#24 Koordinat dönüşümü — P(−2, 6, 3) noktasını silindirik ve küresel biçimde yazma

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Verileni ve açı tanımlarını ayır

   

   Verilen:

   $\displaystyle P = \left(x, y, z\right) = \left(-2, 6, 3\right)$

   İstenen 1: silindirik (ρ, φ, z)

   İstenen 2: küresel (r, θ, φ)

   φ: +x ekseninden xy düzleminde ölçülen azimut açısı

   θ: +z ekseninden ölçülen kutup açısı

   Sesli anlatım metni

   Arkadaşlar merhaba. Elektromanyetik teori ders serimizin ilk örnek soru çözümüne başlıyoruz. Koordinat sistemi dönüşümü yapacağız. Elimizde kartezyen koordinatlarda bir P noktası var: x eşit eksi iki, y eşit altı, z eşit üç. Yani P, eksi iki virgül altı virgül üç. Biz bu noktanın karşılığını önce silindirik koordinatlarda, sonra küresel koordinatlarda bulacağız.

2. 2. Silindirik koordinatları hesapla

   

   $\displaystyle \rho = \sqrt{x² + y²}$

   $\displaystyle \rho = \sqrt{\left(-2\right)² + 6²} = \sqrt{4 + 36}$

   $\displaystyle \rho = \surd 40 = 2\surd 10 \approx 6,325$

   x < 0 ve y > 0 → P ikinci kadranda

   atan(y/x) = atan(−3) = −71,565° tek başına yanlış kadranı verir

   $\displaystyle \varphi = a\tan 2\left(6, -2\right) = -71,565^{\circ} + 180^{\circ} = 108,435^{\circ}$

   z değişmez:

   $\displaystyle z = 3$

   P_sil = (2√10, 108,435°, 3)

   Sesli anlatım metni

   Silindirikten başlayalım. Silindirik koordinatlarda bir nokta üç değerle ifade edilir: rho, phi ve z. rho, noktanın z-eksenine olan dik uzaklığı; phi, x-ekseni ile saat tersi yönde yaptığı açı; z ise yine aynı z, değişmiyor. Şimdi formüller: rho eşit kök içinde x kare artı y kare. phi eşit ark-tanjant y bölü x, ama burada dikkat, kadranı doğru seçmek lazım. z de aynen z. Değerleri koyalım: x eksi iki, y altı. rho eşit kök içinde, eksi ikinin karesi dört, artı altının karesi otuz altı; toplam kırk. Kök kırk, iki kök on; yani yaklaşık altı nokta üç iki beş. phi'yi hesaplarken dikkat: y artı, x eksi olduğuna göre noktamız ikinci kadranda. Ark-tanjant altı bölü eksi iki, hesap makinasında eksi yetmiş bir nokta beş yedi derece verir; ama bu dördüncü kadran değeri. İkinci kadrana itmek için bu değere yüz seksen derece ekleriz: yüz seksen eksi yetmiş bir nokta beş yedi, eşit yüz sekiz nokta dört üç derece. z de üç. Yani silindirikte P: rho eşit iki kök on, phi eşit yüz sekiz nokta dört üç derece, z eşit üç.

3. 3. Küresel koordinatları hesapla

   

   $\displaystyle r = \sqrt{x² + y² + z²}$

   $\displaystyle r = \sqrt{4 + 36 + 9} = \surd 49 = 7$

   $\displaystyle \theta = \arccos \left(\frac{z}{r}\right) = \arccos \left(\frac{3}{7}\right)$

   $\displaystyle \theta \approx 64,623^{\circ}$

   φ küresel ve silindirik sistemlerde aynıdır: 108,435°

   Yaygın hata: θ’yı xy düzleminden değil, +z ekseninden ölç

   P_kür = (7, 64,623°, 108,435°)

   Sesli anlatım metni

   Şimdi küreseline geçelim. Küreselde yine üç değer var: r, theta ve phi. Burada r, noktanın orijine olan doğrudan uzaklığı; theta, z-ekseniyle yaptığı açı, kutup açısı da diyoruz; phi ise az önce hesapladığımız ile aynı açı. Formüller: r eşit kök içinde x kare artı y kare artı z kare. theta eşit ark-kosinüs z bölü r. phi'nin değeri silindiriktekiyle aynı. Hesaplayalım: r eşit kök kırk artı dokuz, kök kırk dokuz, yani tam yedi. theta'yı ark-kosinüs üç bölü yedi'den bulduk, altmış dört nokta altı iki derece. phi'yi zaten biliyoruz, yüz sekiz nokta dört üç derece. Yani küreselde P: r eşit yedi, theta eşit altmış dört nokta altı iki derece, phi eşit yüz sekiz nokta dört üç derece.

4. 4. Sonucu geometriden denetle

   

   $\displaystyle x < 0, y > 0, z > 0$

   xy düzleminde ikinci kadran → 90° < φ < 180°

   φ = 108,435° ikinci kadranla uyumlu

   z > 0 ve 0° < θ = 64,623° < 90°

   $\displaystyle r² = \rho ² + z² = 40 + 9 = 49$

   r = 7 → bütün geometrik kontroller sağlandı

   Sesli anlatım metni

   Sayıları bulduk, bir de şekilden bakıp tutarlı mı diye kontrol edelim. Noktamızda x negatif, y pozitif, z pozitif. Yani xy-düzleminde ikinci kadran, xy-düzleminin üstü. phi'nin yüz derece civarı olması mantıklı, ikinci kadranın tam içinde. theta altmış beş derece civarı, yani z-ekseninden orta derecede açılı; kutba yakın değil, ekvatora da. r ise yedi birim, orijinden doğruca yedi birim uzakta. Her şey şekildeki yerle örtüşüyor.

5. 5. İki gösterimi yan yana yaz

   Kartezyen:

   $\displaystyle P = \left(-2, 6, 3\right)$

   Silindirik:

   $\displaystyle P = \left(2\surd 10, 108,435^{\circ}, 3\right)$

   Küresel:

   $\displaystyle P = \left(7, 64,623^{\circ}, 108,435^{\circ}\right)$

   Aynı fiziksel nokta, üç farklı adres

   Son kontrol: kadran + r² = ρ² + z²

   Sesli anlatım metni

   Özet: kartezyendeki eksi iki, altı, üç noktası silindirikte iki kök on, yüz sekiz nokta dört üç derece, üç oluyor. Küreselde ise yedi, altmış dört nokta altı iki derece, yüz sekiz nokta dört üç derece. Bir sonraki videoda vektör alanlarının bu üç sistemdeki dönüşümüne bakacağız. Hoşça kalın.

Kaynak video: Elektromanyetik Teori (v2) #24 | Soru Çözümü #01: Koordinat Dönüşümü (3:48)