Kontrol Teorisi · Kutup-Sıfır Analizi — Çözümlü Örnek 11

#34 Kutup-sıfır diyagramından transfer fonksiyonu, bağıl derece, properlık, BIBO kararlılığı, minimum olmayan faz sıfırı ve durum matrisi özdeğer eşleşmesi

Kutup ve sıfır çarpanlarını doğru K=−2 işaretiyle kurun; bağıl derece, kararlılık, minimum olmayan faz ve A₁ özdeğer eşleşmesini sınayın.

Soru

İki sistemin kutup-sıfır diyagramlarını, doğru transfer fonksiyonlarını, bağıl derecelerini, kararlılıklarını ve A matrisi özdeğer eşleşmesini gösteren Türkçe çözüm karesi. — Ortak K=−2 ile G₁ ve G₂ kararlıdır; +0,2 sıfırı minimum olmayan fazdır ve G₂ kutupları A₁ özdeğerleriyle eşleşir.

Ortak kazancı K=−2 olan G₁ ve G₂ kutup-sıfır diyagramlarından transfer fonksiyonlarını yazın. Bağıl derecelerini ve properlıklarını belirleyin; kutuplardan BIBO kararlılığını, sağ-yarı-düzlem sıfırından minimum olmayan faz özelliğini yorumlayın. G₂ kutuplarıyla eşleşen A matrisi adayını özdeğerlerinden seçin ve yalnız A'nın tam transfer fonksiyonunu belirlemeye yetmeyeceğini belirtin.

Yazılı çözüm ve anlatım dökümü(çözümün tamamını gösterir)

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. Kutup-sıfır diyagramlarını ve ortak kazancı oku
Ortak K=−2 ile G₁ ve G₂ kararlıdır; +0,2 sıfırı minimum olmayan fazdır ve G₂ kutupları A₁ özdeğerleriyle eşleşir.
İşte problemimiz.
İki sistem için ortak kazanç K=−2 verilmiştir.
G₁: p=−0,2 ve z=+0,2.
G₂: p={−0,2; −0,4±0,3j} ve z=+0,2.
Transfer fonksiyonlarını yazmamız, bağıl dereceleri bulmamız, kararlılığı kontrol etmemiz ve G2'yi bir durum uzayı modeline eşleştirmemiz gerekiyor.
Sesli anlatım metni
İşte problemimiz. Sabit katsayısı K eşittir eksi 2 olan iki transfer fonksiyonu G1 ve G2'nin kutup sıfır diyagramları verilmiş. G1'in eksi 0.2'de bir kutbu ve artı 0.2'de bir sıfırı var, ikisi de gerçel eksende. G2'nin aynı gerçel kutup ve sıfırı var, artı eksi 0.4 artı eksi 0.3 j'de bir çift eşlenik karmaşık kutbu var. Transfer fonksiyonlarını yazmamız, bağıl dereceleri bulmamız, kararlılığı kontrol etmemiz ve G2'yi bir durum uzayı modeline eşleştirmemiz gerekiyor.
2. Transfer fonksiyonlarını çarpanlardan yaz
Ortak K=−2 ile G₁ ve G₂ kararlıdır; +0,2 sıfırı minimum olmayan fazdır ve G₂ kutupları A₁ özdeğerleriyle eşleşir.
Kısım a: kutup sıfır diyagramlarından transfer fonksiyonlarını yaz.
G₁ için sıfır çarpanı (s−0,2), kutup çarpanı (s+0,2)'dir.
$\displaystyle G₁\left(s\right)=-2\left(s-0,2\right)/\left(s+0,2\right).$
G₂ için z=+0,2 ve p={−0,2; −0,4±0,3j}.
Karmaşık çift:
$\displaystyle \left(s+0,4-0,3j\right)\left(s+0,4+0,3j\right)=s²+0,8s+0,25.$
Ortak K=−2 olduğundan doğru sonuç G₂(s)=−2(s−0,2)/[(s+0,2)(s²+0,8s+0,25)]'tir; kaynak sesindeki +2 işareti hatalıdır.
Sesli anlatım metni
Kısım a: kutup sıfır diyagramlarından transfer fonksiyonlarını yaz. G1 için s eşittir 0.2'de bir sıfır ve s eşittir eksi 0.2'de bir kutup var. K eşittir eksi 2 ile transfer fonksiyonu G1 eşittir eksi 2 çarpı s eksi 0.2 bölü s artı 0.2. G2 için aynı sıfır 0.2'de, aynı gerçel kutup eksi 0.2'de ve eşlenik karmaşık kutuplar eksi 0.4 artı eksi 0.3 j'de. Karmaşık çift s kare artı 0.8 s artı 0.25 ikinci dereceden ifadeyi verir. Yani G2 eşittir 2 çarpı s eksi 0.2 bölü s artı 0.2 çarpı s kare artı 0.8 s artı 0.25.
3. Bağıl dereceleri ve properlık kapsamını bul
Ortak K=−2 ile G₁ ve G₂ kararlıdır; +0,2 sıfırı minimum olmayan fazdır ve G₂ kutupları A₁ özdeğerleriyle eşleşir.
Kısım b: bağıl dereceyi bul.
Bağıl derece r=deg(payda)−deg(pay)'dır.
G₁ için r₁=1−1=0.
G₁ proper'dır, fakat strictly proper değildir.
G₂ için r₂=3−1=2.
G₂ bağıl derecesi 2 olan strictly proper bir sistemdir.
Nedensel sonlu boyutlu LTI gerçeklenebilirlik için bağıl derecenin negatif olmaması gerekir; bu tek başına yeterli bir fiziksel model kanıtı değildir.
Sesli anlatım metni
Kısım b: bağıl dereceyi bul. Bağıl derece kutup sayısı eksi sıfır sayısıdır. G1 için: 1 kutup eksi 1 sıfır eşittir 0. Bağıl derece sıfır, yani sistem kesinlikle proper değil. G2 için: 3 kutup eksi 1 sıfır eşittir 2. G2 bağıl derecesi 2 olan kesinlikle proper bir sistemdir. Bu fiziksel gerçeklenebilirlik için önemlidir.
4. Kutuplardan kararlılığı ve faz özelliğini yorumla
Ortak K=−2 ile G₁ ve G₂ kararlıdır; +0,2 sıfırı minimum olmayan fazdır ve G₂ kutupları A₁ özdeğerleriyle eşleşir.
Kısım c: kararlılığı kontrol et.
Rasyonel, proper ve iç sadeleşmeleri yapılmış sürekli-zaman LTI transfer fonksiyonunda BIBO kararlılık için tüm kutuplar açık sol yarı düzlemde olmalıdır.
G₁'in tek kutbu s=−0,2'dedir.
Re(−0,2)<0; G₁ BIBO kararlıdır.
G₂ kutupları: −0,2 ve −0,4±0,3j.
Üçünün de gerçel kısmı negatif.
G₂ de BIBO kararlıdır.
z=+0,2 sağ yarı düzlem sıfırıdır.
Bu sıfır sistemi minimum olmayan faz yapar; kutup kararlılık testini değiştirmez.
BIBO kararlılığı burada kutuplar belirler; sağ-yarı-düzlem sıfırı ters/geçici tepkiyi etkileyebilir.
Sesli anlatım metni
Kısım c: kararlılığı kontrol et. Bir transfer fonksiyonu ancak ve ancak tüm kutupları açık sol yarı düzlemde ise kararlıdır, yani tüm kutupların gerçel kısmı kesinlikle negatif olmalıdır. G1 için: tek kutup s eşittir eksi 0.2'de. Gerçel kısmı negatif, yani G1 kararlı. G2 için: kutuplar eksi 0.2 ve eksi 0.4 artı eksi 0.3 j'de. Üçünün de gerçel kısmı negatif. Yani G2 de kararlı. Artı 0.2'deki sıfırın sağ yarı düzlemde olduğuna dikkat edin. Bu minimum olmayan faz sıfırıdır ama kararlılığı etkilemez. Kararlılık sadece kutuplara bağlıdır.
5. Durum matrisi özdeğerlerini G₂ kutuplarıyla eşleştir
Ortak K=−2 ile G₁ ve G₂ kararlıdır; +0,2 sıfırı minimum olmayan fazdır ve G₂ kutupları A₁ özdeğerleriyle eşleşir.
Kısım d: hangi sistem matrisi G2 ile eşleşir?
Bir gerçeklenimde G₂ kutupları gözlenebilir ve kontrol edilebilir kiplerde A'nın özdeğerleri arasında bulunmalıdır.
G₂ kutupları: {−0,2; −0,4+0,3j; −0,4−0,3j}.
A1 matrisi 3'e 3'tür.
det(sI−A₁)=(s+0,2)(s²+0,8s+0,25).
eig(A₁)={−0,2; −0,4±0,3j}.
A₁'in özdeğer kümesi G₂'nin kutup kümesiyle eşleşir.
A₂ 2×2 olduğundan üç kutuplu minimal G₂ modeliyle eşleşemez.
Uygun değil.
A₃ özdeğerleri {−0,2; −0,4; −0,3} olduğundan karmaşık kutup çiftiyle eşleşmez.
Kutup/özdeğer aday testi sonucu A₁'dir; tam transfer eşleşmesi için B, C ve D de gerekir.
Sesli anlatım metni
Kısım d: hangi sistem matrisi G2 ile eşleşir? G2'nin kutupları sistem matrisi A'nın özdeğerleri olmalıdır. Kutuplar eksi 0.2, eksi 0.4 artı 0.3 j ve eksi 0.4 eksi 0.3 j. A1 matrisi 3'e 3'tür. Karakteristik polinomdan özdeğerlerini hesaplayalım: s I eksi A1'in determinantı s artı 0.2 çarpı s kare artı 0.8 s artı 0.25 verir. Özdeğerler eksi 0.2 ve eksi 0.4 artı eksi 0.3 j. Bunlar G2'nin kutuplarıyla birebir eşleşiyor. A2 matrisi 2'ye 2'dir, sadece 2 özdeğeri olabilir ama G2'nin 3 kutbu var. Uygun değil. A3 matrisi 3'e 3 ama özdeğerleri eksi 0.2, eksi 0.4 ve eksi 0.3, bunlar eşleşmiyor. Cevap A1.
6. Kutup-sıfır analizini toparla
Ortak K=−2 ile G₁ ve G₂ kararlıdır; +0,2 sıfırı minimum olmayan fazdır ve G₂ kutupları A₁ özdeğerleriyle eşleşir.
Özetleyelim.
G₁(s)=−2(s−0,2)/(s+0,2); r₁=0 ve sistem proper, fakat strictly proper değildir.
Ortak K=−2 ile G₂(s)=−2(s−0,2)/[(s+0,2)(s²+0,8s+0,25)]; r₂=2'dir. Kaynak sesteki +2 işareti düzeltilmiştir.
Tüm kutupların gerçel kısmı negatif olduğundan iki sistem de BIBO kararlıdır.
+0,2'deki sıfır minimum olmayan faz davranışı doğurur; kutup kararlılığını değiştirmez.
Adaylar arasında yalnız A₁'in özdeğerleri G₂ kutuplarıyla eşleşir; tam gerçeklenim için B, C ve D ayrıca denetlenir.
Sonuçlar ortak K=−2 işareti ve gerçeklenim kapsamıyla birlikte tamamlandı.
Sesli anlatım metni
Özetleyelim. K eşittir eksi 2 ile kutup sıfır diyagramlarından: G1 eşittir eksi 2 çarpı s eksi 0.2 bölü s artı 0.2, bağıl derece 0. G2 eşittir 2 çarpı s eksi 0.2 bölü s artı 0.2 çarpı s kare artı 0.8 s artı 0.25, bağıl derece 2. İkisi de kararlı çünkü tüm kutupların gerçel kısmı negatif. 0.2'deki sıfır minimum olmayan faz ama kararlılığı etkilemez. Durum uzayı eşleşmesi için sadece A1'in özdeğerleri G2'nin kutuplarıyla eşleşiyor. Dört kısım, kutup sıfır analizi tamam.