#37 Enerji Depolama Elemanları #37 — Kapasitör ve indüktör temelleri

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Kapasitörün yapısı

   

   Kapasitör: elektrik alanında enerji depolar

   İki iletken plaka + dielektrik

   q=Cv

   $\displaystyle C=\frac{q}{v}$

   Birim: farad (F)

   Pratik değerler: µF, nF, pF

   C, belirli gerilimde depolanan yükü ölçer

   Sesli anlatım metni

   Şimdiye kadar sadece dirençler ve op-amp'larla çalıştık. Ancak gerçek devrelerde enerji depolayabilen elemanlara da ihtiyaç vardır. Bunlardan ilki kapasitördür. Kapasitör, dielektrik adı verilen yalıtkan bir malzemeyle ayrılmış iki iletken plakadan oluşur. Depolanan yük, gerilimle orantılıdır: q eşittir C çarpı V. Burada C, Farad cinsinden ölçülen kapasitanstır. Tipik değerler pikofaraddan mikrofarada kadar uzanır — bir Faratlık kapasitör devasa bir elemandır.

2. 2. Kapasitör akım-gerilim bağıntısı

   

   q=Cv bağıntısını zamana göre türet

   dq/dt=i

   i=C·dv/dt

   Sabit gerilim ⇒ dv/dt=0 ⇒ i=0

   $\displaystyle v\left(t\right)=v\left(t_{0}\right)+\left(\frac{1}{C}\right)\int i\left(\tau \right)\mathrm{d}\tau$

   Akım, kapasitör gerilimini zamanla biriktirir

   Pasif işaret sözleşmesi kullanılır

   Sesli anlatım metni

   Gerilim-akım ilişkisini türetelim. q eşittir C V ifadesinin her iki tarafının zamana göre türevini alalım. d q bölü d t akım olduğundan, temel denklemi elde ederiz: i eşittir C çarpı d V bölü d t. Bu bize çok önemli bir şey söylüyor: kapasitörden akım ancak gerilim değişirken akar. Gerilim sabitse, akım sıfırdır. Ters ilişki ise şöyledir: gerilim, başlangıç gerilimine artı 1 bölü C çarpı akımın integraline eşittir. Bu da kapasitör geriliminin, akım aktıkça zamanla biriktiği anlamına gelir.

3. 3. Kapasitörde enerji

   

   Kapasitörde güç ve enerji

   p=vi=vC·dv/dt

   w=∫pdt=C∫v·dv

   w_C=½Cv²

   $\displaystyle C=10 µF, v=5 V$

   $\displaystyle w=½\left(10\times 10^{-6}\right)\left(25\right)$

   $\displaystyle w=125 µJ$

   Sesli anlatım metni

   Şimdi depolanan enerjiyi bulalım. Kapasitörün absorbe ettiği güç, P eşittir V çarpı i'dir. Bu da V çarpı C çarpı d V bölü d t'ye eşittir. Gücü zamana göre integre edersek enerjiyi buluruz: W eşittir yarım C V kare. Enerjinin sadece gerilime bağlı olduğuna dikkat edin, oraya nasıl ulaştığımıza değil. Kapasitörler kayıpsız enerji depolama elemanlarıdır — enerjiyi plakalar arasındaki elektrik alanında depolarlar. Hızlı bir örnek: 10 mikro Faratlık kapasitör 5 volta şarj edildiğinde, yarım çarpı 10 mikro çarpı 25, yani 125 mikrojoule enerji depolar.

4. 4. DC davranışı ve süreklilik

   

   DC kararlı hâlde kapasitör

   dv/dt=0 ⇒ i=0

   İdeal kapasitör açık devredir

   Gerilim ani sıçrayamaz

   $\displaystyle v_{C}\left(0^{-}\right)=v_{C}\left(0^{+}\right)$

   Ani sıçrama sonsuz akım gerektirirdi

   Bu süreklilik anahtarlama analizinin temelidir

   Sesli anlatım metni

   Kapasitörler için iki kritik kural. Birincisi: D C kararlı durumda, d V bölü d t sıfırdır, dolayısıyla akım sıfırdır. Bu, kapasitörün D C'de açık devre gibi davrandığı anlamına gelir. İkinci ve en önemli kural: kapasitör gerilimi anlık olarak değişemez. Sıfır eksi anındaki gerilim, sıfır artı anındaki gerilime eşittir. Bu süreklilik koşuludur ve anahtarlamalı devreleri analiz ederken hayati öneme sahip olacaktır. Fiziksel olarak, gerilimi anında değiştirmek sonsuz akım gerektirir ki bu imkansızdır.

5. 5. İndüktörün yapısı

   

   İndüktör: manyetik alanda enerji depolar

   Temel yapı: iletken tel bobini

   Akı bağlanımı φ=Li

   L: endüktans

   Birim: henry (H)

   Pratik değerler: mH ve µH

   İdeal DC kararlı hâlde kısa devre

   Sesli anlatım metni

   İkinci enerji depolama elemanı indüktördür. İndüktör, enerjisini manyetik alanında depolayan bir tel bobindir. Manyetik akı bağlaşımı, akımla orantılıdır: fi eşittir L çarpı I. Burada L, Henry cinsinden ölçülen indüktanstır. Tipik değerler mikro Henry'den mili Henry'ye kadar uzanır. Empedansı frekansla artar: X L eşittir 2 pi f L. D C'de empedans sıfırdır, yani indüktör kısa devre gibi davranır.

6. 6. İndüktör bağıntıları ve enerji

   

   Faraday yasası ve φ=Li

   v=dφ/dt=L·di/dt

   Sabit akım ⇒ di/dt=0 ⇒ v=0

   $\displaystyle i\left(t\right)=i\left(t_{0}\right)+\left(\frac{1}{L}\right)\int v\left(\tau \right)\mathrm{d}\tau$

   w_L=½Li²

   $\displaystyle L=0.1 H, i=2 A$

   $\displaystyle w=½\left(0.1\right)\left(2²\right)=0.2 J$

   Sesli anlatım metni

   Faraday'ın elektromanyetik indüksiyon yasasına göre, indüktör üzerindeki gerilim, akının değişim hızına eşittir. fi eşittir L I olduğundan: V eşittir L çarpı d I bölü d t elde ederiz. Bu, kapasitör denkleminin ayna görüntüsüdür. İndüktör üzerinde gerilim ancak akım değişirken oluşur. Akım sabitse gerilim sıfırdır. Ters ilişki: akım, başlangıç akımı artı 1 bölü L çarpı gerilimin integraline eşittir. İndüktördeki akım, gerilim uygulandıkça birikir. Enerji için, güç P eşittir V çarpı I'dır, bu da L çarpı I çarpı d I bölü d t verir. İntegre edersek: W eşittir yarım L I kare. Enerji sadece akıma bağlıdır, oraya nasıl ulaştığımıza değil. İndüktörler enerjiyi bobinin etrafındaki manyetik alanda depolarlar. Örnek: 0.1 Henry'lik bir indüktörden 2 amper akarken, yarım çarpı 0.1 çarpı 4, yani 0.2 joule veya 200 mili joule enerji depolar.

7. 7. Kapasitör–indüktör dualitesi

   

   Kapasitör ve indüktör birbirinin dualidir

   v ↔ i

   C ↔ L

   i=C·dv/dt ↔ v=L·di/dt

   ½Cv² ↔ ½Li²

   v_C süreklidir ↔ i_L süreklidir

   DC: kapasitör açık ↔ indüktör kısa

   Sesli anlatım metni

   Kapasitörler ve indüktörler birbirinin güzel dualleridir. Her kapasitör denkleminin bir ayna indüktör denklemi vardır. Gerilim ve akımı, C ve L'yi yer değiştirin, her formül kusursuzca dönüşür. Kapasitör enerjiyi elektrik alanında yarım C V kare olarak depolar. İndüktör enerjiyi manyetik alanda yarım L I kare olarak depolar. Kapasitör gerilimi süreklidir, sıçrayamaz. İndüktör akımı süreklidir, sıçrayamaz. D C'de kapasitör açık devre olurken indüktör kısa devre olur. Bu dual ilişkiler devre analizinde tekrar tekrar karşımıza çıkacaktır.

8. 8. Özet ve analiz kuralları

   

   Enerji depolama elemanları özeti

   Kapasitör gerilim değişimine karşı akım üretir

   İndüktör akım değişimine karşı gerilim üretir

   w_C=½Cv²

   w_L=½Li²

   Durum değişkenleri: v_C ve i_L

   Süreklilik + DC eşdeğeri geçici analizin başlangıcıdır

   Sesli anlatım metni

   Özetleyelim. Kapasitör i eşittir C d V bölü d t kuralına uyar ve enerjiyi yarım C V kare olarak depolar. İndüktör V eşittir L d I bölü d t kuralına uyar ve enerjiyi yarım L I kare olarak depolar. Kapasitör gerilimi ve indüktör akımı her zaman süreklidir, anlık olarak değişemezler. D C kararlı durumda kapasitörler açık devre, indüktörler kısa devredir. Bir sonraki derste, bu devreleri analiz etmek için kullanacağımız birim basamak, rampa ve darbe gibi tipik dalga biçimlerini inceleyeceğiz.