#05 Sınır ve Başlangıç Koşulları: Belirli Sıcaklık, Isı Akısı, Yalıtım, Taşınım ve Işınım

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Geçen Derste ve Bugün: Denklem Tek Başına Yetmez

   

   Geçen ders: ısı iletim denklemi (enerji dengesinden; duvar, silindir, küre)

   Ama denklem tek başına bir sıcaklık dağılımı vermez

   Kararlı, üretimsiz duvar: d2T/dx2 = 0 → düz çizgi

   Hangi çizgi? Sonsuz sayıda çizgi uyar

   Çizgiyi sınırlarda olan biten seçer

   Bugün: sınır ve başlangıç koşulları

   Sesli anlatım metni

   Geçen derste ısı iletim denklemini ince bir dilimdeki enerji dengesinden türettik ve düzlem duvar, silindir ve küre için yazdık. Ama bir diferansiyel denklem tek başına bir sıcaklık dağılımı vermez. Kararlı ve ısı üretimi olmayan bir duvarda sıcaklığın ikinci türevi sıfırdır; yani dağılım düz bir çizgidir. Peki hangi düz çizgi? Bu denkleme sonsuz sayıda çizgi uyar. Doğru çizgiyi seçen, cismin sınırlarında olan biten. Bugün sınır ve başlangıç koşullarını öğreneceğiz.

2. 2. Aynı Çubuk, Üç Farklı Uç

   

   Üç özdeş paslanmaz çelik çubuk: 30 cm, yanları yalıtılmış

   Sol uçlar 80 °C sıcak suda

   Sağ uçlar: ① buzlu su · ② yalıtım · ③ fan, hava 20 °C

   Termal kamera (hızlandırılmış)

   Saatler sonra: ① 80 → 0 °C · ② her yerde 80 °C · ③ uç 50 °C

   Çubuk, malzeme, denklem aynı → farkı uçtaki koşul yaratır

   Sesli anlatım metni

   Üç özdeş paslanmaz çelik çubuk alalım: 30 santimetre uzunluğunda, yanları yalıtılmış. Sol uçları 80 derecelik sıcak suda. Sağ uçları farklı: birincisi buzlu suda, ikincisi yalıtım köpüğüyle kapalı, üçüncüsü açıkta ve fan 20 derecelik havayı üflüyor. Termal kameraya geçelim; görüntü hızlandırılmış. Isı çubuklar boyunca ilerliyor ve saatler sonra her çubuk kendi dağılımına oturuyor. Birincisinde sıcaklık 80 dereceden 0 dereceye iniyor. İkincisi baştan sona 80 derece. Üçüncüsünün ucu 50 derecede kalıyor. Çubuk aynı, malzeme aynı, denklem aynı. Farkı yaratan tek şey, uçlardaki koşul.

3. 3. Neden Koşul Gerekir?

   

   Denklemi integre et: eğim sabit (C1), T = C1 x + C2

   2 bilinmeyen sabit → 2 bilgi, her uçtan bir

   Her yön için 2 sınır koşulu (konumda 2. türev)

   Zamanda 1 başlangıç koşulu (1. türev)

   1B kararlı: 2 · 2B kararlı: 4 · 1B geçici: 2 + 1

   Başlangıç koşulu: ilk andaki sıcaklık (çubuklar: her yerde 20 °C)

   Sesli anlatım metni

   Neden koşul gerekir? Kararlı ve ısı üretimi olmayan duvarın denklemini bir kez integre edelim: sıcaklığın eğimi sabit bir sayıya eşit olur; buna birinci sabit diyelim. Bir kez daha integre edince sıcaklık, birinci sabit çarpı konum, artı ikinci sabit olur. İki bilinmeyen sabit var; onları bulmak için iki bilgi gerekir, her uçtan bir tane. Kural şu: ısı transferinin önemli olduğu her yön için iki sınır koşulu gerekir, çünkü denklemde konuma göre ikinci türev var. Zamanda ise tek bir başlangıç koşulu yeter, çünkü zamana göre yalnız birinci türev var. Bir boyutlu kararlı problemde iki, iki boyutluda dört sınır koşulu gerekir; bir boyutlu geçici problemde iki sınır koşulu ve bir başlangıç koşulu. Başlangıç koşulu, cismin ilk andaki sıcaklığıdır; örneğin çubuklar suya girmeden önce her yerde 20 derece.

4. 4. Belirli Sıcaklık

   

   belirli sıcaklık:

   $\displaystyle T\left(0\right) = 80 ^{\circ}C$

   kaynayan su → 100 °C · buzlu su → 0 °C

   çubuk 1:

   $\displaystyle T\left(0\right) = 80 ^{\circ}C, T\left(0.3 m\right) = 0 ^{\circ}C$

   2 koşul → 2 sabit → tek çizgi

   x = 0.15 m:

   $\displaystyle \frac{80 + 0}{ 2 }= 40 ^{\circ}C$

   eğim:

   $\displaystyle \frac{0 - 80}{ 0.3 }\approx -\frac{266.7 ^{\circ}C}{m}$

   $\displaystyle q̇ =\frac{ k \left(T1 - T2\right) }{ L}$

   $\displaystyle 15 \cdot 80 = 1200;\frac{ 1200 }{ 0.3 }= 4000 W/m²$

   Sesli anlatım metni

   İlk tür: belirli sıcaklık. Yüzeyin sıcaklığı biliniyorsa doğrudan yazarız: sol uçta sıcaklık 80 derece. Kaynayan suya ya da buzlu suya değen bir yüzey bu türdendir. Birinci çubukta iki uç da belli: solda 80, sağda 0 derece. İki koşul iki sabiti bulur ve çizgi tek olur: 80 dereceden 0 dereceye. Yarı yolda, 15 santimetrede, sıcaklık 80 ile 0'ın ortalaması: 40 derece. Eğim: 0 eksi 80, bölü 0.3 metre; yaklaşık eksi 266.7 derece bölü metre. Isı akısı, ısıl iletkenlik çarpı sıcaklık farkı bölü uzunluk: 15 çarpı 80, 1200; bunu 0.3'e bölersek 4000 vat bölü metrekare.

5. 5. Belirli Isı Akısı: Ocaktaki Tencere

   

   q̇ = −k dT/dx (Fourier)

   yüzeyde q̇ biliniyorsa → eğim biliniyor

   ısı +x yönünde akıyorsa q̇ > 0

   ocak 1.5 kW; tabana %80

   $\displaystyle 0.8 \cdot 1500 = 1200 W$

   D = 20 cm → A = π D2 / 4

   $\displaystyle D2 = 0.04;\frac{ 0.04 }{ 4 }= 0.01; A = \pi \cdot 0.01 \approx 0.031416 m²$

   $\displaystyle q̇ =\frac{ 1200 }{ 0.031416 }\approx 38 197 W/m²$

   öğle güneşi ≈ 1000 W/m² → ≈ 38 kat

   sınır koşulu: −k dT/dx (0) = 38 197 W/m²

   Sesli anlatım metni

   İkinci tür: belirli ısı akısı. Furye yasasına göre ısı akısı, eksi ısıl iletkenlik çarpı sıcaklığın eğimidir. Yüzeye giren ısı akısı biliniyorsa, o yüzeydeki eğimi de biliyoruz demektir. İşarete dikkat: ısı artı x yönünde akıyorsa akı pozitiftir. Örnek: 1.5 kilovatlık bir elektrikli ocakta bir tencere. Ocağın gücünün yüzde 80'i tencerenin tabanına geçiyor: 0.8 çarpı 1500, 1200 vat. Taban çapı 20 santimetre. Alan: pi çarpı çap kare bölü 4. Çap kare 0.04; bölü 4, 0.01; pi ile çarparsak yaklaşık 0.031416 metrekare. Isı akısı: 1200 bölü 0.031416, yaklaşık 38 bin 197 vat bölü metrekare. Bu ne kadar büyük? Öğle güneşinin yere ulaşan akısı yaklaşık 1000 vat bölü metrekaredir; tencere tabanındaki akı bunun yaklaşık 38 katı. Tabandaki sınır koşulu: eksi ısıl iletkenlik çarpı tabandaki eğim, eşittir 38 bin 197 vat bölü metrekare.

6. 6. Yalıtım ve Simetri: Eğim Sıfır

   

   Özel hâl: yalıtılmış yüzey → q̇ = 0

   Eğim sıfır: sıcaklık eğrisi yüzeye dik gelir

   Çubuk 2: T(0) = 80 °C, uçta eğim 0 → eğim her yerde 0 → her yerde 80 °C

   Yalıtılmış uç soğuk değil: 80 °C

   Simetri düzleminde de eğim 0 → yarısını çözmek yeter

   Sesli anlatım metni

   Isı akısının özel bir hâli sıfır akıdır: yalıtılmış yüzey. Akı sıfırsa eğim de sıfırdır; sıcaklık eğrisi yalıtılmış yüzeye yatay gelir, yani yüzeye dik açıyla. İkinci çubuğa bakalım: sol uçta sıcaklık 80, sağ uçta eğim sıfır. Düz bir çizginin eğimi her yerde aynıdır; sağda sıfırsa her yerde sıfırdır. Geriye tek çözüm kalır: her yerde 80 derece. Dikkat: yalıtılmış uç soğuk değil, 80 derece. Aynı koşul simetride de çıkar. İki yüzü aynı şekilde ısıtılan bir duvarın tam ortasından ısı geçmez; orada da eğim sıfırdır. Bu yüzden duvarın yarısını çözmek yeter.

7. 7. Taşınım: Yüzey Enerji Dengesi

   

   −k dT/dx (L) = h [T(L) − T∞]

   düz çizgi → iletim: k (80 − TL) / L

   $\displaystyle \frac{k }{ L }=\frac{ 15 }{ 0.3 }= 50$

   fan:

   $\displaystyle h =\frac{ 50 W}{m²\cdot ^{\circ}C}$

   50 (80 − TL) = 50 (TL − 20)

   ÷ 50: 80 − TL = TL − 20

   80 + 20 = 100 = 2 TL → TL = 50 °C

   iletim:

   $\displaystyle 50 \cdot 30 = 1500 W/m²$

   taşınım:

   $\displaystyle 50 \cdot 30 = 1500 W/m² ✓$

   Sesli anlatım metni

   Üçüncü tür: taşınım. Yüzeye iletimle gelen ısı, yüzeyden taşınımla ayrılır. Yani sınır koşulu bir yüzey enerji dengesidir: eksi ısıl iletkenlik çarpı yüzeydeki eğim, eşittir ısı taşınım katsayısı çarpı yüzey sıcaklığı ile hava sıcaklığının farkı. Üçüncü çubukta sağ ucun sıcaklığını bulalım. Dağılım düz bir çizgi olduğu için iletimle gelen akı, ısıl iletkenlik bölü uzunluk, çarpı 80 eksi uç sıcaklığıdır. Isıl iletkenlik bölü uzunluk: 15 bölü 0.3, yani 50. Fanın ısı taşınım katsayısı da 50. Denge: 50 çarpı 80 eksi uç sıcaklığı, eşittir 50 çarpı uç sıcaklığı eksi 20. İki tarafı 50'ye bölelim: 80 eksi uç sıcaklığı, eşittir uç sıcaklığı eksi 20. Buradan 80 artı 20, yani 100, uç sıcaklığının iki katına eşit; uç sıcaklığı 50 derece. Kontrol: iletimle 50 çarpı 30, 1500 vat bölü metrekare gelir; taşınımla 50 çarpı 30, yine 1500 vat bölü metrekare gider. Denge tamam.

8. 8. Işınım ve İki Katmanın Arayüzü

   

   −k dT/dx = h [T − T∞] + ε σ [T4 − Tçevre4]

   sıcaklıklar kelvin:

   $\displaystyle 5 ^{\circ}C = 278 K$

   T4 → doğrusal değil: elle çözümde çoğu zaman ihmal ya da basitleştirme

   arayüz: TA = TB ve q̇A = q̇B

   kA dTA/dx = kB dTB/dx

   tuğla 0.72, yalıtım 0.036:

   $\displaystyle \frac{0.72 }{ 0.036 }= 20$

   yalıtımda eğim 20 kat → düşüşün çoğu yalıtımda

   Sesli anlatım metni

   Dördüncü tür: ışınım. Yüzey çevresiyle ışınımla da ısı alışverişi yapıyorsa, sağ tarafa bir ışınım terimi eklenir: yayma oranı çarpı Stefan Boltzman sabiti, çarpı sıcaklıkların dördüncü kuvvetlerinin farkı. Sıcaklıklar burada kelvin olmalı; 5 derece, 278 kelvindir. Dördüncü kuvvet denklemi doğrusal olmaktan çıkarır; bu yüzden elle çözümde çoğu zaman ya ihmal edilir ya da basitleştirilir. Son tür: iki katmanın temas yüzeyi. İki katman tam temastaysa, arayüzde iki şey aynıdır: sıcaklık ve ısı akısı. Akı aynı ama ısıl iletkenlikler farklıysa eğimler farklıdır. Tuğla 0.72, yalıtım 0.036: 0.72 bölü 0.036, 20. Yani yalıtımda sıcaklık 20 kat daha dik düşer; sıcaklık düşüşünün çoğunu yalıtım üstlenir.

9. 9. Eksiksiz Problem: Buzdolabındaki Karpuz

   

   geçici · 1B · küresel · ısı üretimi yok

   $\displaystyle \left(1/r2\right) \partial /\partial r \left(\frac{r2 \partial T}{\partial r}\right) =\frac{ \left(\frac{1}{\alpha }\right) \partial T}{\partial t}$

   başlangıç:

   $\displaystyle T\left(r, 0\right) = 30 ^{\circ}C$

   merkez:

   $\displaystyle \partial T/\partial r \left(0, t\right) = 0$

   (simetri)

   yüzey:

   $\displaystyle -k \partial T/\partial r \left(R, t\right) = h \left[T\left(R, t\right) - 5\right]$

   $\displaystyle R = 0.12 m \cdot h = 10 \cdot k = 0.6$

   2 sınır + 1 başlangıç koşulu ✓

   Sesli anlatım metni

   Şimdi bir problemi eksiksiz yazalım: geçen dersteki buzdolabındaki karpuz. Geçici, bir boyutlu, küresel ve ısı üretimi yok; denklem, geçen derste küre için yazdığımız biçim. Başlangıç koşulu: ilk anda her yerde 30 derece. Birinci sınır koşulu merkezde: simetri, yani yarıçap yönünde eğim sıfır. İkinci sınır koşulu yüzeyde: taşınım; eksi ısıl iletkenlik çarpı yüzeydeki eğim, eşittir ısı taşınım katsayısı çarpı yüzey sıcaklığı eksi 5. Sayılar: yarıçap 0.12 metre, ısı taşınım katsayısı 10, ısıl iletkenlik 0.6. Toplam: iki sınır koşulu ve bir başlangıç koşulu. Geçen dersin termal görüntüleri tam olarak bu problemin çözümüydü.

10. 10. Üç Tuzak

    

    ① Yalıtılmış yüzeyi soğuk sanmak → yalıtım: eğim sıfır, sıcaklık değil (çubuk 2: 80 °C)

    ② Işınım koşulunda santigrat kullanmak → dördüncü kuvvetler kelvinle

    ③ Isı akısı koşulunda işareti karıştırmak → +x yönünde akış: −k dT/dx pozitif

    Sesli anlatım metni

    Üç tuzak. Bir: yalıtılmış yüzeyi soğuk sanmak. Yalıtım sıcaklığın değil, eğimin sıfır olduğunu söyler; ikinci çubuğun yalıtılmış ucu 80 dereceydi. İki: ışınım koşulunda santigrat kullanmak. Dördüncü kuvvetler kelvinle hesaplanır. Üç: ısı akısı koşulunda işareti karıştırmak. Isı artı x yönünde akıyorsa, eksi ısıl iletkenlik çarpı eğim pozitif olur; ters yönde negatif.

11. 11. Özet ve Sıradaki Ders

    

    Denklem tek başına yetmez: her yön için 2 sınır, geçicide 1 başlangıç koşulu

    Türler: belirli sıcaklık · belirli ısı akısı · yalıtım / simetri · taşınım · ışınım; arayüzde T ve q̇ eşit

    Üç çubuk: aynı denklem, farklı koşul → bambaşka dağılım

    Sıradaki ders: bu koşullarla kararlı, bir boyutlu problemlerin çözümü (ısı üretimi dahil)

    Sesli anlatım metni

    Özetleyelim. Isı iletim denklemi tek başına yetmez: her önemli yön için iki sınır koşulu, geçici problemde bir de başlangıç koşulu gerekir. Sınır koşullarının türleri: belirli sıcaklık, belirli ısı akısı, yalıtım ya da simetri, taşınım ve ışınım; iki katman arasında da sıcaklık ve akı eşitliği. Üç çubukta gördüğümüz gibi, aynı denklem farklı koşullarla bambaşka dağılımlar verir. Bir sonraki Isı Transferi dersinde bu koşullarla kararlı, bir boyutlu problemleri adım adım çözeceğiz; ısı üretimli durumlar dahil. Görüşmek üzere.

Kaynak video: Sınır ve Başlangıç Koşulları: Belirli Sıcaklık, Isı Akısı, Yalıtım, Taşınım ve Işınım (8:18)