Kontrol Teorisi · Kök Yer Eğrisi Temelleri

#23 K≥0 kök yer eğrisi, 1+KL(s)=0 karakteristik denklemi, gerçek eksen kuralı, asimptotlar, ayrılma adayları, kazanç seçimi ve Routh-Hurwitz kararlılık sınırı

Kök yer eğrisini kapsam koşullarıyla kurun; ayrılma adaylarını ve kararlılık kazanç aralığını cebirsel olarak doğrulayın.

Soru

Kök yer eğrisi dallarını, gerçek eksen kuralını, asimptotları, ayrılma noktalarını ve kararlılık sınırını gösteren ders karesi.
Standart K≥0 kök yer eğrisi kuralları tam sadeleştirilmiş uygun rasyonel çevrim transferine uygulanır; aday noktalar açı, büyüklük ve kararlılık koşullarıyla doğrulanır.

Gerçek katsayılı uygun rasyonel L(s) için K≥0 kök yer eğrisini kurun. Açık-çevrim kutup ve sıfırlarından dal başlangıç/bitişlerini, gerçek eksen bölümlerini, asimptot açılarını ve ağırlık merkezini bulun. dK/ds=0 ayrılma adaylarını eğri bölümü ve K≥0 koşuluyla doğrulayın. L(s)=1/[s(s+3)] ve L(s)=1/[s(s+1)(s+2)] örneklerini çözerek ikinci örnekte 0<K<6 kararlılık aralığını gösterin.

Yazılı çözüm ve anlatım dökümü(çözümün tamamını gösterir)

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

  1. 1. Kök yer eğrisinin amacını ve K≥0 kapsamını kur

    Kök yer eğrisi dallarını, gerçek eksen kuralını, asimptotları, ayrılma noktalarını ve kararlılık sınırını gösteren ders karesi.
    Standart K≥0 kök yer eğrisi kuralları tam sadeleştirilmiş uygun rasyonel çevrim transferine uygulanır; aday noktalar açı, büyüklük ve kararlılık koşullarıyla doğrulanır.
    Şimdiye kadar sabit bir sistem için kararlılık analizi yaptık.
    Ama pratikte ayarlanabilir kazanç K ile kontrolör tasarlarız.
    K değiştikçe kapalı çevrim kutupları s düzleminde hareket eder.
    Kök yer eğrisi, standart pozitif-kazanç halinde K≥0 değişirken 1+KL(s)=0 denkleminin kapalı-çevrim kutup konumlarını gösterir.
    Klasik kontrol tasarımının en güçlü araçlarından biridir.

    Sesli anlatım metni

    Şimdiye kadar sabit bir sistem için kararlılık analizi yaptık. Ama pratikte ayarlanabilir kazanç K ile kontrolör tasarlarız. K değiştikçe kapalı çevrim kutupları s düzleminde hareket eder. Kök yer eğrisi, K sıfırdan sonsuza değişirken tüm olası kapalı çevrim kutup konumlarının grafiğidir. Klasik kontrol tasarımının en güçlü araçlarından biridir.

  2. 2. Kapalı-çevrim karakteristik denklemini yaz

    Kök yer eğrisi dallarını, gerçek eksen kuralını, asimptotları, ayrılma noktalarını ve kararlılık sınırını gösteren ders karesi.
    Standart K≥0 kök yer eğrisi kuralları tam sadeleştirilmiş uygun rasyonel çevrim transferine uygulanır; aday noktalar açı, büyüklük ve kararlılık koşullarıyla doğrulanır.
    Birim geri beslemeli bir sistem düşünün.
    Açık çevrim transfer fonksiyonu K çarpı G s çarpı H s olsun.
    Kapalı çevrim karakteristik denklemi bir artı K çarpı G s çarpı H s eşittir sıfırdır.
    Bu denklemin kökleri kapalı çevrim kutuplarıdır.
    K değiştikçe bu kökler s düzleminde yollar çizer.
    Bu yollar kök yer eğrisidir.

    Sesli anlatım metni

    Birim geri beslemeli bir sistem düşünün. Açık çevrim transfer fonksiyonu K çarpı G s çarpı H s olsun. Kapalı çevrim karakteristik denklemi bir artı K çarpı G s çarpı H s eşittir sıfırdır. Bu denklemin kökleri kapalı çevrim kutuplarıdır. K değiştikçe bu kökler s düzleminde yollar çizer. Bu yollar kök yer eğrisidir.

  3. 3. Dalların başlangıç ve bitişlerini belirle

    Kök yer eğrisi dallarını, gerçek eksen kuralını, asimptotları, ayrılma noktalarını ve kararlılık sınırını gösteren ders karesi.
    Standart K≥0 kök yer eğrisi kuralları tam sadeleştirilmiş uygun rasyonel çevrim transferine uygulanır; aday noktalar açı, büyüklük ve kararlılık koşullarıyla doğrulanır.
    K'nın iki uç değerinde ne olduğunu düşünelim.
    Tam sadeleştirilmiş L(s)=N(s)/D(s) için karakteristik denklem D(s)+KN(s)=0'dır; K→0⁺ iken kökler açık-çevrim kutuplarından başlar.
    K→0⁺ sınırında dalların başlangıçları, çokluklarıyla açık-çevrim kutuplarıdır.
    Dallar burada başlar.
    K→∞ iken m dal sonlu açık-çevrim sıfırlarına yaklaşır; n>m ise kalan n−m dal sonsuzdaki sıfırlara gider.
    Dallar burada biter.
    Eğer kutup sayısı sıfır sayısından fazlaysa bazı dalların gidecek yeri kalmaz ve asimptot adı verilen doğrular boyunca sonsuza gider.
    Dal sayısı, çokluklarıyla açık-çevrim kutup sayısı n'dir.

    Sesli anlatım metni

    K'nın iki uç değerinde ne olduğunu düşünelim. K sıfır olduğunda kapalı çevrim denklemi sadece paydadaki G s H s olur. Dolayısıyla kapalı çevrim kutupları tam olarak açık çevrim kutuplarıdır. Dallar burada başlar. K çok büyüdüğünde, sonsuza yaklaştığında, kutuplar açık çevrim sıfırlarına doğru hareket eder. Dallar burada biter. Eğer kutup sayısı sıfır sayısından fazlaysa bazı dalların gidecek yeri kalmaz ve asimptot adı verilen doğrular boyunca sonsuza gider. Dal sayısı açık çevrim kutup sayısına eşittir.

  4. 4. Gerçek eksen kuralını çokluklarla uygula

    Kök yer eğrisi dallarını, gerçek eksen kuralını, asimptotları, ayrılma noktalarını ve kararlılık sınırını gösteren ders karesi.
    Standart K≥0 kök yer eğrisi kuralları tam sadeleştirilmiş uygun rasyonel çevrim transferine uygulanır; aday noktalar açı, büyüklük ve kararlılık koşullarıyla doğrulanır.
    Gerçek eksende hangi noktaların kök yer eğrisine ait olduğunu bulmak için şık bir kural var.
    Gerçek eksende bir test noktası seçin.
    Standart K≥0 eğrisinde test noktasının sağındaki gerçek açık-çevrim kutup ve sıfırlarını çokluklarıyla sayın.
    Bu sayı tek ise, bir veya üç gibi, test noktası eğri üzerindedir.
    Sayı çift ise, sıfır veya iki gibi, eğri üzerinde değildir.
    Bu neden işler?
    Karakteristik denklemin açı koşulundan gelir.
    Gerçek eksen üzerindeki testte sağdaki her gerçek kutup veya sıfır açı koşulunu 180° değiştirir; toplam açı (2ℓ+1)180° olmalıdır.
    Ayrıca kök yer eğrisi her zaman gerçek eksene göre simetriktir çünkü karmaşık kökler eşlenik çiftler halinde gelir.

    Sesli anlatım metni

    Gerçek eksende hangi noktaların kök yer eğrisine ait olduğunu bulmak için şık bir kural var. Gerçek eksende bir test noktası seçin. Şimdi o noktanın sağındaki gerçek kutup ve sıfır sayısını sayın. Bu sayı tek ise, bir veya üç gibi, test noktası eğri üzerindedir. Sayı çift ise, sıfır veya iki gibi, eğri üzerinde değildir. Bu neden işler? Karakteristik denklemin açı koşulundan gelir. Sağdaki her kutup veya sıfır yüz seksen derece katkı yapar ve toplam açının yüz seksenin tek katı olması gerekir. Ayrıca kök yer eğrisi her zaman gerçek eksene göre simetriktir çünkü karmaşık kökler eşlenik çiftler halinde gelir.

  5. 5. Asimptot açılarını ve ağırlık merkezini hesapla

    Kök yer eğrisi dallarını, gerçek eksen kuralını, asimptotları, ayrılma noktalarını ve kararlılık sınırını gösteren ders karesi.
    Standart K≥0 kök yer eğrisi kuralları tam sadeleştirilmiş uygun rasyonel çevrim transferine uygulanır; aday noktalar açı, büyüklük ve kararlılık koşullarıyla doğrulanır.
    Bazı dallar sonsuza gittiğinde doğrusal asimptotları takip ederler.
    Her parçayı açıklayayım.
    n kutup sayısı, m sıfır sayısıdır.
    Asimptot sayısı n eksi m'dir.
    Bu asimptotların açıları şu formülle bulunur: iki q artı bir çarpı yüz seksen derece, bölü n eksi m.
    K≥0 için q=0,1,…,n−m−1 alınır; böylece tam olarak n−m asimptot elde edilir.
    Örneğin n eksi m iki ise açılar q sıfır için doksan derece ve q bir için iki yüz yetmiş derecedir.
    Tüm asimptotlar ağırlık merkezi adı verilen tek bir noktadan yayılır.
    n>m için ağırlık merkezi σa=(Σpᵢ−Σzⱼ)/(n−m) olur; kökler cebirsel değerleri ve çokluklarıyla toplanır.

    Sesli anlatım metni

    Bazı dallar sonsuza gittiğinde doğrusal asimptotları takip ederler. Her parçayı açıklayayım. n kutup sayısı, m sıfır sayısıdır. Asimptot sayısı n eksi m'dir. Bu asimptotların açıları şu formülle bulunur: iki q artı bir çarpı yüz seksen derece, bölü n eksi m. Burada q sıfırdan başlar ve yukarı gider. Örneğin n eksi m iki ise açılar q sıfır için doksan derece ve q bir için iki yüz yetmiş derecedir. Tüm asimptotlar ağırlık merkezi adı verilen tek bir noktadan yayılır. Ağırlık merkezi tüm kutup konumlarının toplamı eksi tüm sıfır konumlarının toplamı bölü n eksi m olarak hesaplanır.

  6. 6. İki kutuplu örneğin kök yerini kur

    Kök yer eğrisi dallarını, gerçek eksen kuralını, asimptotları, ayrılma noktalarını ve kararlılık sınırını gösteren ders karesi.
    Standart K≥0 kök yer eğrisi kuralları tam sadeleştirilmiş uygun rasyonel çevrim transferine uygulanır; aday noktalar açı, büyüklük ve kararlılık koşullarıyla doğrulanır.
    Adım adım tam bir örnek üzerinden gidelim.
    Transfer fonksiyonumuz G s eşittir bir bölü s çarpı s artı üç.
    Adım bir: kutupları belirleyelim.
    Paydayı sıfıra eşitlersek s çarpı s artı üç eşittir sıfır, bize s eşittir sıfır ve s eşittir eksi üç kutuplarını verir.
    Sonlu sıfır yoktur.
    Adım iki: kaç dal var?
    İki kutup iki dal demektir.
    Adım üç: gerçek eksen bölümleri.
    Sıfır ile eksi üç arasında bir nokta test edelim, mesela eksi bir.
    Sağda sıfırdaki bir kutup var.
    Bir tek sayıdır, bu bölüm eğri üzerindedir.
    Eksi üçün solunda bir nokta test edelim, mesela eksi dört.
    Her iki kutup da sağda.
    İki çift sayıdır, bu bölüm eğri üzerinde değildir.
    Adım dört: asimptotlar.
    n eksi m eşittir iki eksi sıfır eşittir iki.
    Açılar doksan derece ve iki yüz yetmiş derece, yani düz yukarı ve düz aşağı.
    Ağırlık merkezi sıfır artı eksi üç bölü iki eşittir eksi bir buçuk.
    Dallar 0 ve −3'ten başlar, −1,5'te K=2,25 için birleşir; K>2,25 iken Re(s)=−1,5 doğrusu boyunca eşlenik çift olarak ayrılır.

    Sesli anlatım metni

    Adım adım tam bir örnek üzerinden gidelim. Transfer fonksiyonumuz G s eşittir bir bölü s çarpı s artı üç. Adım bir: kutupları belirleyelim. Paydayı sıfıra eşitlersek s çarpı s artı üç eşittir sıfır, bize s eşittir sıfır ve s eşittir eksi üç kutuplarını verir. Sonlu sıfır yoktur. Adım iki: kaç dal var? İki kutup iki dal demektir. Adım üç: gerçek eksen bölümleri. Sıfır ile eksi üç arasında bir nokta test edelim, mesela eksi bir. Sağda sıfırdaki bir kutup var. Bir tek sayıdır, bu bölüm eğri üzerindedir. Eksi üçün solunda bir nokta test edelim, mesela eksi dört. Her iki kutup da sağda. İki çift sayıdır, bu bölüm eğri üzerinde değildir. Adım dört: asimptotlar. n eksi m eşittir iki eksi sıfır eşittir iki. Açılar doksan derece ve iki yüz yetmiş derece, yani düz yukarı ve düz aşağı. Ağırlık merkezi sıfır artı eksi üç bölü iki eşittir eksi bir buçuk. İki dal kutuplardan başlar, gerçek eksen boyunca birbirine yaklaşır, eksi bir buçukta buluşur ve dikey olarak ayrılır, biri yukarı biri aşağı gider.

  7. 7. Ayrılma noktası adayını doğrula

    Kök yer eğrisi dallarını, gerçek eksen kuralını, asimptotları, ayrılma noktalarını ve kararlılık sınırını gösteren ders karesi.
    Standart K≥0 kök yer eğrisi kuralları tam sadeleştirilmiş uygun rasyonel çevrim transferine uygulanır; aday noktalar açı, büyüklük ve kararlılık koşullarıyla doğrulanır.
    Ayrılma noktası iki dalın gerçek eksende buluşup karmaşık eşlenik çift olarak ayrıldığı yerdir.
    Şöyle düşünün: K sıfırdan artarken her iki kutup birbirine doğru hareket eder.
    Bir noktada çarpışırlar ve artık gerçek eksende kalamayarak karmaşık düzleme geçerler.
    Gerçek eksendeki ayrılma/birleşme adayları dK/ds=0 ile bulunur; adayın eğri bölümünde olması ve K≥0 vermesi gerekir, genel durumda yerel maksimum olması şart değildir.
    Sıfır ve eksi üçteki kutuplarla örneğimiz için K eşittir eksi s çarpı s artı üç yazabiliriz, bu eksi s kare eksi üç s'dir.
    Türevini alıp sıfıra eşitlersek eksi iki s eksi üç eşittir sıfır, s eşittir eksi bir buçuk bulunur.
    Bu tam olarak iki kutup arasının orta noktasıdır ve ayrılma noktamızdır.

    Sesli anlatım metni

    Ayrılma noktası iki dalın gerçek eksende buluşup karmaşık eşlenik çift olarak ayrıldığı yerdir. Şöyle düşünün: K sıfırdan artarken her iki kutup birbirine doğru hareket eder. Bir noktada çarpışırlar ve artık gerçek eksende kalamayarak karmaşık düzleme geçerler. Bu çarpışma, kazanç K'nın gerçek eksen bölümünde maksimum değerine ulaştığı yerde olur. Sıfır ve eksi üçteki kutuplarla örneğimiz için K eşittir eksi s çarpı s artı üç yazabiliriz, bu eksi s kare eksi üç s'dir. Türevini alıp sıfıra eşitlersek eksi iki s eksi üç eşittir sıfır, s eşittir eksi bir buçuk bulunur. Bu tam olarak iki kutup arasının orta noktasıdır ve ayrılma noktamızdır.

  8. 8. Kök yer eğrisinden kazanç seç

    Kök yer eğrisi dallarını, gerçek eksen kuralını, asimptotları, ayrılma noktalarını ve kararlılık sınırını gösteren ders karesi.
    Standart K≥0 kök yer eğrisi kuralları tam sadeleştirilmiş uygun rasyonel çevrim transferine uygulanır; aday noktalar açı, büyüklük ve kararlılık koşullarıyla doğrulanır.
    Kök yer eğrisi sadece bir grafik değildir.
    Bir tasarım aracıdır.
    Kazanç K'yı seçerek kapalı çevrim kutuplarını istenen konumlara yerleştirebiliriz.
    Sanal-eksen kesişimi çoğunlukla marjinal kararlılık sınırıdır; normal tasarım hedefi olarak seçilmeden önce sağlamlık ve geçici cevap gereksinimleri değerlendirilir.
    Belirli bir sönüm oranı istiyorsak ilgili zeta doğrusunu çizer ve eğriyi kestiği noktayı buluruz.
    Açı koşulundan sonra büyüklük koşulu K=1/|L(s)| ile aday kazancı verir; seçilen K için bütün kapalı-çevrim kutupları ve performans doğrulanır.

    Sesli anlatım metni

    Kök yer eğrisi sadece bir grafik değildir. Bir tasarım aracıdır. Kazanç K'yı seçerek kapalı çevrim kutuplarını istenen konumlara yerleştirebiliriz. Örneğin kutupların sanal eksende olmasını istiyorsak eğrinin sanal ekseni kestiği K değerini buluruz. Belirli bir sönüm oranı istiyorsak ilgili zeta doğrusunu çizer ve eğriyi kestiği noktayı buluruz. O noktadaki kazanç tasarımımızı verir.

  9. 9. Üç kutuplu örneği ve geçerli ayrılmayı çöz

    Kök yer eğrisi dallarını, gerçek eksen kuralını, asimptotları, ayrılma noktalarını ve kararlılık sınırını gösteren ders karesi.
    Standart K≥0 kök yer eğrisi kuralları tam sadeleştirilmiş uygun rasyonel çevrim transferine uygulanır; aday noktalar açı, büyüklük ve kararlılık koşullarıyla doğrulanır.
    Şimdi üç kutuplu bir örnek deneyelim.
    G s eşittir bir bölü s çarpı s artı bir çarpı s artı iki.
    Kutuplar sıfır, eksi bir ve eksi iki.
    Sıfır yok.
    Üç dal.
    Gerçek eksen bölümleri: sıfır ile eksi bir arasında sağda bir kutup, tek, eğri üzerinde.
    Eksi bir ile eksi iki arasında sağda iki kutup, çift, eğri dışında.
    Eksi ikinin solunda sağda üç kutup, tek, eğri üzerinde.
    Asimptotlar: n eksi m eşittir üç.
    Açılar altmış, yüz seksen ve üç yüz derece.
    Ağırlık merkezi sıfır artı eksi bir artı eksi iki bölü üç eşittir eksi bir.
    Geçerli ayrılma adayı s=−1+1/√3≈−0,423'tür; s=−1−1/√3 adayı (−2,−1) eğri bölümü dışında kaldığı için elenir.
    K büyüdükçe bu dallar sanal ekseni geçerek sağ yarı düzleme girer.
    Bu olduğunda sistem kararsız hale gelir.
    Karakteristik polinom s³+3s²+2s+K için Routh-Hurwitz 0<K<6 verir; K=6'da kutuplar −3 ve ±j√2'dir.

    Sesli anlatım metni

    Şimdi üç kutuplu bir örnek deneyelim. G s eşittir bir bölü s çarpı s artı bir çarpı s artı iki. Kutuplar sıfır, eksi bir ve eksi iki. Sıfır yok. Üç dal. Gerçek eksen bölümleri: sıfır ile eksi bir arasında sağda bir kutup, tek, eğri üzerinde. Eksi bir ile eksi iki arasında sağda iki kutup, çift, eğri dışında. Eksi ikinin solunda sağda üç kutup, tek, eğri üzerinde. Asimptotlar: n eksi m eşittir üç. Açılar altmış, yüz seksen ve üç yüz derece. Ağırlık merkezi sıfır artı eksi bir artı eksi iki bölü üç eşittir eksi bir. İki dal sıfır ile eksi bir arasından ayrılıp karmaşık düzleme geçer. K büyüdükçe bu dallar sanal ekseni geçerek sağ yarı düzleme girer. Bu olduğunda sistem kararsız hale gelir. Yani kararlılık için maksimum bir K değeri vardır.

  10. 10. Kararlılık kazanç aralığını bul

    Kök yer eğrisi dallarını, gerçek eksen kuralını, asimptotları, ayrılma noktalarını ve kararlılık sınırını gösteren ders karesi.
    Standart K≥0 kök yer eğrisi kuralları tam sadeleştirilmiş uygun rasyonel çevrim transferine uygulanır; aday noktalar açı, büyüklük ve kararlılık koşullarıyla doğrulanır.
    Kök yer eğrisi ile kararlılık arasındaki bu bağlantı çok önemlidir.
    Kök yer eğrisi sanal-eksen kesişimi için aday sınırı gösterir; kesin K değeri s=jω veya Routh-Hurwitz hesabıyla bulunur.
    İncelenen kapalı-çevrim karakteristik denklemindeki herhangi bir dal sağ yarı düzleme geçtiğinde en az bir kutup pozitif gerçek kısma sahip olur ve sistem BIBO kararsızdır.
    O geçişteki K değeri kararlılık sınırıdır.
    Bunu önceki derslerde gördüğümüz Routh Hurwitz kriteriyle bulabiliriz.
    K'yı değişken olarak karakteristik polinoma yerleştiririz.

    Sesli anlatım metni

    Kök yer eğrisi ile kararlılık arasındaki bu bağlantı çok önemlidir. Kök yer eğrisi bize sistem kararsız hale gelmeden önce ne kadar kazanç kullanabileceğimizi tam olarak söyler. Herhangi bir dal sanal ekseni geçip sağ yarı düzleme girdiğinde en az bir kutup pozitif gerçek kısma sahip olur ve sistem kararsızdır. O geçişteki K değeri kararlılık sınırıdır. Bunu önceki derslerde gördüğümüz Routh Hurwitz kriteriyle bulabiliriz. K'yı değişken olarak karakteristik polinoma yerleştiririz.

  11. 11. Kök yer eğrisi prosedürünü toparla

    Kök yer eğrisi dallarını, gerçek eksen kuralını, asimptotları, ayrılma noktalarını ve kararlılık sınırını gösteren ders karesi.
    Standart K≥0 kök yer eğrisi kuralları tam sadeleştirilmiş uygun rasyonel çevrim transferine uygulanır; aday noktalar açı, büyüklük ve kararlılık koşullarıyla doğrulanır.
    Kök yer eğrisi kurallarını bir kez daha gözden geçirelim.
    Eğri n daldan oluşur, açık çevrim kutuplarından başlar ve sıfırlara veya sonsuza gider.
    Gerçek eksene göre simetriktir.
    Gerçek eksende sağda tek sayıda kutup artı sıfır olan bölümler eğri üzerindedir.
    Asimptotlar sonsuza giden dalları belirli açılar ve ağırlık merkeziyle yönlendirir.
    Ayrılma/birleşme adayları dK/ds=0 ile bulunur; gerçek-eksen eğri bölümü ve K≥0 koşullarıyla doğrulanır.
    Kök yer eğrisi olası kararlılık sınırını gösterir; kararlı K aralığı cebirsel olarak doğrulanır ve her sistemde tek bir maksimum sınır bulunması gerekmez.
    Bir sonraki derste bu araçları gerçek kontrol tasarım problemlerinde kullanacağız.

    Sesli anlatım metni

    Kök yer eğrisi kurallarını bir kez daha gözden geçirelim. Eğri n daldan oluşur, açık çevrim kutuplarından başlar ve sıfırlara veya sonsuza gider. Gerçek eksene göre simetriktir. Gerçek eksende sağda tek sayıda kutup artı sıfır olan bölümler eğri üzerindedir. Asimptotlar sonsuza giden dalları belirli açılar ve ağırlık merkeziyle yönlendirir. Ayrılma noktaları gerçek eksen bölümünde K'nın maksimum olduğu yerdedir. En önemlisi kök yer eğrisi kararlılık için maksimum kazancı gösterir. Bir sonraki derste bu araçları gerçek kontrol tasarım problemlerinde kullanacağız.

Kaynak video: Kontrol Teorisi #23 — Kök Yer Eğrisi Temelleri (7:32)