظا عشوائيا. أولا نختار المتغير الذي نبحث عنه. ثانيا نحسب ألفا وأوميغا صفر، ومنهما نعرف نوع الاستجابة. ثالثا نستخدم شرطين ابتدائيين لإيجاد الثوابت. وإذا كان هناك مصدر مستقل، نبدأ دائما بالقيمة النهائية، ثم نضيف الجزء العابر حولها.

2. 2. المسألة 1: RLC متوازية بلا مصدر

   

   المعطيات: R=1 Ω وL=0.5 H وC=0.5 F

   $v_{\mathrm{C}}(0)=6 V$

   $i_{\mathrm{L}}(0)=0 A$

   المطلوب: v_C(t) عندما t≥0

   لا مصدر ← الاستجابة عابرة بالكامل

   $v_{\mathrm{C}}(\infty )=0$

   المتغير الطبيعي في الشكل المتوازي هو v_C(t)

   نص الشرح الصوتي

   المسألة الأولى دائرة آر إل سي متوازية بلا مصدر. القيم هي: R يساوي واحد أوم، L يساوي نصف هنري، و C يساوي نصف فاراد. في البداية جهد المكثف ستة فولت، وتيار الملف صفر أمبير. المطلوب هو جهد المكثف بعد لحظة الصفر.

3. 3. حل المسألة 1

   

   α=1/(2RC)=1 s⁻¹

   ω₀=1/√(LC)=2 rad/s

   $\alpha<\omega₀ ← تخميد ناقص;\; \omega_{\mathrm{d}}=\surd 3$

   $v=e^{-t}[A\cos (\surd 3t)+B\sin (\surd 3t)]$

   $v(0)=6 ← A=6$

   KCL: C v′(0)+v(0)/R+i_L(0)=0

   $v′(0)=-12 V/s ← B=-2\surd 3$

   $v_{\mathrm{C}}=e^{-t}[6\cos (\surd 3t)-2\surd 3\sin (\surd 3t)] V$

   نص الشرح الصوتي

   هذه استجابة طبيعية، لذلك القيمة النهائية تساوي صفرا. في الدائرة المتوازية، ألفا تساوي واحدا على اثنين R C، فتساوي واحدا. وأوميغا صفر تساوي واحدا على جذر L C، فتساوي اثنين. إذن ألفا أصغر من أوميغا صفر، والحالة تخميد ناقص. نكتب الجهد على شكل e أس ناقص t مضروبة في مجموع كوساين وساين، حيث أوميغا دي تساوي جذر ثلاثة. الشرط الأول يعطي A تساوي ستة. ولإيجاد الميل الابتدائي نكتب قانون كيرشوف للتيار عند الصفر موجب: C مضروبة في مشتقة الجهد، زائد v على R، زائد تيار الملف، تساوي صفرا. بالتعويض نحصل على مشتقة الجهد عند الصفر تساوي ناقص اثني عشر. ومن هذا نجد B تساوي ناقص اثنين جذر ثلاثة. إذن جهد المكثف يساوي e أس ناقص t مضروبة في: ستة كوساين جذر ثلاثة t، ناقص اثنين جذر ثلاثة ساين جذر ثلاثة t.

4. 4. المسألة 2: RLC متسلسلة مدفوعة بخطوة

   

   $يوصل مصدر 8 V عند t=0$

   $R=4 \Omega وL=1 H وC=0.25 F$

   $v_{\mathrm{C}}(0)=0 V وi(0)=0 A$

   المطلوب: v_C(t) عندما t≥0

   يوجد مصدر ← نستخدم الاستجابة الكاملة

   في حالة DC المستقرة تكون C مفتوحة

   $v_{\mathrm{C}}(\infty )=8 V$

   نص الشرح الصوتي

   المسألة الثانية دائرة آر إل سي على التوالي مع مصدر خطوة. عند t يساوي صفرا يغلق المفتاح، ويقود مصدر ثمانية فولت دائرة فيها R يساوي أربعة أوم، و L يساوي واحد هنري، و C يساوي ربع فاراد. في البداية جهد المكثف صفر والتيار صفر. المطلوب هو جهد المكثف.

5. 5. حل المسألة 2

   

   $\alpha=R/(2L)=2 s⁻¹$

   ω₀=1/√(LC)=2 rad/s

   $\alpha=\omega₀ ← تخميد حرج$

   v_C=8+(A+Bt)e^−2t

   $v_{\mathrm{C}}(0)=0 ← A=-8$

   $i(0)=C v_{\mathrm{C}}′(0)=0 ← v_{\mathrm{C}}′(0)=0$

   $B-2A=0 ← B=-16$

   $v_{\mathrm{C}}=8-(8+16t)e^{-2t} V$

   نص الشرح الصوتي

   هنا يوجد مصدر، لذلك نبدأ بالقيمة النهائية. في الحالة المستقرة المستمرة يصبح المكثف دائرة مفتوحة، والتيار يساوي صفرا، وجهد المكثف يساوي جهد المصدر. إذن القيمة النهائية ثمانية فولت. في دائرة التوالي، ألفا تساوي R على اثنين L، أي اثنين. وأوميغا صفر أيضا تساوي اثنين، ولذلك الحالة تخميد حرج. الشكل الصحيح هو: ثمانية زائد A زائد B t، مضروبة في e أس ناقص اثنين t. من الشرط v C عند الصفر يساوي صفرا، نجد A تساوي ناقص ثمانية. وبما أن التيار يساوي C مضروبة في مشتقة جهد المكثف، والتيار الابتدائي صفر، فالميل الابتدائي أيضا صفر. هذا يعطي B ناقص اثنين A يساوي صفرا، وبالتالي B تساوي ناقص ستة عشر. النتيجة: v C t تساوي ثمانية ناقص، ثمانية زائد ستة عشر t، مضروبة في e أس ناقص اثنين t.

6. 6. توحيد المسألتين بطريقة واحدة

   

   بلا مصدر: x(∞)=0 والاستجابة عابرة بالكامل

   مع مصدر: أوجد x(∞) ثم أضف الجزء العابر حولها

   تحدد α وω₀ نوع الأقطاب

   تحافظ الاستمرارية على الشرط الأول

   وتوفر KCL أو KVL الشرط الثاني أو المشتقة

   شرطان ← ثابتان مجهولان

   التحقق النهائي: t=0⁺ وt→∞

   تعمل الطريقة نفسها مع RLC المتوازية والمتسلسلة

   نص الشرح الصوتي

   هاتان المسألتان تختصران طريقة الحل. في المسألة بلا مصدر، الاستجابة كلها عابرة وتذهب إلى الصفر. في المسألة مع مصدر، نوجد القيمة النهائية أولا، ثم نضع حولها الشكل العابر المناسب. في كل الحالات، ألفا وأوميغا صفر يحددان نوع الأقطاب، وشرطان ابتدائيان يحددان الثوابت. بهذا نكون قد أغلقنا كتلة الاستجابات من الدرجة الثانية في Devre Teorisi واحد.