#43 التحليل العابر #43 — استجابة الخطوة وشحن RC

تجد أدناه جميع الأسطر المكتوبة في الدفتر مع النص الكامل للشرح الصوتي.

1. 1. الجواب الطبيعي والقسري والكامل

   

   نطبق مصدرا ثابتا عند t=0

   الجواب الطبيعي يأتي من الطاقة المخزنة ابتدائيا

   الجواب القسري هو الحالة المستقرة التي يفرضها المصدر

   الجواب الكامل = الطبيعي + القسري

   يتلاشى المركب الطبيعي أسيا

   يحدد المركب القسري القيمة النهائية

   لدائرة الدرجة الأولى ثابت زمني واحد

   حالة ما قبل التبديل تحدد البداية

   تحليل الزمن الطويل يحدد القيمة النهائية

   نص الشرح الصوتي

   في الدروس السابقة كان عندنا جواب طبيعي. يعني: لا يوجد مصدر خارجي بعد لحظة التبديل، والعنصر المخزن للطاقة، مثل المكثف أو الملف، يفرغ طاقته وحده. الآن ندخل إلى جواب الباساماك، أو الاستجابة لخطوة ثابتة. الفكرة بسيطة: عند t يساوي صفر نضع فجأة مصدر دي سي على الدائرة. إذن الدائرة لا تترك فقط طاقتها القديمة، بل تتحرك أيضا نحو قيمة نهائية يفرضها المصدر. لذلك نقول: الجواب الكامل يساوي الجواب الطبيعي زائد الجواب القسري. الطبيعي يعطي الشكل الأسي، والقسري يعطي القيمة النهائية.

2. 2. القانون العام وطريقة الخطوات الثلاث

   

   $\displaystyle x\left(t\right)=x\left(\infty \right)+\left[x\left(0⁺\right)-x\left(\infty \right)\right]e^{(}-t/\tau )$

   x(0⁺): القيمة مباشرة بعد التبديل

   x(∞): قيمة الحالة المستقرة بعد زمن طويل

   τ: ثابت الزمن الذي يحدد سرعة العابر

   1) نجد x(0⁺)

   2) نجد x(∞)

   3) نجد τ

   لدائرة RC:

   $\displaystyle \tau =R_{e}q C$

   لدائرة RL:

   $\displaystyle \tau =L/R_{e}q$

   نص الشرح الصوتي

   القانون العام لأي دائرة من الدرجة الأولى مع دخل خطوة هو: x of t يساوي x مالانهاية، زائد، x صفر ناقص x مالانهاية، مضروبا في e أس سالب t على تاو. لا تحفظه كرمز فقط؛ افهمه. x صفر هي قيمة المتغير مباشرة بعد التبديل. x مالانهاية هي القيمة بعد زمن طويل جدا، أي الحالة المستقرة. أما تاو فهو ثابت الزمن: في دائرة آر سي يساوي R C، وفي دائرة آر إل يساوي L على R. طريقة الحل العملية من ثلاث خطوات: أولا، نجد x صفر من الشروط الابتدائية. ثانيا، نجد x مالانهاية من الدائرة بعد زمن طويل. ثالثا، نجد تاو. وبعدها نعوض في القانون.

3. 3. القيم الثلاث لشحن RC

   

   يغلق المفتاح عند t=0

   المكثف غير مشحون في البداية

   $\displaystyle v_{C}\left(0⁺\right)=0 V$

   بعد زمن طويل يصبح المكثف دائرة مفتوحة

   ينخفض التيار إلى الصفر

   $\displaystyle v_{C}\left(\infty \right)=V_{S}$

   المقاومة التي يراها المكثف هي R

   τ=RC

   أصبحت القيم الثلاث جاهزة للقانون

   نص الشرح الصوتي

   نطبق هذا على دائرة شحن آر سي. عندنا مصدر جهد V S، مفتاح يغلق عند t يساوي صفر، مقاومة R، ومكثف C. قبل إغلاق المفتاح، نفترض أن المكثف غير مشحون، لذلك V C عند صفر موجب تساوي صفر فولت. بعد زمن طويل، التيار يصبح صفرا، والمكثف يتصرف كدائرة مفتوحة، فيأخذ جهد المصدر كاملا. إذن V C عند مالانهاية تساوي V S. وثابت الزمن في هذه الدائرة هو R في C. لاحظ أننا حصلنا الآن على القيم الثلاثة المطلوبة للقانون العام.

4. 4. جهد وتيار شحن RC

   

   نختار x=v_C في القانون العام

   v_C(t)=V_S+[0−V_S]e⁽−t/RC)

   v_C(t)=V_S(1−e⁽−t/RC))

   يرتفع الجهد من الصفر إلى V_S

   i(t)=(V_S/R)e⁽−t/RC)

   ينخفض التيار من V_S/R إلى الصفر

   عند t=τ يصل v_C إلى 63.2 بالمئة

   عند t=5τ يصل v_C إلى 99.3 بالمئة

   يرتفع الجهد بينما ينخفض التيار

   نص الشرح الصوتي

   الآن نعوض القيم الثلاثة. المتغير x هو جهد المكثف V C. القيمة النهائية V S. القيمة الابتدائية صفر. إذن V C of t يساوي V S زائد صفر ناقص V S مضروبا في e أس سالب t على R C. نبسط: صفر ناقص V S تساوي سالب V S. فيصبح القانون: V C of t يساوي V S في واحد ناقص e أس سالب t على R C. هذا هو قانون شحن المكثف. الجهد يبدأ من صفر ويصعد نحو V S. أما التيار فيبدأ من V S على R، ثم يهبط أسيًا إلى صفر.

5. 5. مثال عددي لشحن RC بجهد 12 V

   

   $\displaystyle R=10 k\Omega وC=100 \mu F وV_{S}=12 V$

   $\displaystyle R=10 000 \Omega وC=100\times 10⁻⁶ F$

   τ=RC=1 s

   $\displaystyle v_{C}\left(t\right)=12\left(1-e^{(}-t)\right) V$

   $\displaystyle i\left(t\right)=12/10 000\cdot e^{(}-t) A$

   i(t)=1.2e⁽−t) mA

   $\displaystyle v_{C}\left(1 s\right)=7.59 V$

   $\displaystyle v_{C}\left(3 s\right)=11.40 V$

   $\displaystyle v_{C}\left(5 s\right)=11.92 V$

   نص الشرح الصوتي

   نحل مثالا رقميا خطوة خطوة. المعطيات: R تساوي عشرة كيلو أوم، C تساوي مئة ميكرو فاراد، و V S تساوي اثني عشر فولت. أولا نحسب تاو. عشرة كيلو أوم تعني عشرة آلاف أوم. ومئة ميكرو فاراد تعني مئة في عشرة أس سالب ستة فاراد، أي صفر فاصلة صفر صفر صفر واحد فاراد. إذن تاو يساوي عشرة آلاف في صفر فاصلة صفر صفر صفر واحد، وهذا يساوي واحد ثانية. الآن القانون يصبح: V C of t يساوي اثني عشر في واحد ناقص e أس سالب t. عند t يساوي واحد ثانية: e أس سالب واحد يساوي تقريبا صفر فاصلة ثلاثة ستة ثمانية، إذن واحد ناقص ذلك يساوي صفر فاصلة ستة ثلاثة اثنين. نضرب: اثنا عشر في صفر فاصلة ستة ثلاثة اثنين يساوي سبعة فاصلة خمسة تسعة فولت. عند ثلاث ثوان، النتيجة تقريبا أحد عشر فاصلة أربعة فولت. وعند خمس ثوان، النتيجة أحد عشر فاصلة اثنان وتسعون فولت، أي قريب جدا من اثني عشر فولت.

6. 6. فحوص حل استجابة الخطوة

   

   نرسم دائرة البداية والنهاية أولا

   متغير عنصر تخزين الطاقة مستمر

   $\displaystyle v_{C}\left(0⁺\right)=v_{C}\left(0⁻\right)$

   المكثف دائرة مفتوحة في الحالة المستقرة

   نتحقق من x(0⁺) وx(∞) وτ

   نفحص النتيجة عند t=0 وعند t→∞

   نتأكد أن أس الدالة بلا وحدات

   تاو واحد 63.2 بالمئة وخمسة تاو 99.3 بالمئة

   الخطوة التالية: تطبيق الطريقة على استجابة RL

   نص الشرح الصوتي

   الخلاصة: في جواب الخطوة لا نبدأ من الرسم البياني، بل من ثلاث قيم. القيمة الابتدائية x صفر، القيمة النهائية x مالانهاية، وثابت الزمن تاو. بعدها نستخدم القانون العام: x of t يساوي x مالانهاية زائد x صفر ناقص x مالانهاية في e أس سالب t على تاو. في شحن آر سي، جهد المكثف يساوي V S في واحد ناقص e أس سالب t على R C. بعد تاو واحد نصل إلى حوالي ثلاثة وستين بالمئة من القيمة النهائية. وبعد خمسة تاو نكون عمليًا قريبين جدا من النهاية. في الدرس التالي نطبق نفس الفكرة على دائرة آر إل.