#11 Sıfır başlangıç koşullarındaki nedensel LTI sistemlerde Dirak impulsu, impuls yanıtı, konvolüsyon integrali ve Laplas alanındaki çarpma ilişkisi

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. İmpuls yanıtı ve konvolüsyon hedefini kur

   

   Herkese merhaba.

   On birinci dersimize hoş geldiniz.

   Önceki derste transfer fonksiyonu G(s)'yi tanımlamıştık.

   Bugün özel bir giriş olan Dirak impulsunu uygulayınca ne olduğunu ve sistem yanıtının konvolüsyon yoluyla genel bir çıkış formülüne nasıl götürdüğünü keşfedeceğiz.

   Sesli anlatım metni

   Herkese merhaba. On birinci dersimize hoş geldiniz. Önceki derste transfer fonksiyonu G s'yi tanımlamıştık. Bugün özel bir giriş olan Dirak impulsunu uygulayınca ne olduğunu ve sistem yanıtının konvolüsyon yoluyla genel bir çıkış formülüne nasıl götürdüğünü keşfedeceğiz.

2. 2. Dirak impulsunu dağılım özellikleriyle tanımla

   

   Dirak impulsu δ(t), sıradan bir fonksiyon değil idealleştirilmiş bir dağılımdır.

   δ(t)=0 (t≠0) ve ∫_−∞^∞δ(t)dt=1 özellikleriyle tanımlanır.

   δ(t), birim alanlı ve ideal olarak anlık bir giriş etkisini modeller.

   $\displaystyle L\{\delta \left(t\right)\}=1.$

   Sesli anlatım metni

   Dirak impuls fonksiyonu delta t, teorik bir sinyaldir. Sıfır anında sonsuz genliğe sahiptir, sıfır genişliktedir, ama alanı bire eşittir. Bunu sisteme uygulanan sonsuz kısa ve sonsuz güçlü bir darbe olarak düşünebilirsiniz. Laplas dönüşümü basitçe birdir.

3. 3. LTI sistemin impuls yanıtını tanımla

   

   Dirak impulsunu giriş olarak uyguladığımızda, çıkışa impuls yanıtı denir.

   Bunu g(t)=S{δ(t)} biçiminde yazarız.

   Sıfır başlangıç koşullarındaki LTI sistemin giriş–çıkış davranışını g(t), tıpkı G(s) gibi karakterize eder.

   Sesli anlatım metni

   Dirak impulsunu giriş olarak uyguladığımızda, çıkışa impuls yanıtı denir. Bunu g t eşittir S, delta t şeklinde yazarız. İmpuls yanıtı, tıpkı transfer fonksiyonu gibi, sistem davranışını tamamen karakterize eder.

4. 4. g(t) ile G(s) Laplas çiftini kur

   

   İşte kritik bağlantı.

   LTI sistemde impuls yanıtı g(t) ile transfer fonksiyonu G(s) bir Laplas dönüşüm çiftidir.

   $\displaystyle L\{g\left(t\right)\}=G\left(s\right).$

   Sıfır başlangıç koşullarında g(t) ile G(s) aynı giriş–çıkış bilgisini içerir.

   Sesli anlatım metni

   İşte kritik bağlantı. İmpuls yanıtı g t ile transfer fonksiyonu G s, bir Laplas dönüşüm çiftidir. g t'nin Laplas dönüşümü G s'yi verir. Bu demek oluyor ki zaman alanındaki impuls yanıtı ile Laplas alanındaki transfer fonksiyonu birebir aynı bilgiyi içerir.

5. 5. Keyfi bir giriş için çıkış hesabını sor

   

   Şimdi pratik bir soruyu cevaplayalım.

   İmpuls yanıtı g(t)'yi biliyorsak, herhangi bir u(t) girişi için çıkışı nasıl hesaplarız?

   Cevap konvolüsyondur.

   Sesli anlatım metni

   Şimdi pratik bir soruyu cevaplayalım. İmpuls yanıtı g t'yi biliyorsak, herhangi bir keyfi giriş u t için çıkışı nasıl hesaplarız? Cevap konvolüsyondur.

6. 6. Konvolüsyon integralini kur

   

   Çıkış y(t)=g(t)*u(t) konvolüsyonudur.

   $\displaystyle y\left(t\right)=\int _{-\infty }^{\infty }g\left(t-\tau \right)u\left(\tau \right)\mathrm{d}\tau .$

   Bu integral, impuls yanıtını giriş üzerinde kaydırır ve ağırlıklı katkıları toplar.

   Sesli anlatım metni

   Çıkış y t, g ve u'nun konvolüsyonuna eşittir. İntegral olarak yazıldığında, y t eşittir eksi sonsuzdan artı sonsuza kadar, g t eksi tau çarpı u tau, d tau integraline eşittir. Bu integral, impuls yanıtını giriş üzerinde kaydırır ve ağırlıklı katkıları toplar.

7. 7. Laplas alanındaki çarpma kuralını kur

   

   Laplas alanında konvolüsyon basit bir çarpmaya dönüşür.

   $\displaystyle Y\left(s\right)=G\left(s\right)\cdot U\left(s\right).$

   Bu, önceki derste öğrendiğimiz transfer fonksiyonu ilişkisinin ta kendisidir.

   Zaman alanındaki konvolüsyon, Laplas s alanında çarpmaya karşılık gelir.

   Sesli anlatım metni

   Laplas alanında konvolüsyon basit bir çarpmaya dönüşür. Y s eşittir G s çarpı U s. Bu, önceki derste öğrendiğimiz transfer fonksiyonu ilişkisinin ta kendisidir. Zamanda konvolüsyon, frekans alanında çarpmaya eşittir.

8. 8. Üç adımlı ters Laplas sürecini kur

   

   Gerçek zaman alanı çıkışını bulmak için ters Laplas dönüşümünü alırız.

   $\displaystyle y\left(t\right)=L⁻¹\{Y\left(s\right)\}=L⁻¹\{G\left(s\right)U\left(s\right)\}.$

   Bu üç adımlı süreç; dönüştür, çarp ve ters dönüştür; sistem yanıtlarını hesaplamanın standart yöntemidir.

   Sesli anlatım metni

   Gerçek zaman alanı çıkışını bulmak için ters Laplas dönüşümünü alırız. y t eşittir Y s'nin ters Laplasına, yani G s çarpı U s'nin ters Laplasına eşittir. Bu üç adımlı süreç; dönüştür, çarp ve ters dönüştür; sistem yanıtlarını hesaplamanın standart yöntemidir.

9. 9. Birinci derece gecikme örneğini çöz

   

   Bir örnek görelim.

   Nedensel birinci derece gecikmede G(s)=K/(1+sT) ve g(t)=(K/T)e⁽−t/T), t≥0.

   Birim basamak için y(t)=K[1−e⁽−t/T)], t≥0 elde edilir.

   Sesli anlatım metni

   Bir örnek görelim. G s eşittir K bölü bir artı s T olan bir birinci derece gecikme için, impuls yanıtı g t eşittir K bölü T çarpı e üzeri eksi t bölü T'dir. Basamak girişi uygulayıp çarpma kuralını kullandığımızda, bilinen basamak yanıtını elde ederiz: K çarpı bir eksi e üzeri eksi t bölü T.

10. 10. Nedensel saf integratör örneğini çöz

    

    Nedensel saf integratör için G(s)=1/s'dir.

    İmpuls yanıtı g(t)=1, t≥0'dır; eşdeğer olarak birim basamaktır.

    Nedensel giriş için y(t)=∫₀^t u(τ)dτ olur.

    Bu, integratörün giriş sinyalini zaman içinde biriktirdiğini doğrular.

    Sesli anlatım metni

    Saf bir integratör için G s eşittir bir bölü s'dir. İmpuls yanıtı g t eşittir bir, yani sabittir. Bir sabiti herhangi bir girişle konvolüsyon yapmak, o girişin süregelen integralini verir. Bu, integratörün giriş sinyalini zaman içinde biriktirdiğini doğrular.

11. 11. İmpuls yanıtı ve konvolüsyon akışını toparla

    

    Harika.

    Bu derste sıfır başlangıç koşullarındaki LTI sistemde g(t)'nin giriş–çıkış davranışını karakterize ettiğini, L{g(t)}=G(s) olduğunu ve çıkışın konvolüsyon ya da Laplas s alanında çarpma ile bulunabildiğini öğrendik.

    Bir sonraki ders olan basamak yanıtlarında görüşürüz.

    Sesli anlatım metni

    Harika. Bu derste impuls yanıtı g t'nin bir sistemi tamamen karakterize ettiğini, g t ve G s'nin Laplas çiftleri olduğunu ve herhangi bir giriş için çıkışın zamanda konvolüsyon veya Laplas alanında çarpma ile bulunabileceğini öğrendik. Bir sonraki ders olan basamak yanıtlarında görüşürüz.

Kaynak video: Kontrol Teorisi #11 — Impuls Yanıtı ve Konvolusyon (3:30)