#44 التحليل العابر #44 — استجابة الخطوة RL وازدواجية RC/RL

تجد أدناه جميع الأسطر المكتوبة في الدفتر مع النص الكامل للشرح الصوتي.

1. 1. دائرة RL: البداية والنهاية وثابت الزمن

   

   يغلق المفتاح عند t=0

   لا يحمل الملف تيارا في البداية

   $\displaystyle i_{L}\left(0⁺\right)=0 A$

   في حالة DC المستقرة يصبح الملف قصرا

   $\displaystyle i_{L}\left(\infty \right)=\frac{V_{S}}{R}$

   المقاومة التي يراها الملف هي R

   $\displaystyle \tau =\frac{L}{R}$

   في RC: τ=RC وفي RL: τ=L/R

   القيم الثلاث جاهزة للقانون

   نص الشرح الصوتي

   نطبق الآن قانون جواب الخطوة على دائرة آر إل. عندنا مصدر جهد V S، مفتاح يغلق عند t يساوي صفر، مقاومة R، وملف L على التوالي. قبل إغلاق المفتاح لا يوجد تيار في الملف، لذلك i L عند صفر موجب تساوي صفر أمبير. بعد زمن طويل جدا، الملف في حالة التيار المستمر يتصرف كقصر، فيصبح التيار النهائي V S على R. أما ثابت الزمن في دائرة آر إل فهو تاو يساوي L على R. انتبه هنا: في دائرة آر سي كان ثابت الزمن R في C، أما هنا فهو L مقسوم على R.

2. 2. ارتفاع تيار RL وهبوط الجهد

   

   نطبق القانون العام مع x=i_L

   $\displaystyle i_{L}\left(t\right)=\frac{V_{S}}{R}+\left[0-\frac{V_{S}}{R}\right]e^{(}-t/\tau )$

   $\displaystyle i_{L}\left(t\right)=\left(\frac{V_{S}}{R}\right)\left(1-e^{(}-t/\tau )\right)$

   يرتفع التيار من الصفر إلى V_S/R

   يصل إلى 63.2 بالمئة عند تاو

   يصل إلى 99.3 بالمئة عند خمسة تاو

   $\displaystyle v_{L}\left(t\right)=V_{S} e^{(}-t/\tau )$

   يهبط جهد الملف من V_S إلى الصفر

   يرتفع التيار بينما يهبط الجهد

   نص الشرح الصوتي

   نأخذ الصيغة العامة: x of t يساوي x مالانهاية زائد x صفر ناقص x مالانهاية في e أس سالب t على تاو. المتغير الآن هو تيار الملف i L. القيمة الابتدائية صفر، والقيمة النهائية V S على R. إذن i L of t يساوي V S على R في واحد ناقص e أس سالب t على تاو. التيار يبدأ من الصفر، ثم يرتفع أسيا حتى يقترب من V S على R. عند تاو واحد يصل إلى حوالي ثلاثة وستين بالمئة من القيمة النهائية، وعند خمسة تاو يكون عمليا قد وصل. وفي المقابل جهد الملف يبدأ من V S، ثم يهبط أسيا إلى الصفر.

3. 3. مثال عددي لخطوة RL بجهد 10 V

   

   $\displaystyle R=200 \Omega وL=0.5 H وV_{S}=10 V$

   $\displaystyle i_{L}\left(0⁺\right)=0 A$

   $\displaystyle i_{L}\left(\infty \right)=\frac{10}{200}$

   i_L(∞)=50 mA

   $\displaystyle \tau =\frac{L}{R}=\frac{0.5}{200}$

   τ=2.5 ms

   i_L(t)=50(1−e⁽−400t)) mA

   i_L(τ)=31.6 mA وi_L(3τ)=47.5 mA

   i_L(5τ)=49.7 mA

   نص الشرح الصوتي

   نحل مثالا رقميا ببطء. المعطيات: R تساوي مئتي أوم، L تساوي نصف هنري، و V S تساوي عشرة فولت. أولا: i L عند صفر موجب تساوي صفر. ثانيا: i L عند مالانهاية تساوي V S على R، أي عشرة على مئتين، وهذا يساوي خمسين ملي أمبير. ثالثا: تاو تساوي L على R، أي صفر فاصلة خمسة على مئتين، فتساوي صفر فاصلة صفر صفر اثنين خمسة ثانية، أو اثنين فاصلة خمسة ملي ثانية. إذن القانون يصبح: i L of t يساوي خمسين في واحد ناقص e أس سالب أربعمئة t ملي أمبير. عند واحد تاو، أي اثنين فاصلة خمسة ملي ثانية، نحصل على واحد وثلاثين فاصلة ستة ملي أمبير. عند ثلاثة تاو نحصل على سبعة وأربعين فاصلة خمسة ملي أمبير. وعند خمسة تاو نحصل على تسعة وأربعين فاصلة سبعة ملي أمبير، أي قريب جدا من خمسين.

4. 4. ازدواجية RC وRL

   

   قانون عام واحد ومتغيرات مزدوجة

   عنصر التخزين في RC هو C

   عنصر التخزين في RL هو L

   متغير RC هو v_C ومتغير RL هو i_L

   RC: τ=RC ↔ RL: τ=L/R

   في DC يصبح C مفتوحا وL قصرا

   طاقة المكثف ½Cv²

   طاقة الملف ½Li²

   يتقابل دور الجهد مع التيار

   نص الشرح الصوتي

   الآن نقارن آر سي وآر إل. هذا يسمى الازدواجية أو duality. في آر سي عنصر التخزين هو المكثف، والمتغير الطبيعي غالبا هو جهد المكثف V C. في آر إل عنصر التخزين هو الملف، والمتغير الطبيعي هو تيار الملف i L. ثابت الزمن في آر سي هو R C، وفي آر إل هو L على R. في الحالة المستقرة مع دي سي، المكثف يصبح دائرة مفتوحة، والملف يصبح قصرا. الطاقة في المكثف تساوي نصف C V تربيع، والطاقة في الملف تساوي نصف L i تربيع. ورغم هذا الاختلاف، كلاهما يتبع نفس الصيغة العامة: قيمة نهائية، زائد الفرق بين البداية والنهاية، مضروبا في الأس المتناقص.

5. 5. الجواب الطبيعي وجواب الخطوة

   

   كلاهما يستخدم نفس المقياس الزمني الأسّي

   المصدر مفصول في الجواب الطبيعي

   تتحرر الطاقة المخزنة

   الجواب الطبيعي: البداية → الصفر

   يطبق مصدر عند t=0 في جواب الخطوة

   يحدد المصدر حالة مستقرة جديدة

   جواب الخطوة: البداية → النهاية

   الطبيعي يحتاج البداية وتاو

   جواب الخطوة يحتاج البداية والنهاية وتاو

   نص الشرح الصوتي

   لنثبت الفرق بين الجواب الطبيعي وجواب الخطوة. في الجواب الطبيعي نفصل المصدر، فتفرغ الدائرة الطاقة المخزنة وتتناقص الاستجابة نحو الصفر. لذلك نحتاج غالبا إلى القيمة الابتدائية وثابت الزمن فقط. أما في جواب الخطوة فنطبق مصدرا فجأة، فتتحرك الدائرة من قيمة ابتدائية إلى قيمة نهائية جديدة يفرضها المصدر. لذلك نحتاج إلى ثلاث قيم: البداية، النهاية، وثابت الزمن. الشكل في الحالتين أسي، لكن نقطة النهاية مختلفة.

6. 6. قائمة فحص استجابة الخطوة RL

   

   نحل استجابة RL بثلاث قيم

   1) نجد i_L(0⁺)

   2) نجد i_L(∞)

   3) نجد τ=L/R_eq

   $\displaystyle i_{L}=\left(\frac{V_{S}}{R}\right)\left(1-e^{(}-t/\tau )\right)$

   $\displaystyle v_{L}=V_{S} e^{(}-t/\tau )$

   نفحص الحدين t=0 وt→∞

   نستخدم ازدواجية RC/RL لفحص الإشارات

   الموضوع التالي: التبديل المتتالي

   نص الشرح الصوتي

   الخلاصة: جواب الخطوة في دائرة آر إل هو i L of t يساوي V S على R في واحد ناقص e أس سالب t على تاو، حيث تاو تساوي L على R. التيار يصعد من صفر إلى V S على R، وجهد الملف يهبط من V S إلى صفر. طريقة الحل العملية لا تتغير: ابحث عن القيمة الابتدائية، ثم القيمة النهائية، ثم ثابت الزمن، وبعدها عوض في القانون العام. في الدرس القادم نستخدم نفس الفكرة مع تبديلات متتالية، حيث يتغير وضع المفتاح أكثر من مرة.