Kontrol Teorisi · Kontrol Sistemleri

İç içe geri besleme döngüleri — G₁, G₂ ve G₃

İç G₂–G₃ döngüsünü ve dış birim geri beslemeyi sırayla kapatarak G(s)'yi bulma.

Soru

u girişi ilk negatif toplama noktasından G₁ bloğuna, ardından ikinci negatif toplama noktasından G₂ bloğuna ve y çıkışına gider. y çıkışı G₃ üzerinden ikinci toplama noktasına iç negatif geri besleme, doğrudan ilk toplama noktasına ise dış birim negatif geri besleme olarak döner.
İç ve dış negatif geri besleme döngüleri — doğrulanmış Manim renderı

Şekilde u girişi, birim negatif dış geri beslemeli ilk toplama noktasından sonra G₁ bloğundan geçer. İkinci negatif toplama noktasının ileri yolunda G₂, iç geri besleme yolunda G₃ vardır. G(s) = Y(s)/U(s) eşdeğer transfer fonksiyonunu bulun.

Yazılı çözüm ve anlatım dökümü(çözümün tamamını gösterir)

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

  1. 1. Problem

    Diyagramı denklemlerle okuyalım:

    e1 = u − y

    x = G1 e1

    e2 = x − G3y

    y = G2e2

    İç döngü: G2–G3 (−)

    Dış döngü: y → Σ1, birim geri besleme (−)

    Aranan: G(s) = Y(s)/U(s) = ?

    Sesli anlatım metni

    İşte problemimiz. Elimizde üç transfer fonksiyonu G1, G2 ve G3 içeren bir blok diyagram var. Genel transfer fonksiyonu G'yi bulmamız gerekiyor. Yani Y bölü U. Diyagramı anlatayım. u girişi negatif geri beslemeli bir toplama noktasına giriyor. Oradan sinyal G1'den geçiyor. G1'den sonra ikinci bir toplama noktası var, o da negatif geri beslemeli. İkinci noktadan sonra sinyal G2'den geçerek çıkış y'yi veriyor. Şimdi geri besleme yolları. İç döngü y'yi alıp G3'ten geçirerek ikinci toplama noktasına eksi işaretle gönderiyor. Dış döngü y'yi doğrudan alıp birinci toplama noktasına yine eksi işaretle gönderiyor. Yani iki iç içe döngümüz var. Görevimiz: u'dan y'ye eşdeğer transfer fonksiyonu G'yi bulmak.

  2. 2. İki kural

    Kullanacağımız iki kural:

    ① Seri: Ga → Gb ⇒ GaGb

    ② Negatif geri besleme: G/(1 + GH)

    Birim geri besleme: H = 1 ⇒ G/(1 + G)

    Sıra önemli: önce iç, sonra dış döngü.

    Sesli anlatım metni

    Başlamadan önce iki blok diyagram kuralını hatırlayalım. Birinci kural: seri bağlantı. Art arda iki blok çarpılır. G1 ardından G2 gelirse sonuç G1 çarpı G2'dir. İkinci kural: negatif geri besleme. İleri yol G ve geri besleme H ise sonuç G bölü bir artı G çarpı H. Birim geri beslemede H eşittir bir, dolayısıyla G bölü bir artı G olur. Geri besleme kuralını iki kez uygulayacağız, bir iç döngü için bir de dış döngü için. Bu kadar yeterli.

  3. 3. İç döngü

    1) Önce iç döngüyü kapat:

    ileri yol: G2

    geri besleme: G3

    Gi = G2/(1 + G2G3)

    Dış birim geri besleme henüz korunuyor.

    Sesli anlatım metni

    Birinci adım: iç döngüyü kapatma. İç döngüye bakalım. İleri yol G2. Geri besleme yolu G3. İkisi de eksi işaretli. Geri besleme kuralını kullanarak, kapalı çevrim transfer fonksiyonu ileri yolun bir artı ileri çarpı geri beslemeye bölümüdür. Bu bize G2 bölü bir artı G2 çarpı G3 verir. Bu adımdan sonra iç döngü tek bir blokla değiştirildi: G2 bölü bir artı G2 G3. Artık diyagram daha basit: u negatif birim geri beslemeli toplama noktasından geçiyor, sonra G1'den, ardından iç kapalı çevrim bloğu G2 bölü bir artı G2 G3'ten geçerek çıkış y'yi veriyor.

  4. 4. Seri + dış döngü

    2) G1 ile iç eşdeğeri seri birleştir:

    F = G1Gi

    F = G1G2/(1 + G2G3)

    Dış döngü birim ve negatiftir:

    G = F/(1 + F)

    G = [G1G2/(1 + G2G3)] / [1 + G1G2/(1 + G2G3)]

    G = G1G2/(1 + G2G3 + G1G2)

    Sesli anlatım metni

    İkinci adım: birleştirme ve dış döngüyü kapatma. Önce G1 ve iç kapalı çevrim bloğu seri bağlı. Seri kuralını kullanarak çarpıyoruz: G1 çarpı G2 bölü bir artı G2 G3. Bu G1 G2 bölü bir artı G2 G3 verir. Şimdi tek bir ileri yolumuz var ve y'den girişe birim negatif geri besleme. Geri besleme kuralını bir kez daha uygulayarak, genel transfer fonksiyonu ileri yolun bir artı ileri yola bölümüdür. Pay G1 G2 bölü bir artı G2 G3. Payda bir artı G1 G2 bölü bir artı G2 G3. Sadeleştirmek için pay ve paydayı bir artı G2 G3 ile çarpıyoruz. Pay G1 G2 olur. Payda bir artı G2 G3 artı G1 G2 olur.

  5. 5. Sonuç ve sağlama

    Sonuç:

    G(s) = G1G2/(1 + G2G3 + G1G2)

    G(s) = G1G2/[1 + G2(G1 + G3)]

    Denklemle sağlama:

    y = G2[G1(u − y) − G3y]

    y(1 + G1G2 + G2G3) = G1G2u

    Y/U sonucu aynı ✓

    Sesli anlatım metni

    İşte sonuç. G eşittir G1 G2 bölü bir artı G2 G3 artı G1 G2. Paydayı bir artı G2 çarpı G1 artı G3 olarak da yazabiliriz. Doğrulayalım. u'dan sinyal G1'den sonra G2'den geçerek ileri yolda G1 G2 veriyor. İç döngü kazancı G2 G3. Dış döngü kazancı G1 G2. İkisi de negatif geri besleme. Payda bir artı tüm döngü kazançları olmalı: bir artı G2 G3 artı G1 G2. Eşleşiyor.

  6. 6. Yöntem özeti

    Yöntem:

    ① İç G2–G3 döngüsünü kapat

    ② G1 ile seri birleştir

    ③ Dış birim geri beslemeyi kapat

    G = G1G2/(1 + G2G3 + G1G2)

    İki kural, iki adım, tamam.

    Sesli anlatım metni

    Özetleyelim. İki iç içe geri besleme döngüsü içeren bir blok diyagramla başladık. İki adımda genel transfer fonksiyonunu bulduk. Birinci adım: iç döngüyü kapattık, G2 ile G3 geri beslemesi, G2 bölü bir artı G2 G3 elde ettik. İkinci adım: G1'i iç kapalı çevrimle seri birleştirdik, ardından dış birim geri besleme döngüsünü kapattık. Sonuç: G eşittir G1 G2 bölü bir artı G2 G3 artı G1 G2. İki kural, iki adım, tamam.

Kaynak video: Kontrol Teorisi #28 — İç İçe Döngülü Blok Diyagram (Çözümlü Örnek 5) (4:24)