#15 الخطية، الأزواج السببية، الأقطاب الحقيقية المختلفة والمكررة، وحساب المعاملات

تجد أدناه جميع الأسطر المكتوبة في الدفتر مع النص الكامل للشرح الصوتي.

1. 1. من المجال المركب إلى الزمن

   

   الاتجاه السابق يحول الدالة الزمنية الصغيرة f إلى تحويلها الكبير F؛ هذان مجالان مختلفان.

   الآن نبحث عن الدالة الزمنية انطلاقا من تحويلها.

   في هذه الأمثلة الرشيدة نستعمل الجدول والخطية بدلا من حساب التكامل العكسي العام.

   نرتب التحويل إلى كسور معروفة، ثم نعيد كل حد إلى الزمن ضمن شرط السببية والتقارب.

   القاعدة العملية: جبر صحيح أولا، ثم مطابقة صحيحة مع الجدول.

   نص الشرح الصوتي

   في الدروس السابقة ذهبنا في الاتجاه الأمامي: من الدالة في الزمن f of t إلى الدالة في مجال s، أي F of s. الآن نريد الرجوع. تحويل لابلاس العكسي قد يبدو مخيفا إذا بدأنا من تعريفه الكامل، لكن في تحليل الدوائر لا نعمل غالبا بهذه الطريقة. نقوم بشيء عملي جدا: نعيد كتابة F of s على شكل قطع بسيطة، ثم نطابق كل قطعة مع جدول التحويلات. إذن المهارة هنا ليست حفظ تكامل جديد، بل ترتيب جبري، ثم التعرف على النمط الصحيح.

2. 2. الخطية والتعرف على النمط

   

   نبدأ بزوج أسّي سببي؛ السهم يعني تحويل لابلاس وليس مساواة دالتين.

   المعامل ينتقل إلى الزمن بالخطية، مع σ>−a؛ زوج التحويل:

   $\displaystyle F_{3}\left(s\right)=\left(\frac{3}{s+a}\right),\; f_{3}\left(t\right)=3 e^{-a t} u\left(t\right)$

   الخطية تربط التحويل G بالدالة g حدّا حدّا:

   $\displaystyle G\left(s\right)=A F_{1}\left(s\right)+B F_{2}\left(s\right),\; g\left(t\right)=A f_{1}\left(t\right)+B f_{2}\left(t\right)$

   شكل المقام يحدد قالب الحد، ومعامله يحدد الوزن؛ نحتفظ بمنطقة تقارب مشتركة.

   نسعى إلى مجموع أزواج معروفة؛ لا نغيّر قيمة التعبير أثناء التفكيك.

   نص الشرح الصوتي

   ابدأ بالفكرة الأساسية. إذا كان واحد على s زائد a يرجع إلى e أس ناقص a t، فإن ثلاثة على s زائد a يرجع إلى ثلاثة e أس ناقص a t. خاصية الخطية تسمح لنا أن نأخذ التحويل العكسي حدّا حدّا. لذلك إذا كانت F of s مجموع كسور بسيطة، يصبح تحويل لابلاس العكسي سهلا: كل مقام يعطينا نمطا زمنيا، وكل معامل يعطي وزن هذا النمط. كل اللعبة هي أن نجعل التعبير يبدو مثل مجموع قطع معروفة من الجدول.

3. 3. خطوات الكسور الجزئية

   

   الكسور الجزئية: ترتيب جبري منظم قبل الرجوع إلى الزمن.

   الشرط هنا: درجة البسط أقل تماما من درجة المقام؛ يسمى strictly proper، لا مجرد proper.

   إذا كانت درجة البسط أكبر أو مساوية نقسم أولا؛ لا نسقط الجزء كثير الحدود الناتج.

   نفكك المقام بعد اختزال العوامل المشتركة؛ نميز العوامل المختلفة من المكررة.

   لعاملين خطيين مختلفين a≠b وبسط درجته أقل من 2:

   $\displaystyle \frac{N\left(s\right)}{\left(s+a\right)\left(s+b\right)}=\frac{A}{s+a}+\frac{B}{s+b}$

   نضرب في المقام المشترك، ثم نجد المعاملات بالمقارنة أو بالتعويض المناسب.

   نعكس كل حد باستعمال الزوج المطابق؛ التكرار يغير الشكل الزمني.

   بعد الجبر نحصل على الإشارة؛ الجزء كثير الحدود يحتاج نبضات أو مشتقاتها إن وُجد.

   نص الشرح الصوتي

   هذه هي طريقة الكسور الجزئية. أولا نتأكد أن الكسر Proper، أي درجة البسط أصغر من درجة المقام. إذا لم يكن كذلك، نقسم أولا. ثانيا نفكك المقام إلى عوامله. ثالثا نكتب معاملا مجهولا لكل قطعة بسيطة. رابعا نحل هذه المعاملات. وأخيرا نرجع كل حد من الجدول. بهذه الطريقة يتحول جبر الدوائر في مجال s إلى شكل موجة في الزمن.

4. 4. الأزواج العكسية السببية

   

   أربعة أزواج سببية؛ u(t) خطوة الوحدة، وσ الجزء الحقيقي من s.

   الزوج الأسي، مع a حقيقي وσ>−a:

   $\displaystyle F_{a}\left(s\right)=\left(\frac{1}{s+a}\right),\; f_{a}\left(t\right)=e^{-a t} u\left(t\right)$

   الزوج المكرر، مع σ>−a والتربيع للقوس كله:

   $\displaystyle F_{r}\left(s\right)=\left(\frac{1}{\left(s+a\right)^{2}}\right),\; f_{r}\left(t\right)=t e^{-a t} u\left(t\right)$

   زوج الجيب، مع ω>0 وσ>0:

   $\displaystyle F_{s}\left(s\right)=\left(\frac{\omega }{s^{2}+\omega ^{2}}\right),\; f_{s}\left(t\right)=\sin \left(\omega t\right) u\left(t\right)$

   زوج جيب التمام، مع ω>0 وσ>0:

   $\displaystyle F_{c}\left(s\right)=\left(\frac{s}{s^{2}+\omega ^{2}}\right),\; f_{c}\left(t\right)=\cos \left(\omega t\right) u\left(t\right)$

   هذه قوالب زمنية شائعة؛ الأسية تضمحل إذا كان a موجبا، والقطب المكرر يضيف عامل الزمن.

   نص الشرح الصوتي

   احتفظ بأربع أزواج عكسية أمامك. واحد على s زائد a يعطي e أس ناقص a t. واحد على s زائد a تربيع يعطي t مضروبة في e أس ناقص a t. أوميغا على s تربيع زائد أوميغا تربيع يعطي sin أوميغا t. و s على s تربيع زائد أوميغا تربيع يعطي cos أوميغا t. أغلب استجابات الدوائر العابرة تتكون من هذه الأشكال: اضمحلالات، اضمحلالات مضروبة في t، جيوب، وجيوب تمام.

5. 5. مثال الأقطاب المختلفة

   

   المثال الأول له قطبان حقيقيان مختلفان؛ نرمز للتحويل هنا بـ F₁.

   المعطى السببي ومنطقة تقاربه σ>−1:

   $\displaystyle F_{1}\left(s\right)=\frac{2 s+5}{\left(s+1\right)\left(s+3\right)}$

   نكتب مجهولين للعاملين المختلفين:

   $\displaystyle F_{1}\left(s\right)=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+3}$

   بعد الضرب في المقام المشترك نحصل على هوية كثيرات حدود:

   $\displaystyle 2 s+5=A\left(s+3\right)+B\left(s+1\right)$

   نعوض في الهوية لا في الكسر المفرد عند قطبه:

   $\displaystyle s=-1$

   يتلاشى حد B ثم نقسم على 2:

   $\displaystyle 2\left(-1\right)+5=A\left(-1+3\right),\; 3=2 A,\; A=\frac{3}{2}$

   نعزل المعامل الآخر بالتعويض في الهوية:

   $\displaystyle s=-3$

   يتلاشى حد A ونقسم على −2:

   $\displaystyle 2\left(-3\right)+5=B\left(-3+1\right),\; -1=-2 B,\; B=\frac{1}{2}$

   نعيد المعاملين إلى التحويل:

   $\displaystyle F_{1}\left(s\right)=\frac{\frac{3}{2}}{s+1}+\frac{\frac{1}{2}}{s+3}$

   العكسي السببي؛ كل كسر يعطي أسية بوزنه:

   $\displaystyle f_{1}\left(t\right)=\left[\left(\frac{3}{2}\right)e^{-t}+\left(\frac{1}{2}\right)e^{-3 t}\right] u\left(t\right)$

   نص الشرح الصوتي

   المثال الأول: أقطاب حقيقية مختلفة. لتكن F of s تساوي اثنين s زائد خمسة، على s زائد واحد مضروبة في s زائد ثلاثة. نكتبها على شكل A على s زائد واحد، زائد B على s زائد ثلاثة. نضرب الطرفين في المقام المشترك، فنحصل على اثنين s زائد خمسة يساوي A مضروبة في s زائد ثلاثة، زائد B مضروبة في s زائد واحد. لإيجاد A نضع s يساوي ناقص واحد. يختفي حد B، فنحصل على ثلاثة يساوي اثنين A، إذن A تساوي ثلاثة على اثنين. ولإيجاد B نضع s يساوي ناقص ثلاثة. يختفي حد A، ونحصل على ناقص واحد يساوي ناقص اثنين B، إذن B تساوي واحدا على اثنين. إذن F of s تساوي ثلاثة على اثنين فوق s زائد واحد، زائد واحد على اثنين فوق s زائد ثلاثة. نأخذ العكسي حدّا حدّا، فنحصل على f of t تساوي ثلاثة على اثنين e أس ناقص t، زائد واحد على اثنين e أس ناقص ثلاثة t.

6. 6. أوزان الأنماط وسرعتها

   

   نقرأ كل حد في الحل من موقع القطب ووزنه، لا من المقام وحده.

   الحد الأبطأ للزمن الموجب، قطبه −1 ووزنه 3/2:

   $\displaystyle f_{\mathrm{slow}}\left(t\right)=\left(\frac{3}{2}\right)e^{-t}$

   الحد الأسرع للزمن الموجب، قطبه −3 ووزنه 1/2:

   $\displaystyle f_{\mathrm{fast}}\left(t\right)=\left(\frac{1}{2}\right)e^{-3 t}$

   للأقطاب الحقيقية السالبة هنا: الأبعد يسارا يعطي أسية أسرع اضمحلالا.

   هذه أنماط الإشارة المعطاة وأوزانها؛ وصفها بأنماط طبيعية للدائرة يحتاج معرفة أن المقام يمثل ديناميكياتها.

   نص الشرح الصوتي

   اقرأ النتيجة كمهندس. القطب عند ناقص واحد يصنع النمط البطيء e أس ناقص t، ووزنه ثلاثة على اثنين. القطب عند ناقص ثلاثة يصنع النمط الأسرع e أس ناقص ثلاثة t، ووزنه واحد على اثنين. كلما كان القطب أبعد إلى اليسار، كان الاضمحلال أسرع. إذن الكسور الجزئية ليست جبرا فقط؛ إنها تخبرنا أي الأنماط الطبيعية موجودة، وما وزن كل نمط.

7. 7. مثال القطب المكرر

   

   المثال الثاني له قطب عند −2 من الرتبة الثانية؛ نرمز له بـ F₂.

   التربيع يشمل القوس كله؛ منطقة التقارب السببية σ>−2:

   $\displaystyle F_{2}\left(s\right)=\frac{s+4}{\left(s+2\right)^{2}}$

   نكتب درجتي السلم، لا الحد المربع وحده:

   $\displaystyle F_{2}\left(s\right)=\frac{A}{s+2}+\frac{B}{\left(s+2\right)^{2}}$

   نضرب الطرفين في المقام المشترك:

   $\displaystyle \left(s+2\right)^{2} F_{2}\left(s\right)=A\left(s+2\right)+B$

   نعوض بسط التعبير المعطى:

   $\displaystyle s+4=A\left(s+2\right)+B$

   نوسع الطرف الأيمن ثم نقارن معامل s:

   $\displaystyle s+4=A s+2 A+B,\; A=1$

   مقارنة الحدود الثابتة:

   $\displaystyle 4=2 A+B$

   نعوض A ثم نطرح 2:

   $\displaystyle 4=2\left(1\right)+B,\; B=4-2=2$

   نعيد المعاملات إلى الكسور:

   $\displaystyle F_{2}\left(s\right)=\frac{1}{s+2}+\frac{2}{\left(s+2\right)^{2}}$

   عكسي الحد الأول للزمن الموجب:

   $\displaystyle f_{\mathrm{simple}}\left(t\right)=e^{-2 t}$

   عكسي الحد المربع يضيف t مع بقاء المعامل 2:

   $\displaystyle f_{\mathrm{repeat}}\left(t\right)=2 t e^{-2 t}$

   نجمع الحدين ونثبت السببية:

   $\displaystyle f_{2}\left(t\right)=\left[e^{-2 t}+2 t e^{-2 t}\right] u\left(t\right)$

   نص الشرح الصوتي

   المثال الثاني: قطب مكرر. لتكن F of s تساوي s زائد أربعة، على s زائد اثنين تربيع. العامل المكرر يحتاج سلما كاملا: A على s زائد اثنين، زائد B على s زائد اثنين تربيع. نضرب في s زائد اثنين تربيع. نحصل على s زائد أربعة يساوي A مضروبة في s زائد اثنين، زائد B. بمقارنة المعاملات، معامل s يعطينا A تساوي واحدا. والحد الثابت يعطي أربعة يساوي اثنين A زائد B. بما أن A تساوي واحدا، إذن B تساوي اثنين. إذن F of s تساوي واحدا على s زائد اثنين، زائد اثنين على s زائد اثنين تربيع. الحد الأول يعطي e أس ناقص اثنين t. والحد الثاني يعطي اثنين t e أس ناقص اثنين t. فالنتيجة: f of t تساوي e أس ناقص اثنين t، زائد اثنين t e أس ناقص اثنين t.

8. 8. أخطاء شائعة

   

   ثلاثة فحوص تمنع أخطاء الكسور الجزئية.

   إذا لم تكن درجة البسط أقل تماما، فاقسم أولا واحتفظ بالجزء كثير الحدود؛ لا تهمله.

   للقطب المكرر مرتين نكتب السلم كله، وقد يكون أحد المعاملين صفرا:

   $\displaystyle F_{r}\left(s\right)=\frac{A}{s+a}+\frac{B}{\left(s+a\right)^{2}}$

   راجع إشارة الجذر بحل العامل مساويا للصفر.

   جذر العامل ليس موجب ثلاثة:

   $\displaystyle s+3=0,\; s=-3$

   لحد أسّي سببي: القطب الحقيقي السالب اضمحلال، والموجب نمو؛ لا تنس الاختزال قبل تحديد الأقطاب.

   نص الشرح الصوتي

   انتبه إلى ثلاث أخطاء شائعة. أولا: إذا كان الكسر غير Proper، فقم بالقسمة قبل الكسور الجزئية. ثانيا: مع القطب المكرر لا تكتب حدا واحدا فقط؛ اكتب السلم الكامل، مثل A على s زائد a و B على s زائد a تربيع. ثالثا: راقب الإشارات. s زائد ثلاثة يعني أن القطب عند ناقص ثلاثة، وليس عند موجب ثلاثة. هذه الإشارة تحدد هل الاستجابة تضمحل أم تنمو.

9. 9. الخلاصة

   

   الخلاصة: رتب التعبير جبريا، ثم طابق كل حد مع جدول التحويل العكسي وشروطه.

   تحقق من التفكيك بإعادة جمع الكسور؛ يجب أن يرجع البسط والمقام إلى التعبير المعطى.

   القطب البسيط يعطي أسية؛ والتكرار يضيف قوى الزمن، والرتبة الثانية تضيف t مضروبا في الأسية.

   التالي: قراءة الأقطاب والأصفار والقيمتين الابتدائية والنهائية مع شروط صلاحية النظريتين.

   نص الشرح الصوتي

   الخلاصة: تحويل لابلاس العكسي في الدوائر هو مطابقة جدول بعد ترتيب جبري. الكسور الجزئية تحول التعبير الرشيد المعقد إلى مجموع أنماط بسيطة. الأقطاب الحقيقية المختلفة تعطي أسيات موزونة، والأقطاب المكررة تضيف حدودا من نوع t مضروبة في الأسية. في الدرس القادم نكبر الصورة ونقرأ الأقطاب، والأصفار، والقيمة الابتدائية، والقيمة النهائية مباشرة من F of s.

الفيديو المصدر: نظرية الدوائر 2 #15 - تحويل لابلاس العكسي والكسور الجزئية (6:10)