#47 Geçici Analiz #47 — Paralel RLC ve ikinci derece doğal cevap

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Neden ikinci derece?

   

   Bir enerji depolama elemanı → bir durum

   Yalnız C veya yalnız L varsa devre birinci derecedir

   C ve L aynı ağda birlikte enerji depolar

   İki bağımsız durum: v_C(t) ve i_L(t)

   İki bağımsız başlangıç koşulu gerekir

   Doğal cevap ikinci derece diferansiyel denklemle belirlenir

   Sesli anlatım metni

   Birinci derece devrelerde yalnızca bir enerji depolama elemanı vardı; ya kapasitör ya da indüktör. Bu nedenle tek bir durum değişkeni ve tek bir zaman sabiti elde ediyorduk. Şimdi ikinci derece devrelere geçiyoruz. Burada kapasitör ve indüktör aynı devrede birlikte bulunuyor. Yani devre hem elektrik alanı enerjisi hem de manyetik alan enerjisi depolayabiliyor. Sonuç olarak doğal cevap artık birinci derece bir denklemle değil, ikinci derece bir diferansiyel denklemle tanımlanır.

2. 2. Paralel RLC doğal cevap kurulumu

   

   R, C ve L aynı iki düğüm arasında paraleldir

   Üç kolun ortak gerilimi v_C(t)'dir

   İndüktör kolunun durumu i_L(t)'dir

   Bağımsız kaynak yoktur: hareket depolanmış enerjiden gelir

   Başlangıç verileri v_C(0⁺) ve i_L(0⁺)

   Üst düğümde KCL yazarak tek denkleme geçeceğiz

   Sesli anlatım metni

   Paralel R L C devresini düşünelim. Direnç, indüktör ve kapasitör aynı düğüm gerilimini paylaşır. Bu düğüm gerilimine v c of t diyelim. İndüktör akımı i L of t ise ikinci durum değişkenidir. İki bağımsız başlangıç koşuluna, yani genellikle v c of zero ve i L of zero değerlerine ihtiyaç duyduğumuz için bu devre ikinci derece bir sistemdir. Amacımız, doğal cevabı tanımlayan tek bir diferansiyel denklem yazmaktır.

3. 3. KCL'den ikinci derece denkleme

   

   Doğal cevap için üst düğümde KCL

   v/R + C·dv/dt + i_L = 0

   İndüktör bağıntısı: v=L·di_L/dt

   di_L/dt=v/L

   KCL denkleminin zamana göre türevini al

   i_L türevini v/L ile değiştir

   d²v_C/dt² +(1/RC)dv_C/dt +(1/LC)v_C=0

   Sesli anlatım metni

   Üst düğümde Kirchhoff akım yasasını uygulayalım. Doğal cevap için direnç akımı, kapasitör akımı ve indüktör akımının toplamı sıfır olmalıdır. Eleman denklemlerini yazarsak; direnç akımı v bölü R, kapasitör akımı C çarpı d v bölü d t, indüktör için ise v eşittir L çarpı d i L bölü d t olur. Düğüm denklemini türetip indüktör akımını elimine ettiğimizde standart denklem ortaya çıkar: d kare v c bölü d t kare, artı bir bölü R C çarpı d v c bölü d t, artı bir bölü L C çarpı v c eşittir sıfır. İşte bu, paralel R L C doğal cevabının standart ikinci derece homojen denklemidir.

4. 4. Karakteristik denklem ve parametreler

   

   Üstel deneme çözümü: v_C(t)=Ke^st

   s² +(1/RC)s +1/(LC)=0

   Standart biçim:

   $\displaystyle s²+2\alpha s+\omega ₀²=0$

   α=1/(2RC) [s⁻¹]

   ω₀=1/√(LC) [rad/s]

   α sönümü, ω₀ kayıpsız doğal frekansı ölçer

   Cevap türünü α ile ω₀ karşılaştırması belirler

   Sesli anlatım metni

   Şimdi bu denklemi standart karakteristik formla karşılaştıralım: s kare artı iki alpha s artı omega zero kare eşittir sıfır. Buradan alpha eşittir bir bölü iki R C, omega zero ise bir bölü karekök L C olarak bulunur. Bu iki parametre devrenin davranışını belirler. Alpha sönümü, yani damping miktarını temsil eder. Omega zero ise sönümsüz doğal açısal frekanstır. Alpha ile omega zero arasındaki ilişki, gözleyeceğimiz cevabın tipini belirler.

5. 5. Dört sönüm durumunu sınıflandır

   

   Kök yapısını α ve ω₀ belirler

   α>ω₀: aşırı sönümlü, iki gerçek kök

   α=ω₀: kritik sönümlü, çift kök

   0<α<ω₀: eksik sönümlü, karmaşık eşlenik kökler

   α=0: ideal sönümsüz LC salınımı

   İlk iki durumda salınım yoktur

   Son iki durumda enerji C ile L arasında gidip gelir

   Sesli anlatım metni

   Dört önemli durum vardır. Eğer alpha, omega zerodan büyükse cevap overdamped olur; salınım yoktur, iki gerçek kök vardır. Eğer alpha, omega zeroya eşitse cevap critically damped olur; salınımsız en hızlı dönüş budur. Eğer alpha, omega zerodan küçükse cevap underdamped olur; üstel zarf altında salınım görürüz. Son olarak alpha sıfırsa ideal undamped L C durumu elde edilir; süren salınım vardır. Sonraki iki derste bu durumları ayrı ayrı inceleyeceğiz; böylece videolar kısa ve temiz kalacak.

6. 6. İkinci derece çözüm yol haritası

   

   Paralel RLC için ortak değişken v_C(t)

   KCL yaz, türev al ve i_L'yi ele

   v″+(1/RC)v′+(1/LC)v=0

   Denklemden α ve ω₀'ı oku

   İki başlangıç koşuluyla iki sabiti belirle

   α ? ω₀ karşılaştırması cevap biçimini seçer

   Sıradaki ders: aşırı ve kritik sönüm

   Sesli anlatım metni

   Özetleyelim. Paralel R L C devresi, hem kapasitör hem indüktör içerdiği için ikinci derece bir sistemdir. Doğal cevabı ikinci derece bir diferansiyel denklem belirler. Temel parametreler alpha, yani sönüm katsayısı, ve omega zero, yani sönümsüz doğal frekanstır. Alpha ile omega zero arasındaki ilişkiye bakarak cevabı overdamped, critically damped, underdamped veya undamped olarak sınıflandırırız. Bir sonraki derste overdamped ve critically damped cevapları göreceğiz.