#04 Isı İletim Denklemi: Kararlı ve Geçici Rejim, Isı Üretimi, Düzlem Duvar, Silindir ve Küre

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Geçen Derste ve Bugün: Bölüm 2

   

   Geçen ders: taşınım ve ışınım; üç yol birlikte → Bölüm 1 tamam

   Bugün Bölüm 2: cismin içinde sıcaklık noktadan noktaya ve zamanla nasıl değişir?

   Cevap: ısı iletim denklemi (diferansiyel denklem)

   Enerji dengesinden adım adım türeteceğiz

   Sesli anlatım metni

   Geçen derste ısının son iki yolunu, taşınım ve ışınımı gördük ve üç yolun birlikte çalıştığı durumları hesapladık. Böylece temeller bölümü tamamlandı. Bugün Bölüm 2'ye geçiyoruz. Şimdiye kadar hep bir duvarın iki yüzü gibi belli noktalardaki sıcaklıklarla çalıştık. Peki bir cismin içinde sıcaklık noktadan noktaya ve zamanla nasıl değişir? Bu sorunun cevabını veren diferansiyel denklem, ısı iletim denklemidir. Bugün bu denklemi enerji dengesinden adım adım türeteceğiz.

2. 2. Buzdolabındaki Karpuz

   

   Yarım karpuz buzdolabına: 30 °C, içerisi 5 °C

   Kesit, termal kamera (hızlandırılmış)

   Kabuk birkaç saatte soğur; ortası saatler sonra bile ılık

   Sıcaklık tek sayı değil: merkezden uzaklığa göre değişir, zamanla azalır

   Sıcaklık hem konumun hem zamanın fonksiyonu: T(r, t)

   Bunu hesaplamak için bir denklem gerekir

   Sesli anlatım metni

   Oda sıcaklığındaki bir karpuzu ikiye kesip buzdolabına koyalım. Karpuz 30 derece, buzdolabının içi 5 derece. Kesitine termal kamerayla bakalım; görüntü hızlandırılmış. Kabuk birkaç saat içinde soğuyor, ama ortası saatler sonra bile ılık. Sıcaklık artık tek bir sayı değil: merkezden uzaklığa göre değişiyor ve zamanla azalıyor. Yani sıcaklık hem konumun hem zamanın fonksiyonu. Bu değişimi hesaplamak için bir denkleme ihtiyacımız var.

3. 3. Temel Kavramlar: Kararlı, Geçici, Boyut

   

   Sıcaklık: bir noktada tek sayı → skaler

   Isı transferi: büyüklük + yön → vektör

   Kararlı: bir noktada T zamanla değişmez · geçici: değişir

   Kararlıda da T konumla değişebilir; değişmeyen şey zaman

   Baskın yön sayısı: bir, iki, üç boyutlu

   Koordinatı şekil seçer: duvar → dik, boru → silindirik, küre → küresel

   Sesli anlatım metni

   Önce birkaç temel kavram. Sıcaklık bir noktada tek bir sayıdır, yani skaler bir büyüklüktür. Isı transferinin ise hem büyüklüğü hem yönü vardır, yani vektördür. Bir noktadaki sıcaklık zamanla değişmiyorsa rejim kararlıdır; değişiyorsa geçicidir. Kararlı rejimde de sıcaklık konuma göre değişebilir; değişmeyen şey zamandır. Isı transferi baskın olarak tek bir yönde oluyorsa bir boyutlu, iki yönde oluyorsa iki boyutlu, üç yönde oluyorsa üç boyutlu deriz. Koordinat sistemini cismin şekli seçer: düzlem duvar için dik koordinatlar, uzun bir boru için silindirik, küre için küresel koordinatlar.

4. 4. Dört Örneği Sınıflandıralım

   

   Dış duvar: kalınlık boyunca → 1B, dik; kararlı

   Sıcak su borusu: yarıçap boyunca → 1B, silindirik; kararlı

   Karpuz: yarıçap boyunca → 1B, küresel; geçici

   İşlemci: üç yönde → 3B, dik; sabit yükte kararlı

   Sesli anlatım metni

   Dört örneği birlikte sınıflandıralım. Bir: kış gecesi bir evin dış duvarı. Isı, duvarın kalınlığı boyunca akar; bir boyutlu, dik koordinatlar. İç ve dış sıcaklıklar gece boyunca sabitse kararlı. İki: içinden sıcak su geçen uzun bir boru. Isı borunun yarıçapı boyunca dışarı akar; bir boyutlu, silindirik koordinatlar, kararlı. Üç: buzdolabındaki karpuz. Isı merkezden dışarı, yarıçap boyunca akar; bir boyutlu, küresel koordinatlar; ama sıcaklık zamanla değiştiği için geçici. Dört: çalışan bir bilgisayar işlemcisi. Isı üç yönde de yayılır; üç boyutlu, dik koordinatlar; uzun süre sabit yükte çalışıyorsa kararlı.

5. 5. Isı Üretimi: Rezistans Teli

   

   birim hacimde ısı üretimi ė: W/m³

   rezistans teli: 1 kW; D = 2 mm; L = 2 m

   $\displaystyle D2 = 0.002 \cdot 0.002 = 4 \times 10-6 m²$

   kesit:

   $\displaystyle \frac{\pi D2}{4 }= \pi \cdot 4 \times 10-\frac{6 }{ 4 }\approx 3.1416 \times 10-6 m²$

   $\displaystyle V = 3.1416 \times 10-6 \cdot 2 \approx 6.283 \times 10-6 m³$

   $\displaystyle ė =\frac{ 1000 }{6.283 \times 10-6}\approx 1.59 \times 108 W/m³$

   yüzey:

   $\displaystyle \pi \cdot 0.002 \cdot 2 \approx 0.01257 m²$

   $\displaystyle q̇ =\frac{ 1000 }{ 0.01257 }\approx 79 600 W/m²$

   ė: hacim başına · q̇: alan başına

   Sesli anlatım metni

   Bazı cisimlerin içinde ısı üretilir. Elektrik, kimyasal ya da nükleer enerji cismin içinde ısıl enerjiye dönüşür. Bunu birim hacimde ısı üretimiyle ölçeriz; birimi metreküp başına vat. Örnek: 1 kilovatlık bir ısıtıcının rezistans teli, çapı 2 milimetre, boyu 2 metre. Önce kesit alanı: çap kare, 0.002 çarpı 0.002, yani 4 çarpı 10 üzeri eksi 6 metrekare; bunu pi ile çarpıp 4'e bölersek yaklaşık 3.1416 çarpı 10 üzeri eksi 6. Hacim: bunu 2 metreyle çarparsak yaklaşık 6.283 çarpı 10 üzeri eksi 6 metreküp. Birim hacimde ısı üretimi: 1000 bölü bu hacim, yaklaşık 1.59 çarpı 10 üzeri 8 vat bölü metreküp. Bu ısının hepsi telin yüzeyinden çıkar. Yüzey alanı: pi çarpı 0.002 çarpı 2, yaklaşık 0.01257 metrekare. Yüzeydeki ısı akısı: 1000 bölü 0.01257, yaklaşık 79 bin 600 vat bölü metrekare. İkisini karıştırmayın: ısı üretimi hacim başına, ısı akısı alan başınadır.

6. 6. İnce Dilimde Enerji Dengesi

   

   dilim: giren − çıkan + üretilen = depolanan (birim zamanda)

   depolanan = m c ΔT/Δt; m = ρ A Δx

   tuğla: A = 1 m², Δx = 1 cm = 0.01 m

   ρ = 2000 kg/m³; c = 800 J/(kg·°C)

   $\displaystyle \rho c = 2000 \cdot 800 = 1 600 000$

   $\displaystyle \rho c A \Delta x = 1 600 000 \cdot 1 \cdot 0.01 = 16 000 J/^{\circ}C$

   giren 50 W; çıkan 42 W; üretim yok

   net:

   $\displaystyle 50 - 42 = 8 W$

   $\displaystyle \Delta T/\Delta t = 8 / 16 000 =\frac{ 0.0005 ^{\circ}C}{s}$

   0.0005 · 3600 = 1.8 °C / saat

   giren = çıkan → ısınmaz: kararlı rejim

   Sesli anlatım metni

   Şimdi denklemi türetelim. Düzlem bir duvarın içinden ince bir dilim alalım: alanı sabit, kalınlığı çok küçük. Bu dilim için enerji dengesi: sol yüzden giren ısı, eksi sağ yüzden çıkan ısı, artı dilimin içinde üretilen ısı, dilimin enerjisinin birim zamandaki artışına eşittir. Enerji artışı da kütle çarpı özgül ısı çarpı sıcaklığın zamanla değişimidir; kütle ise yoğunluk çarpı alan çarpı kalınlık. Sayılarla görelim. Tuğla bir duvarda alanı 1 metrekare, kalınlığı 1 santimetre olan bir dilim. Yoğunluk 2000, özgül ısı 800. Yoğunluk çarpı özgül ısı: 2000 çarpı 800, 1 milyon 600 bin. Bunu alan ve kalınlıkla çarparsak 1 milyon 600 bin çarpı 1 çarpı 0.01, yani 16 bin joule bölü derece. Soldan 50 vat giriyor, sağdan 42 vat çıkıyor, ısı üretimi yok. Net: 50 eksi 42, yani 8 vat dilimde kalıyor. Sıcaklığın artış hızı: 8 bölü 16 bin, saniyede 0.0005 derece. Bunu 3600 ile çarparsak saatte 1.8 derece. Giren ve çıkan eşit olsaydı dilim ısınmazdı; işte kararlı rejim budur.

7. 7. Düzlem Duvar İçin Isı İletim Denklemi

   

   Δx → 0, Δt → 0

   (giren − çıkan) / Δx → −∂Q̇/∂x; Q̇ = −k A ∂T/∂x

   $\displaystyle \partial /\partial x \left(\frac{k \partial T}{\partial x}\right) + ė =\frac{ \rho c \partial T}{\partial t}$

   k sabit:

   $\displaystyle \partial 2T/\partial x2 +\frac{ ė}{k }=\frac{ \left(\frac{1}{\alpha }\right) \partial T}{\partial t}$

   α = k / (ρ c): ısıl yayınım

   ① kararlı:

   $\displaystyle \frac{\partial T}{\partial t }= 0$

   ② üretim yok:

   $\displaystyle ė = 0$

   ③ ikisi: d2T/dx2 = 0 → düz çizgi

   tuğla duvar: 20 °C → 5 °C, 0.2 m; eğim −75 °C/m

   Sesli anlatım metni

   Dilimin kalınlığını ve zaman aralığını sıfıra götürelim. Giren ile çıkan ısının farkı, Furye yasasındaki ısı transfer hızının konuma göre türevine dönüşür. Sonuç, düzlem duvar için bir boyutlu ısı iletim denklemidir: ısıl iletkenlik çarpı sıcaklığın konuma göre türevinin, yine konuma göre türevi, artı birim hacimde ısı üretimi, eşittir yoğunluk çarpı özgül ısı çarpı sıcaklığın zamana göre türevi. Isıl iletkenlik sabitse denklem sadeleşir: sıcaklığın konuma göre ikinci türevi, artı ısı üretimi bölü ısıl iletkenlik, eşittir bir bölü ısıl yayınım çarpı sıcaklığın zamana göre türevi. İkinci derste gördüğümüz ısıl yayınım burada ortaya çıkıyor. Üç özel durum var. Kararlı rejimde zaman terimi sıfır olur. Isı üretimi yoksa üretim terimi düşer. İkisi birden olursa geriye sıcaklığın ikinci türevi eşittir sıfır kalır; yani sıcaklık dağılımı düz bir çizgidir. İkinci dersteki tuğla duvar buna örnek: 20 dereceden 5 dereceye 20 santimetrede düz bir çizgi, eğimi eksi 75 derece bölü metre.

8. 8. Silindir ve Küre

   

   silindir:

   $\displaystyle A = 2\pi r L$

   r = 0.02 m:

   $\displaystyle 2\pi \cdot 0.02 \cdot 1 \approx 0.1257 m²$

   r = 0.04 m:

   $\displaystyle 2\pi \cdot 0.04 \cdot 1 \approx 0.2513 m² \to \times 2$

   küre:

   $\displaystyle A = 4\pi r2$

   r = 0.06 m:

   $\displaystyle 4\pi \cdot 0.0036 \approx 0.0452 m²$

   r = 0.12 m:

   $\displaystyle 4\pi \cdot 0.0144 \approx 0.1810 m² \to \times 4$

   alan r ile değişir → denklemde r de olur

   $\displaystyle \left(\frac{1}{r}\right) \partial /\partial r \left(\frac{r k \partial T}{\partial r}\right) + ė =\frac{ \rho c \partial T}{\partial t}$

   $\displaystyle \left(1/r2\right) \partial /\partial r \left(\frac{r2 k \partial T}{\partial r}\right) + ė =\frac{ \rho c \partial T}{\partial t}$

   Sesli anlatım metni

   Uzun bir boruda ya da kürede ısı yarıçap boyunca akar ve burada önemli bir fark var: ısının geçtiği alan yarıçapla büyür. Silindirde alan 2 pi çarpı yarıçap çarpı boy; 1 metrelik bir boruda yarıçap 2 santimetreyken alan yaklaşık 0.1257, 4 santimetreyken 0.2513 metrekare, yani iki katı. Kürede alan 4 pi çarpı yarıçap kare; yarıçap 6 santimetreyken yaklaşık 0.0452, 12 santimetreyken 0.1810 metrekare, yani dört katı. Bu yüzden enerji dengesini silindirik ya da küresel bir kabuğa uyguladığımızda denklemde yarıçap da yer alır. Silindir için: bir bölü yarıçap, çarpı, yarıçap çarpı ısıl iletkenlik çarpı sıcaklığın yarıçapa göre türevinin, yarıçapa göre türevi. Küre için aynı yapı, ama yarıçapın karesiyle. Karpuzun sıcaklığı işte bu küresel denkleme uyar.

9. 9. Genel Biçim ve Denklem Okuma

   

   Genel (3B, dik): üç yöndeki ikinci türevlerin toplamı + ė/k = (1/α) ∂T/∂t

   ① Zaman terimi var mı? → geçici / kararlı

   ② Kaç konum değişkeni? → boyut

   ③ ė terimi var mı? → ısı üretimi

   ④ k türevin içinde mi? → değişken k

   Sesli anlatım metni

   Genel durumda sıcaklık üç yönde de değişebilir. Dik koordinatlarda üç yöndeki ikinci türevlerin toplamı, artı ısı üretimi bölü ısıl iletkenlik, eşittir bir bölü ısıl yayınım çarpı sıcaklığın zamana göre türevi. Bir denklemi okurken dört soru sorun: zaman terimi var mı, yani geçici mi? Kaç konum değişkeni var? Isı üretimi terimi var mı? Isıl iletkenlik türevin içinde mi, yani değişken mi? Üç örnek. Birinci denklemde iki ikinci türevin toplamı sıfıra eşit: kararlı, iki boyutlu, ısı üretimi yok, ısıl iletkenlik sabit. İkinci denklem küresel ve zaman terimi yok, ama ısı üretimi var: kararlı, bir boyutlu, ısı üretimli. Üçüncüsü silindirik ve sağ tarafta zamana göre türev var: geçici, bir boyutlu, ısı üretimi yok.

10. 10. Üç Tuzak

    

    ① Isı üretimini ısı akısıyla karıştırmak → ė: W/m³, q̇: W/m² (1.59 × 108 ve 79 600)

    ② Düzlem duvar denklemini boruya / küreye uygulamak → alan r ile büyür; denklemde r olmalı

    ③ Kararlıda sıcaklık her yerde aynı sanmak → kararlı: T zamanla değişmez

    Sesli anlatım metni

    Üç tuzak. Bir: ısı üretimini ısı akısıyla karıştırmak. Isı üretimi metreküp başına, ısı akısı metrekare başına vattır; rezistans telinde biri 1.59 çarpı 10 üzeri 8, öbürü yaklaşık 79 bin 600. İki: düzlem duvar denklemini boruya ya da küreye uygulamak. Orada alan yarıçapla büyür; denklemde yarıçap bulunmalıdır. Üç: kararlı rejimde sıcaklık her yerde aynı sanmak. Kararlı demek, bir noktadaki sıcaklığın zamanla değişmemesi demektir; sıcaklık konumdan konuma değişebilir.

11. 11. Özet ve Sıradaki Ders

    

    Kaynak: ince elemanda enerji dengesi — giren − çıkan + üretilen = depolanan

    Duvar: ∂2T/∂x2 · silindir, küre: r ile büyüyen alan → r'li türevler

    Kararlı: zaman terimi düşer · üretim yok: ė düşer · ikisi → duvarda doğrusal T

    Sıradaki ders: sınır ve başlangıç koşulları (sıcaklık, ısı akısı, yalıtım, taşınım)

    Sesli anlatım metni

    Özetleyelim. Isı iletim denklemi, ince bir elemana uygulanan enerji dengesinden gelir: giren eksi çıkan, artı üretilen, eşittir depolanan. Düzlem duvarda sıcaklığın ikinci türevi, silindir ve kürede ise yarıçapla büyüyen alan nedeniyle yarıçap içeren türevler vardır. Kararlı rejimde zaman terimi, ısı üretimi yoksa üretim terimi düşer; ikisi birden düşerse düzlem duvarda sıcaklık doğrusal olur. Ama bir diferansiyel denklemin tek başına çözümü belli değildir. Bir sonraki Isı Transferi dersinde sınır ve başlangıç koşullarını göreceğiz: yüzeyde sıcaklık, ısı akısı, yalıtım ve taşınım koşulları. Görüşmek üzere.

Kaynak video: Isı İletim Denklemi: Kararlı ve Geçici Rejim, Isı Üretimi, Düzlem Duvar, Silindir ve Küre (8:59)