النظرية الكهرومغناطيسية · كثافة الفيض الكهربائي وقانون غاوس

#10 كثافة الفيض الكهربائي D وصيغتا قانون غاوس والتوزيعات ذات التناظر الكروي والأسطواني والمستوي

ابن كثافة الفيض، واستنتج قانون غاوس، وحوّل التكاملات الطويلة إلى جبر قصير باستعمال التناظر.

السؤال

لقطة درس تعرض كثافة الفيض الكهربائي والأسطح الغاوسية وتوزيعات الشحنة المتناظرة. — مع اختيار سطح غاوسي مناسب يكون D ثابتا أو مماسيا للسطح، فيتبسط تكامل الفيض.

عرّف كثافة الفيض الكهربائي D، واربط بين صيغتي قانون غاوس التكاملية والتفاضلية، واحسب المجالات في التناظر الكروي والأسطواني والمستوي باستعمال أسطح غاوسية مناسبة.

الحل المكتوب ونص الشرح(يعرض الحل كاملًا)

تجد أدناه جميع الأسطر المكتوبة في الدفتر مع النص الكامل للشرح الصوتي.

1. انتقل من تكاملات الشحنة المستمرة إلى غاوس
مع اختيار سطح غاوسي مناسب يكون D ثابتا أو مماسيا للسطح، فيتبسط تكامل الفيض.
في الدرس السابق حسبنا المجال الكهربائي من توزيعات شحنة مستمرة: خط لا نهائي، وصفيحة لا نهائية، وحلقة مشحونة.
كانت الطريقة صحيحة، لكنها احتاجت إلى تكاملات طويلة.
اليوم نأخذ أداة تختصر الطريق عندما توجد تناظرات واضحة: كثافة الفيض الكهربائي D، ثم قانون غاوس.
الفكرة ليست أن نحفظ قانونا جديدا فقط، بل أن نتعلم متى يصبح السطح المختار يجعل الحساب قصيرا جدا.
نص الشرح الصوتي
في الدرس السابق حسبنا المجال الكهربائي من توزيعات شحنة مستمرة: خط لا نهائي، وصفيحة لا نهائية، وحلقة مشحونة. كانت الطريقة صحيحة، لكنها احتاجت إلى تكاملات طويلة. اليوم نأخذ أداة تختصر الطريق عندما توجد تناظرات واضحة: كثافة الفيض الكهربائي D، ثم قانون غاوس. الفكرة ليست أن نحفظ قانونا جديدا فقط، بل أن نتعلم متى يصبح السطح المختار يجعل الحساب قصيرا جدا.
2. عرّف كثافة الفيض الكهربائي D
مع اختيار سطح غاوسي مناسب يكون D ثابتا أو مماسيا للسطح، فيتبسط تكامل الفيض.
نبدأ بتعريف المتجه D.
في الفراغ، كثافة الفيض الكهربائي D تساوي ε₀ مضروبة في المجال الكهربائي E.
إذن D = ε₀E.
وحدته كولوم لكل متر مربع، وهي نفس وحدة كثافة الشحنة السطحية.
هذا التشابه في الوحدة ليس صدفة؛ لأن D سيقيس مقدار الفيض الخارج من سطح.
الفيض الكهربائي عبر S: ψ = ∫ₛD·dS.
انتبه للفكرة العملية: عندما نحسب E في الفراغ، نستطيع ضربه في ε₀ لنحصل على D.
للشحنة النقطية D = [Q/(4πr²)]e_r.
للخط اللانهائي D = [ρ_L/(2πρ)]e_ρ.
للصفيحة اللانهائية D = (ρ_S/2)e_n.
أي أن D يربط الشحنة والهندسة مباشرة، وهذا ما سيجعل قانون غاوس قويا.
نص الشرح الصوتي
نبدأ بتعريف المتجه D. في الفراغ، كثافة الفيض الكهربائي D تساوي epsilon zero مضروبة في المجال الكهربائي E. إذن D يساوي epsilon zero E. وحدته كولوم لكل متر مربع، وهي نفس وحدة كثافة الشحنة السطحية. هذا التشابه في الوحدة ليس صدفة؛ لأن D سيقيس مقدار الفيض الخارج من سطح. الفيض الكهربائي psi عبر سطح S يساوي تكامل D dot d S على ذلك السطح. انتبه للفكرة العملية: عندما نحسب E في الفراغ، نستطيع ضربه في epsilon zero لنحصل على D. لذلك، للشحنة النقطية يصبح D يساوي Q على أربعة pi r تربيع في الاتجاه الشعاعي. وللخط اللانهائي يصبح D يساوي rho L على اثنين pi rho. وللصفيحة اللانهائية يصبح D يساوي rho S على اثنين. أي أن D يربط الشحنة والهندسة مباشرة، وهذا ما سيجعل قانون غاوس قويا.
3. ابن صيغتي قانون غاوس
مع اختيار سطح غاوسي مناسب يكون D ثابتا أو مماسيا للسطح، فيتبسط تكامل الفيض.
قانون غاوس يقول إن الفيض الكهربائي الكلي الخارج من أي سطح مغلق يساوي الشحنة الكلية الموجودة داخل ذلك السطح.
الصيغة التكاملية: ∮ₛD·dS = Q_enclosed.
كلمة مغلق مهمة جدا: السطح يجب أن يحيط بحجم، مثل كرة أو أسطوانة أو علبة صغيرة.
إذا طبقنا مبرهنة التباعد، يتحول التكامل السطحي إلى تكامل حجمي لـ ∇·D.
الشحنة داخل الحجم: Q_enclosed = ∫ᵥρ_v dv.
وبما أن هذا صحيح لأي حجم نختاره، فلا بد أن يكون integrand الأول مساويا للثاني.
الصيغة التفاضلية:
$\displaystyle ∇\cdot D = \rho _{v}.$
هذه هي معادلة ماكسويل الأولى في الكهروستاتيكا.
وهي تخبرنا أن خطوط الفيض تخرج من الشحنات الموجبة وتدخل إلى الشحنات السالبة.
نص الشرح الصوتي
قانون غاوس يقول إن الفيض الكهربائي الكلي الخارج من أي سطح مغلق يساوي الشحنة الكلية الموجودة داخل ذلك السطح. بصيغة التكامل: التكامل السطحي المغلق لـ D dot d S يساوي Q enclosed. كلمة مغلق مهمة جدا: السطح يجب أن يحيط بحجم، مثل كرة أو أسطوانة أو علبة صغيرة. إذا طبقنا مبرهنة التباعد، يتحول التكامل السطحي إلى تكامل حجمي لـ divergence of D. والشحنة داخل الحجم تساوي تكامل rho v على الحجم. وبما أن هذا صحيح لأي حجم نختاره، فلا بد أن يكون integrand الأول مساويا للثاني. فنحصل على الصيغة التفاضلية: divergence of D يساوي rho v. هذه هي معادلة ماكسويل الأولى في الكهروستاتيكا. وهي تخبرنا أن خطوط الفيض تخرج من الشحنات الموجبة وتدخل إلى الشحنات السالبة.
4. طبّق غاوس على شحنة نقطية وخطية
مع اختيار سطح غاوسي مناسب يكون D ثابتا أو مماسيا للسطح، فيتبسط تكامل الفيض.
لنر كيف يتحول القانون إلى حساب سريع.
لشحنة نقطية Q عند الأصل، نختار سطح غاوسي كرويا نصف قطره r.
بسبب التناظر الكروي، D شعاعي وله نفس المقدار في كل نقطة على الكرة.
فيض الكرة: ∮D·dS = D_r(4πr²).
$\displaystyle D_{r}\left(4\pi r²\right) = Q \Rightarrow D = \left[\frac{Q}{4\pi r²}\right]e_{r}.$
الآن خذ خط شحنة لا نهائي على محور z بكثافة ρ_L.
نختار أسطوانة نصف قطرها ρ وطولها L.
على السطح الجانبي للأسطوانة، D عمودي وثابت.
وعلى الغطاءين العلوي والسفلي، D مماسي، لذلك لا يعطي فيضا.
فيض السطح الجانبي: D_ρ(2πρ L).
الشحنة المحاطة: Q_enclosed = ρ_L L.
بعد اختصار L:
$\displaystyle D = \left[\frac{\rho _{L}}{2\pi \rho }\right]e_{\rho }.$
نص الشرح الصوتي
لنر كيف يتحول القانون إلى حساب سريع. لشحنة نقطية Q عند الأصل، نختار سطح غاوسي كرويا نصف قطره r. بسبب التناظر الكروي، D شعاعي وله نفس المقدار في كل نقطة على الكرة. إذن D dot d S يصبح D مضروبا في مساحة الكرة، أي أربعة pi r تربيع. نساوي ذلك بالشحنة المحاطة Q، فنحصل مباشرة على D يساوي Q على أربعة pi r تربيع في اتجاه a r. الآن خذ خط شحنة لا نهائي على محور z بكثافة rho L. نختار أسطوانة نصف قطرها rho وطولها L. على السطح الجانبي للأسطوانة، D عمودي وثابت. وعلى الغطاءين العلوي والسفلي، D مماسي، لذلك لا يعطي فيضا. الفيض إذن هو D مضروبا في اثنين pi rho L. والشحنة المحاطة هي rho L مضروبة في L. نلغي الطول L من الطرفين، فنجد D يساوي rho L على اثنين pi rho في اتجاه a rho.
5. حل الصفيحة والكرة المشحونة بانتظام
مع اختيار سطح غاوسي مناسب يكون D ثابتا أو مماسيا للسطح، فيتبسط تكامل الفيض.
للصفيحة اللانهائية ذات كثافة الشحنة ρ_S، نختار علبة رفيعة تعبر الصفيحة، تسمى pillbox.
الفيض يخرج من الوجه العلوي والوجه السفلي فقط.
لمساحة وجه A يكون الفيض الكلي 2D A.
الشحنة المحاطة Q_enclosed = ρ_S A.
بالقسمة على A:
$\displaystyle D = \left(\frac{\rho _{S}}{2}\right)e_{n}.$
أما الكرة المشحونة بانتظام، فنحتاج حالتين.
داخل الكرة، عندما r أصغر من نصف القطر a، الشحنة المحاطة تكبر مثل r تكعيب، بينما مساحة السطح الغاوسي تكبر مثل r تربيع.
لذلك D داخل الكرة يكبر خطيا مع r.
خارج الكرة، عندما r أكبر من a، الشحنة المحاطة هي الشحنة الكلية كلها، فتتصرف الكرة كما لو أن كل شحنتها مركزة في المركز.
هذا فحص مهم: بعيدا عن الكرة، يجب أن تبدو مثل شحنة نقطية.
نص الشرح الصوتي
للصفيحة اللانهائية ذات كثافة الشحنة rho S، نختار علبة رفيعة تعبر الصفيحة، تسمى pillbox. الفيض يخرج من الوجه العلوي والوجه السفلي فقط. إذا كانت مساحة كل وجه A، فالفيض الكلي يساوي اثنين D A. والشحنة المحاطة تساوي rho S A. بالقسمة على A نحصل على D يساوي rho S على اثنين، في الاتجاه العمودي على الصفيحة. أما الكرة المشحونة بانتظام، فنحتاج حالتين. داخل الكرة، عندما r أصغر من نصف القطر a، الشحنة المحاطة تكبر مثل r تكعيب، بينما مساحة السطح الغاوسي تكبر مثل r تربيع. لذلك D داخل الكرة يكبر خطيا مع r. خارج الكرة، عندما r أكبر من a، الشحنة المحاطة هي الشحنة الكلية كلها، فتتصرف الكرة كما لو أن كل شحنتها مركزة في المركز. هذا فحص مهم: بعيدا عن الكرة، يجب أن تبدو مثل شحنة نقطية.
6. راجع التناظر وصلته بمعادلات ماكسويل
مع اختيار سطح غاوسي مناسب يكون D ثابتا أو مماسيا للسطح، فيتبسط تكامل الفيض.
الخلاصة: D = ε₀E في الفراغ، ووحدته C/m².
قانون غاوس تكامليا: ∮ₛD·dS = Q_enclosed.
وصيغته التفاضلية ∇·D = ρ_v، وهي معادلة ماكسويل الأولى.
عندما يوجد تناظر كروي أو أسطواني أو مستو، نختار سطحا غاوسيا مناسبا، فيتحول التكامل الطويل إلى سطر أو سطرين من الجبر.
في الدرس القادم ننتقل إلى الجهد الكهربائي V، ونرى كيف يربط الطاقة بالمجال الكهربائي.
نص الشرح الصوتي
الخلاصة: D يساوي epsilon zero E في الفراغ، ووحدته كولوم لكل متر مربع. قانون غاوس بصيغته التكاملية يقول إن التكامل المغلق لـ D dot d S يساوي الشحنة المحاطة. وصيغته التفاضلية هي divergence of D يساوي rho v، وهي معادلة ماكسويل الأولى. عندما يوجد تناظر كروي أو أسطواني أو مستو، نختار سطحا غاوسيا مناسبا، فيتحول التكامل الطويل إلى سطر أو سطرين من الجبر. في الدرس القادم ننتقل إلى الجهد الكهربائي V، ونرى كيف يربط الطاقة بالمجال الكهربائي.