#52 Geçici Analiz #52 — İkinci derece RLC problem çözümü

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. İkinci derece problem çözme akışını kur

   

   1) Cevap değişkenini ve devre biçimini seç

   2) α ve ω₀'ı hesaplayıp kutupları sınıflandır

   3) Kaynak varsa önce x(∞) değerini bul

   4) Doğru doğal veya tam cevap biçimini yaz

   5) Süreklilikten x(0⁺) değerini çıkar

   6) KCL veya KVL ile x′(0⁺) değerini bul

   7) İki sabiti çöz; başlangıç ve son değerleri denetle

   Sesli anlatım metni

   İkinci derece sorularda çözüm akışı kısa ve güvenilirdir. İlk olarak cevap değişkenini ve devre formunu seçin. Sonra alfa ve omega sıfırı hesaplayıp durumu sınıflandırın. Ardından iki başlangıç koşulu ile sabitleri bulun. Eğer kaynak varsa önce son değeri bulun, sonra geçici terimi onun etrafına ekleyin.

2. 2. Problem 1: kaynak-sız paralel RLC

   

   Verilenler:

   $\displaystyle R=1 \Omega , L=0,5 H, C=0,5 F$

   $\displaystyle v_{C}\left(0\right)=6 V$

   $\displaystyle i_{L}\left(0\right)=0 A$

   Aranan:

   $\displaystyle v_{C}\left(t\right), t\ge 0$

   Kaynak yok → cevap tamamen geçicidir

   $\displaystyle v_{C}\left(\infty \right)=0$

   Paralel biçimde doğal değişken v_C(t)'dir

   Sesli anlatım metni

   Birinci soru source free paralel Re Le Ce devresi. Verilenler: R bir ohm, L sıfır nokta beş henry, C sıfır nokta beş farad. Başlangıçta kapasitör gerilimi altı volt, indüktör akımı ise sıfır amper. Amacımız, t sıfırdan büyük eşit için v c t ifadesini bulmak.

3. 3. Problem 1'i çöz

   

   α=1/(2RC)=1 s⁻¹

   ω₀=1/√(LC)=2 rad/s

   α<ω₀ → eksik sönümlü; ω_d=√3

   $\displaystyle v=e^{-t}\left[A\cos \left(\surd 3t\right)+B\sin \left(\surd 3t\right)\right]$

   $\displaystyle v\left(0\right)=6 \to A=6$

   KCL:

   $\displaystyle C v′\left(0\right)+\frac{v\left(0\right)}{R}+i_{L}\left(0\right)=0$

   $\displaystyle v′\left(0\right)=-\frac{12 V}{s }\to B=-2\surd 3$

   $\displaystyle v_{C}=e^{-t}\left[6\cos \left(\surd 3t\right)-2\surd 3\sin \left(\surd 3t\right)\right] V$

   Sesli anlatım metni

   Bu bir doğal cevap sorusu, dolayısıyla son değer sıfırdır. Paralel form için alfa bir bölü iki R C olur ve buradan bir gelir. Omega sıfır ise bir bölü L C köküdür ve iki çıkıyor. Alfa, omega sıfırdan küçük olduğu için cevap underdamped durumdadır. Bu durumda v t ifadesini e üssü eksi t ile çarpılan kosinüs sinüs kombinasyonu şeklinde yazarız; burada omega d karekök üç olur. İlk koşul A eşittir altı verir. Türev koşulu için t sıfır artı anında K C L yazılır: C çarpı d v bölü d t artı v bölü R artı i L eşittir sıfır. Başlangıç değerleri yerine koyunca d v bölü d t sıfır artı eksi on iki olur. Buradan B eşittir eksi iki karekök üç çıkar. Sonuç olarak kapasitör gerilimi e üssü eksi t çarpı parantez içinde altı kosinüs karekök üç t eksi iki karekök üç sinüs karekök üç t olur.

4. 4. Problem 2: basamakla sürülen seri RLC

   

   t=0'da 8 V kaynak devreye bağlanır

   $\displaystyle R=4 \Omega , L=1 H, C=0,25 F$

   v_C(0)=0 V ve i(0)=0 A

   Aranan:

   $\displaystyle v_{C}\left(t\right), t\ge 0$

   Kaynak var → tam cevap gerekir

   DC son durumda C açık devredir

   $\displaystyle v_{C}\left(\infty \right)=8 V$

   Sesli anlatım metni

   İkinci soru anahtarlanan seri Re Le Ce step cevabı. t sıfır anında switch kapanıyor ve sekiz voltluk kaynak, R dört ohm, L bir henry ve C sıfır nokta yirmi beş farad olan seri devreyi sürüyor. Başlangıçta hem kapasitör gerilimi hem de akım sıfır. Aradığımız büyüklük v c t.

5. 5. Problem 2'yi çöz

   

   $\displaystyle \alpha =\frac{R}{2L}=2 s⁻¹$

   ω₀=1/√(LC)=2 rad/s

   α=ω₀ → kritik sönümlü

   $\displaystyle v_{C}=8+\left(A+Bt\right)e^{-2t}$

   $\displaystyle v_{C}\left(0\right)=0 \to A=-8$

   $\displaystyle i\left(0\right)=C v_{C}′\left(0\right)=0 \to v_{C}′\left(0\right)=0$

   $\displaystyle B-2A=0 \to B=-16$

   $\displaystyle v_{C}=8-\left(8+16t\right)e^{-2t} V$

   Sesli anlatım metni

   Bu kez kaynak olduğu için önce son değeri buluyoruz. Kararlı durumda kapasitör açık devre, akım sıfır ve kapasitör gerilimi kaynak gerilimine eşit olur. Yani v c sonsuz sekiz volttur. Seri form için alfa R bölü iki L den iki gelir. Omega sıfır da iki olduğu için durum critical damping olur. O halde doğru form sekiz artı parantez içinde A artı B t, bunun tamamı e üssü eksi iki t şeklindedir. v c sıfır eşittir sıfır koşulu A eşittir eksi sekiz verir. Ayrıca i eşittir C çarpı d v bölü d t olduğu için başlangıç akımı sıfır ise kapasitör geriliminin ilk eğimi de sıfırdır. Buradan B eksi iki A eşittir sıfır ve B eksi on altı bulunur. Son ifade: v c t eşittir sekiz eksi parantez içinde sekiz artı on altı t, bunun tamamı e üssü eksi iki t.

6. 6. İki problemi tek yöntemde birleştir

   

   Kaynak-sız problem: x(∞)=0 ve cevap bütünüyle geçici

   Sürülen problem: önce x(∞), sonra çevresindeki geçici terim

   α ve ω₀ kutup türünü seçer

   Süreklilik ilk koşulu korur

   KCL/KVL ikinci koşulu veya türevi verir

   İki koşul → iki bilinmeyen sabit

   Son kontrol: t=0⁺ ve t→∞

   Aynı iş akışı paralel ve seri RLC'de çalışır

   Sesli anlatım metni

   Bu iki örnek bütün kalıbı gösteriyor. Kaynaksız soruda cevap tamamen geçici terimden gelir. Kaynaklı soruda ise önce son değer bulunur, sonra uygun geçici form eklenir. Her iki durumda da alfa ve omega sıfır kutupların tipini belirler; iki başlangıç koşulu ise sabitleri verir.