Kontrol Teorisi · İkinci Derece Basamak Yanıtı

#13 İkinci derece gecikme modelinin sönüm oranına göre aşırı, kritik, yetersiz sönümlü ve kararsız basamak yanıtları ile s-düzlemi kutupları

İkinci derece sistemin sönüm oranını kutuplara bağlayın; aşırı, kritik ve yetersiz sönümlü basamak yanıtlarını karşılaştırın.

Soru

İkinci derece transfer fonksiyonu, sönüm sınıfları, basamak yanıtları ve s-düzlemindeki kutupları gösteren ders karesi.
Normalize ikinci derece sistemde D sönüm oranı kutup konumlarını ve basamak yanıtının salınım, aşım ve kararlılık karakterini belirler.

T²y¨+2DTy˙+y=Ku modelinden G(s)=K/(1+2DTs+T²s²) transfer fonksiyonunu ve kutupları türetin. D>1, D=1, 0<D<1 ve D<0 durumlarının basamak yanıtlarını ve normalize s-düzlemi kutup konumlarını karşılaştırın.

Yazılı çözüm ve anlatım dökümü(çözümün tamamını gösterir)

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

  1. 1. İkinci derece basamak yanıtı hedefini kur

    İkinci derece transfer fonksiyonu, sönüm sınıfları, basamak yanıtları ve s-düzlemindeki kutupları gösteren ders karesi.
    Normalize ikinci derece sistemde D sönüm oranı kutup konumlarını ve basamak yanıtının salınım, aşım ve kararlılık karakterini belirler.
    On ikinci derste birinci derece sistemlerin basamak yanıtlarını inceledik.
    Şimdi ikinci derece gecikmeye geçiyoruz — iki enerji depolama elemanına sahip bir sistem.
    Sönüm oranı D, yanıtın düzgün mü, kritik sönümlü mü, yoksa salınımlı mı olduğunu belirler.
    Bu dersin sonunda üç durumu da anlayacak ve s-düzlemindeki kutup konumlarının davranışı nasıl kontrol ettiğini göreceksiniz.

    Sesli anlatım metni

    On ikinci derste birinci derece sistemlerin basamak yanıtlarını inceledik. Şimdi ikinci derece gecikmeye geçiyoruz — iki enerji depolama elemanına sahip bir sistem. Sönüm oranı D, yanıtın düzgün mü, kritik sönümlü mü, yoksa salınımlı mı olduğunu belirler. Bu dersin sonunda üç durumu da anlayacak ve s-düzlemindeki kutup konumlarının davranışı nasıl kontrol ettiğini göreceksiniz.

  2. 2. İkinci derece ODE ve transfer fonksiyonunu kur

    İkinci derece transfer fonksiyonu, sönüm sınıfları, basamak yanıtları ve s-düzlemindeki kutupları gösteren ders karesi.
    Normalize ikinci derece sistemde D sönüm oranı kutup konumlarını ve basamak yanıtının salınım, aşım ve kararlılık karakterini belirler.
    Genel model T²·ÿ+2DT·ẏ+y=K·u'dur.
    Burada T doğal zaman sabiti, D sönüm oranı ve K statik kazançtır.
    Sıfır başlangıç koşullarında G(s)=K/(1+2DTs+T²s²).

    Sesli anlatım metni

    Genel ikinci derece gecikme şu diferansiyel denklemle tanımlanır: T kare çarpı y çift nokta, artı 2 D T çarpı y nokta, artı y, eşittir K çarpı u. Burada T doğal zaman sabiti, D sönüm oranı ve K statik kazançtır. Sıfır başlangıç koşullarıyla Laplas dönüşümü alındığında transfer fonksiyonu elde edilir: G s eşittir K bölü bir artı 2 D T s artı T kare s kare.

  3. 3. Kutupları sönüm oranına göre sınıflandır

    İkinci derece transfer fonksiyonu, sönüm sınıfları, basamak yanıtları ve s-düzlemindeki kutupları gösteren ders karesi.
    Normalize ikinci derece sistemde D sönüm oranı kutup konumlarını ve basamak yanıtının salınım, aşım ve kararlılık karakterini belirler.
    Kutuplar s₁,₂=(1/T)[−D±√(D²−1)]'dir.
    D'nin değeri kutup türünü belirler.
    D birden büyükse her iki kutup da gerçel ve negatiftir, yani kararlıdır.
    D bire eşitse tekrarlanan bir gerçel kutup elde ederiz.
    D sıfır ile bir arasındaysa kutuplar kompleks eşleniktir.
    Ve D negatifse en az bir kutbun reel kısmı pozitiftir, sistem kararsızdır.

    Sesli anlatım metni

    Paydanın sıfırları, yani kutuplar: s bir iki eşittir bir bölü T çarpı, eksi D artı eksi karekök D kare eksi bir. D'nin değeri kutup türünü belirler. D birden büyükse her iki kutup da gerçel ve negatiftir, yani kararlıdır. D bire eşitse tekrarlanan bir gerçel kutup elde ederiz. D sıfır ile bir arasındaysa kutuplar kompleks eşleniktir. Ve D negatifse en az bir kutbun reel kısmı pozitiftir, sistem kararsızdır.

  4. 4. Aşırı sönümlü basamak yanıtını kur

    İkinci derece transfer fonksiyonu, sönüm sınıfları, basamak yanıtları ve s-düzlemindeki kutupları gösteren ders karesi.
    Normalize ikinci derece sistemde D sönüm oranı kutup konumlarını ve basamak yanıtının salınım, aşım ve kararlılık karakterini belirler.
    D>1 için G(s)=K/[(1+T₁s)(1+T₂s)].
    Basamak yanıtı iki azalan üstel fonksiyonun toplamıdır.
    Salınım yoktur — çıkış düzgünce K değerine yükselir ve asla aşım yapmaz.
    Buna aperiyodik veya aşırı sönümlü durum denir.
    D ne kadar büyükse yanıt o kadar yavaştır.

    Sesli anlatım metni

    D birden büyük olduğunda, transfer fonksiyonu iki birinci derece gecikmenin çarpımına ayrılır: G s eşittir K bölü, bir artı T bir s çarpı bir artı T iki s. Basamak yanıtı iki azalan üstel fonksiyonun toplamıdır. Salınım yoktur — çıkış düzgünce K değerine yükselir ve asla aşım yapmaz. Buna aperiyodik veya aşırı sönümlü durum denir. D ne kadar büyükse yanıt o kadar yavaştır.

  5. 5. Kritik sönümlü basamak yanıtını kur

    İkinci derece transfer fonksiyonu, sönüm sınıfları, basamak yanıtları ve s-düzlemindeki kutupları gösteren ders karesi.
    Normalize ikinci derece sistemde D sönüm oranı kutup konumlarını ve basamak yanıtının salınım, aşım ve kararlılık karakterini belirler.
    D=1 için iki kutup s=−1/T noktasında birleşir.
    G(s)=K/(1+Ts)² olur.
    Basamak yanıtı y(t)=K·σ(t)·[1−(1+t/T)e(−t/T)]'dir.
    Bu normalize ikinci derece ailede kritik sönüm, aşım yapmayan en hızlı yanıttır.
    Aşırı sönümlü ve yetersiz sönümlü davranış arasındaki sınırdır.

    Sesli anlatım metni

    D tam olarak bire eşit olduğunda, iki kutup s eşittir eksi bir bölü T noktasında birleşerek çift kutup oluşturur. Transfer fonksiyonu G s eşittir K bölü bir artı T s'nin karesi olur. Basamak yanıtı y t eşittir K çarpı bir eksi bir artı t bölü T çarpı e üzeri eksi t bölü T'dir. Bu, salınım yapmadan en hızlı yanıttır — K değerine aşım yapmadan ulaşır, ama kıl payı. Aşırı sönümlü ve yetersiz sönümlü davranış arasındaki sınırdır.

  6. 6. Yetersiz sönümlü basamak yanıtını kur

    İkinci derece transfer fonksiyonu, sönüm sınıfları, basamak yanıtları ve s-düzlemindeki kutupları gösteren ders karesi.
    Normalize ikinci derece sistemde D sönüm oranı kutup konumlarını ve basamak yanıtının salınım, aşım ve kararlılık karakterini belirler.
    D sıfır ile bir arasında olduğunda kutuplar kompleks eşlenik olur.
    Basamak yanıtı sönümlü bir sinüzoid içerir.
    Çıkış, azalan genlikle K etrafında salınır.
    D ne kadar küçükse salınım o kadar fazla ve aşım o kadar büyük olur.
    Yetersiz sönümlü davranış, son değere yerleşmeden önce azalan salınım ve aşım gösterebilir.

    Sesli anlatım metni

    D sıfır ile bir arasında olduğunda kutuplar kompleks eşlenik olur. Basamak yanıtı sönümlü bir sinüzoid içerir. Çıkış, azalan genlikle K etrafında salınır. D ne kadar küçükse salınım o kadar fazla ve aşım o kadar büyük olur. Bu yetersiz sönümlü durum pratikte en sık karşılaşılan haldir, çünkü birçok gerçek sistem son değerine oturmadan önce bir miktar salınım gösterir.

  7. 7. Sönüm oranı yanıt ailesini karşılaştır

    İkinci derece transfer fonksiyonu, sönüm sınıfları, basamak yanıtları ve s-düzlemindeki kutupları gösteren ders karesi.
    Normalize ikinci derece sistemde D sönüm oranı kutup konumlarını ve basamak yanıtının salınım, aşım ve kararlılık karakterini belirler.
    Tüm durumları tek bir grafikte karşılaştıralım.
    D eşittir 1.5 için aşırı sönümlü yanıt yavaşça yükselir, salınım yoktur.
    D eşittir 1 için kritik sönümlü durum daha hızlıdır ama yine aşım yoktur.
    D eşittir 0.7 için hafif bir aşım belirir.
    D eşittir 0.4 için belirgin aşımla daha güçlü salınım görülür.
    D eşittir 0.1 için oturması uzun süren ağır salınım vardır.
    Ve D eşittir eksi 0.1 için sistem kararsızdır, salınımlar sınırsız büyür.
    Sönüm oranı D, ikinci derece sistemler için en önemli parametredir.

    Sesli anlatım metni

    Tüm durumları tek bir grafikte karşılaştıralım. D eşittir 1.5 için aşırı sönümlü yanıt yavaşça yükselir, salınım yoktur. D eşittir 1 için kritik sönümlü durum daha hızlıdır ama yine aşım yoktur. D eşittir 0.7 için hafif bir aşım belirir. D eşittir 0.4 için belirgin aşımla daha güçlü salınım görülür. D eşittir 0.1 için oturması uzun süren ağır salınım vardır. Ve D eşittir eksi 0.1 için sistem kararsızdır, salınımlar sınırsız büyür. Sönüm oranı D, ikinci derece sistemler için en önemli parametredir.

  8. 8. s-düzlemi kutup haritasını yorumla

    İkinci derece transfer fonksiyonu, sönüm sınıfları, basamak yanıtları ve s-düzlemindeki kutupları gösteren ders karesi.
    Normalize ikinci derece sistemde D sönüm oranı kutup konumlarını ve basamak yanıtının salınım, aşım ve kararlılık karakterini belirler.
    S-düzlemindeki kutup konumları sistem davranışını ortaya koyar.
    D birden büyükken negatif reel eksen üzerinde iki kutup vardır.
    D bire eşitken çift kutup oluşur.
    0<D<1 iken negatif reel eksenle açı oluşturan kompleks eşlenik kutuplar vardır.
    Kompleks kutbun negatif reel eksenle yaptığı açı arccos(D)'dir.
    Sol yarı düzlemdeki kutuplar kararlılık anlamına gelir.
    İmajiner eksen üzerindeki kutuplar sürekli salınım anlamına gelir.
    Ve sağ yarı düzlemdeki kutuplar kararsızlık anlamına gelir.
    Kutuplar ne kadar solda olursa yanıt o kadar hızlı söner.

    Sesli anlatım metni

    S-düzlemindeki kutup konumları sistem davranışını ortaya koyar. D birden büyükken negatif reel eksen üzerinde iki kutup vardır. D bire eşitken çift kutup oluşur. D birden küçükken reel eksenle bir açı oluşturan kompleks eşlenik kutuplar vardır. Bu açı, arkkosinüs D'dir. Sol yarı düzlemdeki kutuplar kararlılık anlamına gelir. İmajiner eksen üzerindeki kutuplar sürekli salınım anlamına gelir. Ve sağ yarı düzlemdeki kutuplar kararsızlık anlamına gelir. Kutuplar ne kadar solda olursa yanıt o kadar hızlı söner.

  9. 9. İkinci derece yanıt sınıflarını toparla

    İkinci derece transfer fonksiyonu, sönüm sınıfları, basamak yanıtları ve s-düzlemindeki kutupları gösteren ders karesi.
    Normalize ikinci derece sistemde D sönüm oranı kutup konumlarını ve basamak yanıtının salınım, aşım ve kararlılık karakterini belirler.
    Özetleyelim.
    İkinci derece gecikmenin transfer fonksiyonu K bölü bir artı 2 D T s artı T kare s karedir.
    Sönüm oranı D yanıtın karakterini kontrol eder.
    D birden büyük: aşırı sönümlü, salınım yok.
    D bire eşit: kritik sönümlü, aşımsız en hızlı yanıt.
    0<D<1: yetersiz sönümlü, aşımlı ve salınımlı.
    D sıfırdan küçük: kararsız.
    S-düzlemindeki kutuplar doğrudan sistem davranışını ortaya koyar.
    Bu anlayış kontrolcü tasarımının temelidir.

    Sesli anlatım metni

    Özetleyelim. İkinci derece gecikmenin transfer fonksiyonu K bölü bir artı 2 D T s artı T kare s karedir. Sönüm oranı D yanıtın karakterini kontrol eder. D birden büyük: aşırı sönümlü, salınım yok. D bire eşit: kritik sönümlü, aşımsız en hızlı yanıt. D birden küçük: yetersiz sönümlü, aşımlı salınımlı. D sıfırdan küçük: kararsız. S-düzlemindeki kutuplar doğrudan sistem davranışını ortaya koyar. Bu anlayış kontrolcü tasarımının temelidir.

Kaynak video: Kontrol Teorisi #13 — Ikinci Derece Basamak Yanıtı (4:55)