Elektromanyetik Teori · Koordinat Dönüşümleri ve Metrik Katsayılar

#06 Kartezyen, silindirik ve küresel sistemler arasında birim vektör dönüşümleri

Metrik katsayıları anlamlandır, dönüşüm matrislerini türet ve üç koordinat sistemi arasında güvenle geçiş yap.

Soru

Koordinat sistemlerinin metrik katsayılarını ve birim vektör dönüşüm matrislerini gösteren ders karesi. — Metrik katsayılar diferansiyel uzunluğu, ortogonal dönüşüm matrisleri ise birim vektör tabanları arasındaki geçişi belirler.

Metrik katsayıları geometrik olarak açıklayın; Kartezyen, silindirik ve küresel birim vektör dönüşüm matrislerini türetin ve farklı sistemlerden vektörleri ortak bir tabanda birleştirin.

Yazılı çözüm ve anlatım dökümü(çözümün tamamını gösterir)

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. Üç koordinat sistemini birleştir
Metrik katsayılar diferansiyel uzunluğu, ortogonal dönüşüm matrisleri ise birim vektör tabanları arasındaki geçişi belirler.
Önceki derslerde üç koordinat sistemini tanımladık: Kartezyen, silindirik ve küresel.
Konum vektörünü ve diferansiyel elemanları her sistemde yazdık.
Bu derste bu sistemleri bir araya getiriyoruz.
Önce metrik katsayıları ve bunları kolayca hatırlama yöntemini göreceğiz.
Ardından birim vektörleri bir sistemden diğerine dönüştüren dönüşüm matrislerini türeteceğiz.
Son olarak da farklı koordinat sistemlerinden gelen birim vektörlerin aynı ifadede bulunduğu durumlar dahil örnekler çözeceğiz.
Sesli anlatım metni
Önceki derslerde üç koordinat sistemini tanımladık: Kartezyen, silindirik ve küresel. Konum vektörünü ve diferansiyel elemanları her sistemde yazdık. Bu derste bu sistemleri bir araya getiriyoruz. Önce metrik katsayıları ve bunları kolayca hatırlama yöntemini göreceğiz. Ardından birim vektörleri bir sistemden diğerine dönüştüren dönüşüm matrislerini türeteceğiz. Son olarak da farklı koordinat sistemlerinden gelen birim vektörlerin aynı ifadede bulunduğu durumlar dahil örnekler çözeceğiz.
2. Metrik katsayıları geometriden çıkar
Metrik katsayılar diferansiyel uzunluğu, ortogonal dönüşüm matrisleri ise birim vektör tabanları arasındaki geçişi belirler.
Metrik katsayılar, bir koordinattaki birim değişimin gerçek uzunlukta ne kadar değişime karşılık geldiğini söyler.
Kartezyen koordinatlarda:
$\displaystyle h_{x} = h_{y} = h_{z} = 1.$
Çünkü x, y, z doğrudan uzunluk ölçer.
Silindirik koordinatlarda:
$\displaystyle h_{\rho } = h_{z} = 1, h_{\varphi } = \rho .$
Küresel koordinatlarda:
$\displaystyle h_{r} = 1, h_{\theta } = r, h_{\varphi } = r \sin \theta .$
İşte burada faydalı bir hatırlama yöntemi var.
Bir koordinat sisteminden bir sonrakine geçerken, önceki sistemde olmayıp yeni sisteme katılan uzunluk bileşeni, yeni sistemdeki ilgili açının metrik katsayısını verir.
Kartezyenden silindiriğe geçerken: ρ yeni uzunluk bileşenidir.
Dolayısıyla yeni açı φ'nin metriği h_φ, ρ'ya eşittir.
Silindirikten küresele geçerken: r yeni uzunluk bileşenidir.
Dolayısıyla yeni açı θ'nın metriği h_θ, r'ye eşittir.
Küreseldeki dik üçgenden ρ = r sin θ; dolayısıyla h_φ = r sin θ.
Silindirikte h_φ, ρ olduğuna göre, küreselde r sin θ olur.
Bu ezber değil, koordinat sistemleri arasındaki geometrik ilişkiyi anlamaktan geliyor.
Sesli anlatım metni
Metrik katsayılar, bir koordinattaki birim değişimin gerçek uzunlukta ne kadar değişime karşılık geldiğini söyler. Kartezyen koordinatlarda üç metrik katsayısı da birdir: ha iks eşittir bir, ha ye eşittir bir, ha zet eşittir bir. Çünkü iks, ye, zet doğrudan uzunluk ölçer. Silindirik koordinatlarda ha ro eşittir bir ve ha zet eşittir bir, ancak ha fi eşittir ro. Küresel koordinatlarda ha re eşittir bir, ha teta eşittir re, ve ha fi eşittir re sinüs teta. İşte burada faydalı bir hatırlama yöntemi var. Bir koordinat sisteminden bir sonrakine geçerken, önceki sistemde olmayıp yeni sisteme katılan uzunluk bileşeni, yeni sistemdeki ilgili açının metrik katsayısını verir. Kartezyenden silindiriğe geçerken: ro yeni uzunluk bileşenidir. Dolayısıyla yeni açı fi'nin metriği ha fi, ro'ya eşittir. Silindirikten küresele geçerken: re yeni uzunluk bileşenidir. Dolayısıyla yeni açı teta'nın metriği ha teta, re'ye eşittir. Küreselde ha fi için, re, ro ve teta arasındaki dik üçgeni hatırlayın: ro eşittir re sinüs teta. Silindirikte ha fi, ro olduğuna göre, küreselde re sinüs teta olur. Bu ezber değil, koordinat sistemleri arasındaki geometrik ilişkiyi anlamaktan geliyor.
3. Silindirik dönüşüm matrisini türet
Metrik katsayılar diferansiyel uzunluğu, ortogonal dönüşüm matrisleri ise birim vektör tabanları arasındaki geçişi belirler.
Şimdi Kartezyen ile silindirik koordinatlar arasındaki dönüşüm matrisini türetelim.
Birim vektör için genel formül:
$\displaystyle e_{i} = \left(\frac{1}{h_{i}}\right)\left(\frac{\partial r}{\partial q_{i}}\right).$
Burada r konum vektörü, q_i ise i'inci koordinattır.
Silindirik konum vektörü:
$\displaystyle r = \rho \cos \varphi e_{x} + \rho \sin \varphi e_{y} + z e_{z}.$
ρ'ya göre türev ve h_ρ = 1 ile e_ρ = cos φ e_x + sin φ e_y.
e_φ'yi bulmak için r'nin φ'ye göre türevini alıp h_φ olan ρ'ya böleriz.
ρ terimleri sadeleşir:
$\displaystyle e_{\varphi } = -\sin \varphi e_{x} + \cos \varphi e_{y}.$
Ve e_z aynen e_z kalır.
Bunu matris olarak yazabiliriz.
İlk satır cos φ, sin φ, sıfır.
İkinci satır eksi sin φ, cos φ, sıfır.
Üçüncü satır sıfır, sıfır, bir.
Önemli nokta: bu matrisi ezberlemeyin.
Bunun yerine türetme formülünü hatırlayın, istediğiniz zaman yeniden çıkarabilirsiniz.
Sesli anlatım metni
Şimdi Kartezyen ile silindirik koordinatlar arasındaki dönüşüm matrisini türetelim. Birim vektör için genel formül şudur: e şapka i eşittir bir bölü ha i çarpı kısmi re bölü kısmi ku i. Burada re konum vektörü, ku i ise i'inci koordinattır. Konum vektörünü silindirik cinslerle yazalım: re eşittir ro kosinüs fi çarpı e iks, artı ro sinüs fi çarpı e ye, artı zet çarpı e zet. e ro'yu bulmak için re'nin ro'ya göre kısmi türevini alıp ha ro'ya yani bire böleriz: e ro eşittir kosinüs fi çarpı e iks, artı sinüs fi çarpı e ye. e fi'yi bulmak için re'nin fi'ye göre türevini alıp ha fi olan ro'ya böleriz. Ro terimleri sadeleşir: e fi eşittir eksi sinüs fi çarpı e iks, artı kosinüs fi çarpı e ye. Ve e zet aynen e zet kalır. Bunu matris olarak yazabiliriz. İlk satır kosinüs fi, sinüs fi, sıfır. İkinci satır eksi sinüs fi, kosinüs fi, sıfır. Üçüncü satır sıfır, sıfır, bir. Önemli nokta: bu matrisi ezberlemeyin. Bunun yerine türetme formülünü hatırlayın, istediğiniz zaman yeniden çıkarabilirsiniz.
4. Küresel dönüşüm matrisini türet
Metrik katsayılar diferansiyel uzunluğu, ortogonal dönüşüm matrisleri ise birim vektör tabanları arasındaki geçişi belirler.
Küresel konum vektörü:
$\displaystyle r = r \sin \theta \cos \varphi e_{x} + r \sin \theta \sin \varphi e_{y} + r \cos \theta e_{z}.$
$\displaystyle e_{r} = \sin \theta \cos \varphi e_{x} + \sin \theta \sin \varphi e_{y} + \cos \theta e_{z}.$
$\displaystyle e_{\theta } = \cos \theta \cos \varphi e_{x} + \cos \theta \sin \varphi e_{y} - \sin \theta e_{z}.$
$\displaystyle e_{\varphi } = -\sin \varphi e_{x} + \cos \varphi e_{y}.$
Bu bize küreselden Kartezyene dönüşüm matrisini verir.
Şimdi güçlü bir numara: bu dönüşüm matrisleri ortogonaldir.
Yani tersi sadece transpozdur.
Kartezyenden silindiriğe veya küresele geri dönmek için matrisi transpoze edin, satırları sütun yapın, o kadar.
Peki silindirle küresel arasında dönüşüm nasıl olur?
Ara adım olarak Kartezyeni kullanın.
Önce Kartezyene çevirin, sonra hedef sisteme geçin.
Bu iki matris ve transpozlarıyla herhangi iki koordinat sistemi arasında serbestçe geçiş yapabilirsiniz.
Sesli anlatım metni
Küresel koordinatlar için konum vektörünü şöyle yazarız: re eşittir re sinüs teta kosinüs fi çarpı e iks, artı re sinüs teta sinüs fi çarpı e ye, artı re kosinüs teta çarpı e zet. Aynı formülü uygulayınca: e re eşittir sinüs teta kosinüs fi çarpı e iks, artı sinüs teta sinüs fi çarpı e ye, artı kosinüs teta çarpı e zet. e teta eşittir kosinüs teta kosinüs fi çarpı e iks, artı kosinüs teta sinüs fi çarpı e ye, eksi sinüs teta çarpı e zet. e fi eşittir eksi sinüs fi çarpı e iks, artı kosinüs fi çarpı e ye. Bu bize küreselden Kartezyene dönüşüm matrisini verir. Şimdi güçlü bir numara: bu dönüşüm matrisleri ortogonaldir. Yani tersi sadece transpozdur. Kartezyenden silindiriğe veya küresele geri dönmek için matrisi transpoze edin, satırları sütun yapın, o kadar. Peki silindirle küresel arasında dönüşüm nasıl olur? Ara adım olarak Kartezyeni kullanın. Önce Kartezyene çevirin, sonra hedef sisteme geçin. Bu iki matris ve transpozlarıyla herhangi iki koordinat sistemi arasında serbestçe geçiş yapabilirsiniz.
5. Karışık birim vektör örneklerini çöz
Metrik katsayılar diferansiyel uzunluğu, ortogonal dönüşüm matrisleri ise birim vektör tabanları arasındaki geçişi belirler.
İki örnek çözelim.
Birinci örnek: e_x + e_y ifadesini silindirik koordinatlarda yazın.
Ters dönüşüm lazım, yani transpozu kullanıyoruz.
Transpozdan e_x = cos φ e_ρ − sin φ e_φ.
Ayrıca e_y = sin φ e_ρ + cos φ e_φ.
Toplam:
$\displaystyle e_{x} + e_{y} = \left(\cos \varphi + \sin \varphi \right)e_{\rho } + \left(\cos \varphi - \sin \varphi \right)e_{\varphi }.$
İkinci örnek: e_ρ + e_θ ifadesini Kartezyen koordinatlarda yazın.
Bu ilginç çünkü e_ρ silindirik, e_θ ise küresel.
Farklı sistemlerden geliyorlar!
Yaklaşım: her birini ayrı ayrı Kartezyene çevirin.
$\displaystyle e_{\rho } = \cos \varphi e_{x} + \sin \varphi e_{y}.$
$\displaystyle e_{\theta } = \cos \theta \cos \varphi e_{x} + \cos \theta \sin \varphi e_{y} - \sin \theta e_{z}.$
Toplam: (1 + cos θ)cos φ e_x + (1 + cos θ)sin φ e_y − sin θ e_z.
Ana ders: aynı ifadede farklı sistemlerden birim vektörler varsa, her birini önce Kartezyene çevirin, sonra toplayın.
Sesli anlatım metni
İki örnek çözelim. Birinci örnek: e iks artı e ye'yi silindirik koordinatlarda ifade edin. Ters dönüşüm lazım, yani transpozu kullanıyoruz. Transpozdan, e iks eşittir kosinüs fi çarpı e ro, eksi sinüs fi çarpı e fi. Ve e ye eşittir sinüs fi çarpı e ro, artı kosinüs fi çarpı e fi. Toplarsak: e iks artı e ye eşittir kosinüs fi artı sinüs fi çarpı e ro, artı kosinüs fi eksi sinüs fi çarpı e fi. İkinci örnek: e ro artı e teta'yı Kartezyen koordinatlarda ifade edin. Bu ilginç çünkü e ro silindirik, e teta ise küresel. Farklı sistemlerden geliyorlar! Yaklaşım: her birini ayrı ayrı Kartezyene çevirin. e ro eşittir kosinüs fi çarpı e iks, artı sinüs fi çarpı e ye. e teta eşittir kosinüs teta kosinüs fi çarpı e iks, artı kosinüs teta sinüs fi çarpı e ye, eksi sinüs teta çarpı e zet. Toplarsak: sonuç bir artı kosinüs teta çarpı kosinüs fi çarpı e iks, artı bir artı kosinüs teta çarpı sinüs fi çarpı e ye, eksi sinüs teta çarpı e zet. Ana ders: aynı ifadede farklı sistemlerden birim vektörler varsa, her birini önce Kartezyene çevirin, sonra toplayın.
6. Dönüşüm yöntemini özetle
Metrik katsayılar diferansiyel uzunluğu, ortogonal dönüşüm matrisleri ise birim vektör tabanları arasındaki geçişi belirler.
Özetleyelim.
Metrik katsayılar, birim koordinat değişimi başına gerçek uzunluk değişimini verir.
Hatırlayın: her sistemdeki yeni uzunluk bileşeni, ilgili yeni açının metrik katsayısını verir.
e_i = (1/h_i)(∂r/∂q_i) dönüşüm formülü, herhangi bir dönüşüm matrisini sıfırdan türetmenizi sağlar.
Ters dönüşüm sadece transpozdur.
Silindirikle küresel arasında geçiş için Kartezyeni kullanın.
Bu araçlarla üç koordinat sistemi arasında özgürce geçiş yapabilirsiniz, ki bu elektromanyetik teori için vazgeçilmezdir.
Sesli anlatım metni
Özetleyelim. Metrik katsayılar, birim koordinat değişimi başına gerçek uzunluk değişimini verir. Hatırlayın: her sistemdeki yeni uzunluk bileşeni, ilgili yeni açının metrik katsayısını verir. Dönüşüm formülü e şapka i eşittir bir bölü ha i çarpı kısmi re bölü kısmi ku i, herhangi bir dönüşüm matrisini sıfırdan türetmenizi sağlar. Ters dönüşüm sadece transpozdur. Silindirikle küresel arasında geçiş için Kartezyeni kullanın. Bu araçlarla üç koordinat sistemi arasında özgürce geçiş yapabilirsiniz, ki bu elektromanyetik teori için vazgeçilmezdir.