#39 Geçici Analiz #39 — Kapasitör/indüktör bağlantıları ve başlangıç koşulları

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Kapasitörlerin seri ve paralel bağlantısı

   

   İdeal kapasitör eşdeğerleri

   Seri: aynı yük q

   $\displaystyle 1/C_{e}q=\frac{1}{C_{1}}+\frac{1}{C_{2}}$

   İki eleman:

   $\displaystyle C_{e}q=\frac{C_{1}C_{2}}{C_{1}+C_{2}}$

   Paralel: aynı gerilim v

   $\displaystyle C_{e}q=C_{1}+C_{2}$

   Kapasitör kuralları dirençlerin tersidir

   Sesli anlatım metni

   Kapasitörler seri bağlandığında, eşdeğer kapasitans ters toplamıdır. Bir bölü C eşdeğer, eşittir bir bölü C bir artı bir bölü C iki — tıpkı paralel dirençler gibi. İki kapasitör için: C eşdeğer eşittir C bir çarpı C iki, bölü C bir artı C iki. Kapasitörler paralel bağlandığında ise eşdeğer kapasitans basitçe toplamıdır: C bir artı C iki. Bu dirençlerin tam tersidir: seri kapasitörler paralel dirençler gibi birleşir.

2. 2. Kapasitörde gerilim ve akım bölüşümü

   

   Seride yük eşit, paralelde gerilim eşit

   Seri: V₁=q/C₁ ve V₂=q/C₂

   $\displaystyle V_{1}=V_{s}\cdot \frac{C_{2}}{C_{1}+C_{2}}$

   Küçük C daha büyük gerilim taşır

   Paralel: i_k=C_k·dv/dt

   $\displaystyle I_{1}=I_{T}\cdot \frac{C_{1}}{C_{1}+C_{2}}$

   Büyük C daha büyük akım taşır

   Sesli anlatım metni

   Seri kapasitörlerde gerilim bölmesi şaşırtıcı bir kurala sahiptir. V bir eşittir V kaynak çarpı C iki bölü C bir artı C iki — dikkat edin, payda ÖTEKİ kapasitörün değeri var. Bu direnç gerilim bölmesinin TERSİDİR. Küçük kapasitör DAHA FAZLA gerilim alır, çünkü aynı yükü daha az kapasitansla depolar. Paralel kapasitörlerde akım bölmesi ise doğru orantılıdır: I bir eşittir I toplam çarpı C bir bölü C bir artı C iki. Büyük kapasitör daha fazla akım taşır.

3. 3. İndüktörlerin seri ve paralel bağlantısı

   

   İdeal ve manyetik kuplajsız indüktörler:

   $\displaystyle M=0$

   Seri:

   $\displaystyle L_{e}q=L_{1}+L_{2}$

   Seride aynı akım akar

   Paralel: aynı gerilim uygulanır

   $\displaystyle 1/L_{e}q=\frac{1}{L_{1}}+\frac{1}{L_{2}}$

   İki eleman:

   $\displaystyle L_{e}q=\frac{L_{1}L_{2}}{L_{1}+L_{2}}$

   Manyetik kuplaj varsa karşılıklı endüktans eklenir

   Sesli anlatım metni

   İndüktörler tam olarak dirençler gibi birleşir. Seri indüktörler doğrudan toplanır: L eşdeğer eşittir L bir artı L iki. Paralel indüktörler ters toplam formülünü kullanır: bir bölü L eşdeğer eşittir bir bölü L bir artı bir bölü L iki. Bu kapasitörlerin tam dualidir — seri ve paraleli değiştirdiğinizde C ve L birleşim kuralları da değişir.

4. 4. Kapasitör–indüktör bağlantı dualitesi

   

   C ve L bağlantı kurallarını karşılaştır

   C seri: ters toplam

   L seri: doğrudan toplam, M=0

   C paralel: doğrudan toplam

   L paralel: ters toplam, M=0

   Seri C gerilim bölüşümü ters orantılıdır

   Seri ↔ paralel ve C ↔ L dualitesi

   Sesli anlatım metni

   Kapasitör ve indüktör birleşim kurallarını yan yana karşılaştıralım. Seri kapasitörler ters toplam kullanır, ama seri indüktörler doğrudan toplanır. Paralel kapasitörler doğrudan toplanır, ama paralel indüktörler ters toplam kullanır. Gerilim, kapasitörlerde ters orantılı bölünür, indüktörlerde ise doğru orantılı. Bu güzel dualite, C ve L hakkında gördüğümüz her şeye uzanır.

5. 5. Anahtarlama anında süreklilik

   

   Enerji depolayan durum değişkenleri sıçrayamaz

   $\displaystyle v_{C}\left(0⁻\right)=v_{C}\left(0⁺\right)$

   Ani v_C sıçraması i=C·dv/dt nedeniyle sonsuz akım ister

   $\displaystyle i_{L}\left(0⁻\right)=i_{L}\left(0⁺\right)$

   Ani i_L sıçraması v=L·di/dt nedeniyle sonsuz gerilim ister

   i_C ve v_L sıçrayabilir

   dv_C/dt ve di_L/dt süreksiz olabilir

   Sesli anlatım metni

   Devre geçici analizi için en temel kurallar. Kapasitör gerilimi anlık değişemez: V alt C, t eşittir sıfır eksi'de ne ise, t eşittir sıfır artı'da da aynıdır. Neden? Çünkü anlık bir gerilim değişimi sonsuz akım gerektirir: I eşittir C çarpı dV bölü dt. Benzer şekilde, indüktör akımı anlık değişemez: I alt L, t eşittir sıfır eksi'de ne ise, sıfır artı'da da aynıdır. Anlık bir akım değişimi sonsuz gerilim gerektirir. Ancak TÜREVler, dV bölü dt ve dI bölü dt, t eşittir sıfırda süreksiz OLABİLİR.

6. 6. Üç adımlı anahtarlama yöntemi

   

   Başlangıç koşullarını sistematik bul

   1) t<0 devresini DC kararlı hâlde çöz

   DC'de C açık, L kısa devredir

   v_C(0⁻) ve i_L(0⁻) değerlerini bul

   2) Süreklilikle 0+ değerlerini taşı

   3) Yeni t=0+ devresini çöz

   dv_C/dt=i_C/C ve di_L/dt=v_L/L

   Sesli anlatım metni

   İşte switch devrelerini analiz etmek için üç adımlı yöntem. Adım bir: t sıfırdan küçük için devreyi çözün. Di Si kararlı durumunu bulun. Di Si kararlı durumda kapasitörler açık devre, indüktörler kısa devredir. Bu size V alt C sıfır eksi ve I alt L sıfır eksi değerlerini verir. Adım iki: Süreklilik kurallarını uygulayın. V alt C sıfır artı eşittir V alt C sıfır eksi. I alt L sıfır artı eşittir I alt L sıfır eksi. Adım üç: t eşittir sıfır artıdaki YENİ devreyi analiz edin. dV bölü dt sıfır artı eşittir I sıfır artı bölü C, ve dI bölü dt sıfır artı eşittir V sıfır artı bölü L hesaplayın. Bu üç adımlı yöntem tüm geçici analizin temelidir.

7. 7. RC anahtarlama örneği

   

   $\displaystyle V_{s}=12 V, R=4 k\Omega , C=2 µF$

   Anahtar t=0'da kapanır; önceden yüksüz

   $\displaystyle v_{C}\left(0⁻\right)=v_{C}\left(0⁺\right)=0 V$

   t=0+ anında tüm 12 V dirençtedir

   $\displaystyle i\left(0⁺\right)=\frac{12}{4000}$

   i(0⁺)=3 mA

   dv_C/dt(0⁺)=3 mA/2 µF=1500 V/s

   Sesli anlatım metni

   Yöntemimizi basit bir RC devresine uygulayalım. 12 volt kaynak, 4 kiloom direnç ve 2 mikrofarad kapasitör seri bağlı. Switch t eşittir sıfırda kapanıyor. Öncesinde akım akmıyor, dolayısıyla V alt C sıfır eksi eşittir sıfır. Adım iki: V alt C sıfır artı eşittir V alt C sıfır eksi eşittir sıfır volt. Adım üç: t eşittir sıfır artıda kapasitör gerilimi sıfır olduğundan, 12 voltun tamamı direncin üzerindedir. I sıfır artı eşittir 12 bölü 4000 eşittir 3 miliamper. Gerilim değişim hızı: dV bölü dt sıfır artı eşittir I bölü C eşittir 3 miliamper bölü 2 mikrofarad eşittir 1500 volt bölü saniye.

8. 8. RL anahtarlama örneği

   

   $\displaystyle V_{s}=24 V, R=8 \Omega , L=2 H$

   Anahtar uzun süre kapalı: L kısa devre

   $\displaystyle i_{L}\left(0⁻\right)=i_{L}\left(0⁺\right)=\frac{24}{8}=3 A$

   Kaynak ayrılınca akım direnç üzerinden sürer

   v_L(0⁺)=−iR=−24 V

   di_L/dt(0⁺)=v_L/L

   di_L/dt(0⁺)=−12 A/s

   Sesli anlatım metni

   Şimdi ters davranışlı bir RL devresi. 24 volt kaynak, 8 om direnç ve 2 henry indüktör. Switch uzun süredir kapalı, dolayısıyla indüktör kısa devredir. I alt L sıfır eksi eşittir 24 bölü 8 eşittir 3 amper. t eşittir sıfırda switch açılır, gerilim kaynağı devreden çıkar. Adım iki: I alt L sıfır artı eşittir I alt L sıfır eksi eşittir 3 amper — akım akmaya devam etmeli. Adım üç: sıfır artıda 3 amperlik akım dirençten geçerek gerilim düşümü oluşturur. V alt L sıfır artı eşittir eksi I çarpı R eşittir eksi 24 volt. dI bölü dt sıfır artı eşittir V alt L bölü L eşittir eksi 24 bölü 2 eşittir eksi 12 amper bölü saniye. Eksi işareti akımın azaldığını gösterir.

9. 9. Bağlantılar ve başlangıç koşulları özeti

   

   Geçici analize hazırlık

   Seri C ve paralel L: ters toplam

   Paralel C ve seri L: doğrudan toplam

   v_C ve i_L anahtarlamada süreklidir

   Önce 0⁻ DC kararlı hâli çöz

   Sonra sürekliliği uygula ve 0+ devresini çöz

   Doğru başlangıç koşulu tam geçici cevabın temelidir

   Sesli anlatım metni

   Bu dersten dört önemli sonuç. Birinci: seri kapasitörler ters toplam, paralel kapasitörler doğrudan toplam — dirençlerin tersi. İkinci: kapasitör gerilim bölmesi TERS orantılıdır — küçük kapasitör daha fazla gerilim alır. Üçüncü: süreklilik kuralları — kapasitör gerilimi ve indüktör akımı t eşittir sıfırda sıçrama yapamaz. Dördüncü: üç adımlı switch analiz yöntemi — Di Si kararlı durum bul, sürekliliği uygula, yeni devreyi analiz et. Bir sonraki derste RC doğal cevabı çözeceğiz — ilk tam geçici çözümümüz.