Elektromanyetik Teori · Kartezyen Koordinat Sistemi

#02 Birim vektörler, konum vektörü ve diferansiyel çizgi, yüzey, hacim elemanları

Kartezyen eksenleri ve elektromanyetik alan integrallerinin temelindeki dl, dS ve dV elemanlarını adım adım kur.

Soru

Kartezyen koordinatlarda x, y, z eksenleri ile birim vektörler ve diferansiyel çizgi, yüzey, hacim elemanlarını gösteren ders karesi. — Kartezyen sistemde dl vektörel bir yer değiştirme, dS yönlü bir alan, dV ise skaler bir hacim elemanıdır.

Kartezyen koordinat sisteminde birim vektörleri ve sağ el kuralını açıklayın; konum vektörünü, diferansiyel çizgi elemanını dl, yönlü yüzey elemanını dS ve hacim elemanını dV yazın.

Yazılı çözüm ve anlatım dökümü(çözümün tamamını gösterir)

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. Dersin yapı taşlarını sırala
Kartezyen sistemde dl vektörel bir yer değiştirme, dS yönlü bir alan, dV ise skaler bir hacim elemanıdır.
Bir önceki derste elektromanyetik teoriye giriş yapmıştık, skaler ve vektör alanları ayırt etmiştik ve kullanacağımız üç koordinat sistemini önizlemiştik.
Şimdi birincisine bakalım: Kartezyen koordinat sistemi.
Eksenleri, birim vektörleri ve EM teoride her yerde karşımıza çıkan üç diferansiyel elemanı tanımlayacağız: çizgi, yüzey ve hacim.
Sesli anlatım metni
Bir önceki derste elektromanyetik teoriye giriş yapmıştık, skaler ve vektör alanları ayırt etmiştik ve kullanacağımız üç koordinat sistemini önizlemiştik. Şimdi birincisine bakalım: Kartezyen koordinat sistemi. Eksenleri, birim vektörleri ve EM teoride her yerde karşımıza çıkan üç diferansiyel elemanı tanımlayacağız: çizgi, yüzey ve hacim.
2. Eksenleri ve birim vektörleri kur
Kartezyen sistemde dl vektörel bir yer değiştirme, dS yönlü bir alan, dV ise skaler bir hacim elemanıdır.
Kartezyen koordinat sistemi birbirine dik üç eksenden oluşur: x, y ve z.
Uzaydaki herhangi bir noktada üç birim vektör tanımlarız: x yönünde eₓ, y yönünde eᵧ ve z yönünde e_z.
Her birinin büyüklüğü tam olarak birdir.
Bu birim vektörler ortogonaldir, yani herhangi iki farklı birim vektörün nokta çarpımı sıfırdır.
Ve sağ el kuralına uyarlar: eₓ × eᵧ, e_z verir; eᵧ × e_z, eₓ verir; e_z × eₓ, eᵧ verir.
Bu dairesel ilişki temeldir.
Sesli anlatım metni
Kartezyen koordinat sistemi birbirine dik üç eksenden oluşur: iks, ye ve zet. Uzaydaki herhangi bir noktada üç birim vektör tanımlarız: iks yönünde e iks, ye yönünde e ye ve zet yönünde e zet. Her birinin büyüklüğü tam olarak birdir. Bu birim vektörler ortogonaldir, yani herhangi iki farklı birim vektörün nokta çarpımı sıfırdır. Ve sağ el kuralına uyarlar: e iks çarpı e ye, e zet verir; e ye çarpı e zet, e iks verir; e zet çarpı e iks, e ye verir. Bu dairesel ilişki temeldir.
3. Konum vektörünü yaz
Kartezyen sistemde dl vektörel bir yer değiştirme, dS yönlü bir alan, dV ise skaler bir hacim elemanıdır.
Uzaydaki herhangi bir P noktası üç koordinatla belirlenir: x₀, y₀ ve z₀.
Konum vektörü r, orijinden P noktasına işaret eder ve şu şekilde yazılır:
$\displaystyle r = x₀ \times eₓ, + y₀ \times eᵧ, + z₀ \times e_{z}.$
Örneğin, üç, iki, dört noktasındaki P'nin konum vektörü: r = üç eₓ + iki eᵧ + dört e_z.
r'nin büyüklüğü bize orijinden uzaklığı verir: x kare + y kare + z karenin karekökü.
Sesli anlatım metni
Uzaydaki herhangi bir P noktası üç koordinatla belirlenir: iks sıfır, ye sıfır ve zet sıfır. Konum vektörü r, orijinden P noktasına işaret eder ve şu şekilde yazılır: r eşittir iks sıfır çarpı e iks, artı ye sıfır çarpı e ye, artı zet sıfır çarpı e zet. Örneğin, üç, iki, dört noktasındaki P'nin konum vektörü: r eşittir üç e iks artı iki e ye artı dört e zet. r'nin büyüklüğü bize orijinden uzaklığı verir: iks kare artı ye kare artı zet karenin karekökü.
4. Diferansiyel çizgi elemanını oluştur
Kartezyen sistemde dl vektörel bir yer değiştirme, dS yönlü bir alan, dV ise skaler bir hacim elemanıdır.
Diferansiyel çizgi elemanı dl, uzaydaki sonsuz küçük bir yer değiştirmeyi temsil eder.
Kartezyen koordinatlarda şu şekilde yazılır: dl = dx eₓ + dy eᵧ + dz e_z.
Sadece x ekseni boyunca hareket ettiğimizde dl, dx eₓ'e sadeleşir.
y ekseni boyunca dy eᵧ, z ekseni boyunca dz e_z olur.
dl'nin büyüklüğü dx kare + dy kare + dz karenin kareköküdür.
dl'yi alanların çizgi integrallerini hesaplarken yoğun olarak kullanacağız.
Sesli anlatım metni
Diferansiyel çizgi elemanı dl, uzaydaki sonsuz küçük bir yer değiştirmeyi temsil eder. Kartezyen koordinatlarda şu şekilde yazılır: dl eşittir de iks e iks artı de ye e ye artı de zet e zet. Sadece iks ekseni boyunca hareket ettiğimizde dl, de iks e iks'e sadeleşir. Ye ekseni boyunca de ye e ye, zet ekseni boyunca de zet e zet olur. dl'nin büyüklüğü de iks kare artı de ye kare artı de zet karenin kareköküdür. dl'yi alanların çizgi integrallerini hesaplarken yoğun olarak kullanacağız.
5. Yönlü yüzey elemanlarını belirle
Kartezyen sistemde dl vektörel bir yer değiştirme, dS yönlü bir alan, dV ise skaler bir hacim elemanıdır.
Diferansiyel yüzey elemanı dS, sonsuz küçük bir alan parçasını temsil eder ve yönü dış normal ile belirlenir.
xy düzleminde normal z yönünü gösterir, dolayısıyla dS = dx dy e_z.
xz düzleminde normal y yönündedir: dS = dx dz eᵧ.
yz düzleminde normal x yönündedir: dS = dy dz eₓ.
İşareti hatırlamak için sağ el kuralını kullanın: parmaklarınızı birinci eksenden ikinciye doğru kıvırın, baş parmağınız normalin yönünü gösterir.
Sesli anlatım metni
Diferansiyel yüzey elemanı de es, sonsuz küçük bir alan parçasını temsil eder ve yönü dış normal ile belirlenir. iks ye düzleminde normal zet yönünü gösterir, dolayısıyla de es eşittir de iks de ye e zet. iks zet düzleminde normal ye yönündedir: de es eşittir de iks de zet e ye. ye zet düzleminde normal iks yönündedir: de es eşittir de ye de zet e iks. İşareti hatırlamak için sağ el kuralını kullanın: parmaklarınızı birinci eksenden ikinciye doğru kıvırın, baş parmağınız normalin yönünü gösterir.
6. Diferansiyel hacim elemanını yaz
Kartezyen sistemde dl vektörel bir yer değiştirme, dS yönlü bir alan, dV ise skaler bir hacim elemanıdır.
Diferansiyel hacim elemanı üçünün en basit olanıdır.
Skaler bir büyüklüktür: dV = dx × dy × dz.
Bu, sonsuz küçük bir dikdörtgenler prizmasının hacmini temsil eder.
dl ve dS'in aksine, hacim elemanının yönü yoktur.
Bir skaler alanı hacim üzerinden integre ederken kullanırız, örneğin yük yoğunluğundan toplam yükü hesaplarken.
Sesli anlatım metni
Diferansiyel hacim elemanı üçünün en basit olanıdır. Skaler bir büyüklüktür: de ve eşittir de iks çarpı de ye çarpı de zet. Bu, sonsuz küçük bir dikdörtgenler prizmasının hacmini temsil eder. dl ve de es'in aksine, hacim elemanının yönü yoktur. Bir skaler alanı hacim üzerinden integre ederken kullanırız, örneğin yük yoğunluğundan toplam yükü hesaplarken.
7. Kartezyen elemanları özetle
Kartezyen sistemde dl vektörel bir yer değiştirme, dS yönlü bir alan, dV ise skaler bir hacim elemanıdır.
Özetleyelim.
Kartezyen koordinat sisteminde konum vektörü r = x eₓ + y eᵧ + z e_z.
Çizgi elemanı dl = dx eₓ + dy eᵧ + dz e_z.
Yüzey elemanı dS, hangi düzlemde olduğumuza bağlı olarak değişir ve sağ el kuralı işaretini belirler.
Hacim elemanı basitçe dV = dx dy dz.
Bir sonraki derste silindirik koordinatlara geçiyoruz, burada geometri dairesel hale geliyor.
Sesli anlatım metni
Özetleyelim. Kartezyen koordinat sisteminde konum vektörü r eşittir iks e iks artı ye e ye artı zet e zet. Çizgi elemanı dl eşittir de iks e iks artı de ye e ye artı de zet e zet. Yüzey elemanı de es, hangi düzlemde olduğumuza bağlı olarak değişir ve sağ el kuralı işaretini belirler. Hacim elemanı basitçe de ve eşittir de iks de ye de zet. Bir sonraki derste silindirik koordinatlara geçiyoruz, burada geometri dairesel hale geliyor.