Elektromanyetik Teori · Küresel Koordinat Sistemi

#04 Küresel koordinatların tanımı, Kartezyen dönüşüm ve diferansiyel elemanlar

Küresel geometrinin r ve r sin θ metrik katsayılarını dönüşümlerden çizgi, yüzey ve hacim elemanlarına kadar izle.

Soru

Küresel koordinatlarda r, theta, phi değişkenlerini, dönüşümleri ve diferansiyel çizgi, yüzey, hacim elemanlarını gösteren ders karesi. — Küresel sistemde θ yönünün metrik katsayısı r, φ yönünün metrik katsayısı r sin θ'dır.

Küresel koordinatlarda r, θ, φ değişkenlerini ve birim vektörlerini tanımlayın; Kartezyen dönüşümleri, konum vektörünü ve diferansiyel dl, dS, dV elemanlarını metrik katsayılarla yazın.

Yazılı çözüm ve anlatım dökümü(çözümün tamamını gösterir)

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. Küresel sisteme geçişi kur
Küresel sistemde θ yönünün metrik katsayısı r, φ yönünün metrik katsayısı r sin θ'dır.
Bir önceki derste silindirik koordinat sistemini, ρ, φ ve z koordinatlarını ve ρ metrik katsayılı diferansiyel elemanları tanımlamıştık.
Şimdi üçüncü ve son koordinat sistemine geçelim: küresel koordinatlar.
r, θ ve φ koordinatlarını tanımlayacağız, Kartezyen'e dönüşümü göstereceğiz ve diferansiyel elemanları dl, dS ve dV'yi türeteceğiz.
Sesli anlatım metni
Bir önceki derste silindirik koordinat sistemini, ro, fi ve zet koordinatlarını ve ro metrik katsayılı diferansiyel elemanları tanımlamıştık. Şimdi üçüncü ve son koordinat sistemine geçelim: küresel koordinatlar. re, teta ve fi koordinatlarını tanımlayacağız, Kartezyen'e dönüşümü göstereceğiz ve diferansiyel elemanları dl, dS ve dV'yi türeteceğiz.
2. r, θ, φ koordinatlarını tanımla
Küresel sistemde θ yönünün metrik katsayısı r, φ yönünün metrik katsayısı r sin θ'dır.
Küresel koordinat sistemi üç değişken kullanır: r, θ ve φ.
r, orijinden noktaya olan uzaklıktır ve her zaman negatif olmayan bir değerdir.
θ, pozitif z ekseninden aşağı doğru ölçülen kutup açısıdır, sıfırdan π'ye kadar değişir.
φ, pozitif x ekseninden xy düzleminde ölçülen azimut açısıdır, sıfırdan iki π'ye kadar değişir.
Her noktada üç birim vektör tanımlarız: orijinden dışa doğru işaret eden e_r, artan θ yönünde işaret eden e_θ ve artan φ yönünde işaret eden e_φ.
Bu üç birim vektör birbirine dik olup sağ el kuralına uyarlar.
Sesli anlatım metni
Küresel koordinat sistemi üç değişken kullanır: re, teta ve fi. re, orijinden noktaya olan uzaklıktır ve her zaman negatif olmayan bir değerdir. Teta, pozitif zet ekseninden aşağı doğru ölçülen kutup açısıdır, sıfırdan pi'ye kadar değişir. Fi, pozitif iks ekseninden iks ye düzleminde ölçülen azimut açısıdır, sıfırdan iki pi'ye kadar değişir. Her noktada üç birim vektör tanımlarız: orijinden dışa doğru işaret eden e re, artan teta yönünde işaret eden e teta ve artan fi yönünde işaret eden e fi. Bu üç birim vektör birbirine dik olup sağ el kuralına uyarlar.
3. Kartezyen dönüşümleri yaz
Küresel sistemde θ yönünün metrik katsayısı r, φ yönünün metrik katsayısı r sin θ'dır.
Küresel ve Kartezyen arasında dönüşüm yapmak için koordinat sisteminin geometrisini kullanırız.
$\displaystyle x = r \sin \theta \cos \varphi .$
$\displaystyle y = r \sin \theta \sin \varphi .$
$\displaystyle z = r \cos \theta .$
Ters yönde, r = √(x² + y² + z²).
$\displaystyle \theta = \arccos \left(\frac{z}{r}\right).$
Ve φ = arctan(y/x).
Küresel koordinatlarda konum vektörü basitçe r⃗ = r e_r şeklindedir.
Bunun nedeni e_r'nin her iki açısal yönü de içermesidir.
Sesli anlatım metni
Küresel ve Kartezyen arasında dönüşüm yapmak için koordinat sisteminin geometrisini kullanırız. İks koordinatı re sinüs teta kosinüs fi'ye eşittir. Ye koordinatı re sinüs teta sinüs fi'ye eşittir. Zet koordinatı re kosinüs teta'ya eşittir. Ters yönde, re eşittir iks kare artı ye kare artı zet karenin kareköküdür. Teta eşittir zet bölü re'nin ark kosinüsüdür. Ve fi eşittir ye bölü iks'in ark tanjantıdır. Küresel koordinatlarda konum vektörü basitçe re vektörü eşittir re çarpı e re şeklindedir. Bunun nedeni e re'nin her iki açısal yönü de içermesidir.
4. Küresel çizgi elemanını türet
Küresel sistemde θ yönünün metrik katsayısı r, φ yönünün metrik katsayısı r sin θ'dır.
Şimdi diferansiyel çizgi elemanı dl'yi türetelim.
Küresel koordinatlarda küçük bir yer değiştirmenin üç bileşeni vardır.
r yönünde, dr değişimi dl_r = dr e_r verir.
θ yönünde, dθ açısal değişimi r dθ yay uzunluğuna karşılık gelir; dolayısıyla dl_θ = r dθ e_θ olur.
θ'nın metrik katsayısı r'dir.
φ yönünde, yay uzunluğu r sin θ dφ'dir, çünkü sabit θ çemberinin yarıçapı r sin θ'dır.
Dolayısıyla dl_φ = r sin θ dφ e_φ olur.
Toplam çizgi elemanı: dl = dr e_r + r dθ e_θ + r sin θ dφ e_φ.
Sesli anlatım metni
Şimdi diferansiyel çizgi elemanı dl'yi türetelim. Küresel koordinatlarda küçük bir yer değiştirmenin üç bileşeni vardır. re yönünde, dre değişimi dl re eşittir dre e re verir. Teta yönünde, dteta açısal değişimi re dteta yay uzunluğuna karşılık gelir, dolayısıyla dl teta eşittir re dteta e teta olur. Teta'nın metrik katsayısı re'dir. Fi yönünde, yay uzunluğu re sinüs teta dfi'dir, çünkü sabit teta çemberinin yarıçapı re sinüs teta'dır. Dolayısıyla dl fi eşittir re sinüs teta dfi e fi olur. Toplam çizgi elemanı: dl eşittir dre e re artı re dteta e teta artı re sinüs teta dfi e fi.
5. Küresel yüzey elemanlarını kur
Küresel sistemde θ yönünün metrik katsayısı r, φ yönünün metrik katsayısı r sin θ'dır.
Diferansiyel yüzey elemanı dS, iki diferansiyel uzunluğun birleşimidir.
Sabit r yüzeyinde, yani bir küre üzerinde, dS = r² sin θ dθ dφ e_r.
Her iki açısal metrik katsayı burada görünür: θ için r ve φ için r sin θ, bu da r² sin θ çarpanını verir.
Sabit θ yüzeyinde, yani bir koni üzerinde, dS = r sin θ dr dφ e_θ.
Sabit φ yüzeyinde, yani bir yarı düzlem üzerinde, dS = r dr dθ e_φ.
Her iki açı birlikte olduğunda r² sin θ'nın göründüğüne dikkat edin.
Sesli anlatım metni
Diferansiyel yüzey elemanı dS, iki diferansiyel uzunluğun birleşimidir. Sabit re yüzeyinde, yani bir küre üzerinde, dS eşittir re kare sinüs teta dteta dfi e re. Her iki açısal metrik katsayı burada görünür: teta için re ve fi için re sinüs teta, bu da re kare sinüs teta çarpanını verir. Sabit teta yüzeyinde, yani bir koni üzerinde, dS eşittir re sinüs teta dre dfi e teta. Sabit fi yüzeyinde, yani bir yarı düzlem üzerinde, dS eşittir re dre dteta e fi. Her iki açı birlikte olduğunda re kare sinüs teta'nın göründüğüne dikkat edin.
6. Küresel hacim elemanını türet
Küresel sistemde θ yönünün metrik katsayısı r, φ yönünün metrik katsayısı r sin θ'dır.
Diferansiyel hacim elemanı üç diferansiyel uzunluğun birleşimidir.
dV = dr × r dθ × r sin θ dφ = r² sin θ dr dθ dφ.
Kartezyen'deki dV = dx dy dz ile karşılaştırıldığında, küresel hacim elemanında fazladan r² sin θ çarpanı vardır.
Bu geometrik olarak anlamlıdır: orijinden uzak ve ekvatora yakın elemanlar, aynı açısal artış için daha büyük hacimler kaplarlar.
Sesli anlatım metni
Diferansiyel hacim elemanı üç diferansiyel uzunluğun birleşimidir. dV eşittir dre çarpı re dteta çarpı re sinüs teta dfi, bu da re kare sinüs teta dre dteta dfi'ye sadeleşir. Kartezyen'deki dV eşittir diks dye dzet ile karşılaştırıldığında, küresel hacim elemanında fazladan bir re kare sinüs teta çarpanı vardır. Bu geometrik olarak anlamlıdır: orijinden uzak ve ekvatora yakın elemanlar, aynı açısal artış için daha büyük hacimler kaplarlar.
7. Metrik katsayıları özetle
Küresel sistemde θ yönünün metrik katsayısı r, φ yönünün metrik katsayısı r sin θ'dır.
Özetleyelim.
Küresel koordinatlarda üç değişken r, θ ve φ'dir.
Çizgi elemanı dl = dr e_r + r dθ e_θ + r sin θ dφ e_φ.
Kartezyen'den temel fark, iki metrik katsayıdır: θ yönü için r ve φ yönü için r sin θ.
Hacim elemanı dV = r² sin θ dr dθ dφ.
Kartezyen, silindirik ve küresel koordinatların hepsi tanımlanmış oldu.
Artık elektromanyetik teori için gerekli üç koordinat sistemine sahibiz.
Sesli anlatım metni
Özetleyelim. Küresel koordinatlarda üç değişken re, teta ve fi'dir. Çizgi elemanı dl eşittir dre e re artı re dteta e teta artı re sinüs teta dfi e fi. Kartezyen'den temel fark, iki metrik katsayıdır: teta yönü için re ve fi yönü için re sinüs teta. Hacim elemanı dV eşittir re kare sinüs teta dre dteta dfi. Kartezyen, silindirik ve küresel koordinatların hepsi tanımlanmış oldu. Artık elektromanyetik teori için gerekli üç koordinat sistemine sahibiz.