#16 Sadeleştirilmiş rasyonel dönüşümler, nedensel modlar ve iki uç-değer teoreminin koşulları

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Ters dönüşümden önce davranışı oku

   

   Önceki ders: rasyonel dönüşümü parçala, sonra her parçanın ters dönüşümünü al.

   Şimdi cebirin davranış hakkında önceden ne söylediğine bakalım.

   Tam ters dönüşümden önce modları ve uç değerleri bulabilir miyiz?

   Evet; kökler ve iki koşullu limit testi önemli bilgiler verir.

   Ortak çarpanları sadeleştirdikten sonra kutuplar bu nedensel sinyalin modlarını belirler; doğal devre modları ayrıca devre modeli ister.

   Payın kökleri kadar kazancı da önemlidir; pay, modların ağırlıklarını ve olası ortak çarpan iptallerini belirler.

   İlk ve son değer testlerinin ayrı koşulları vardır; yalnız iki uç değer bütün dalga şeklini belirlemez.

   Sesli anlatım metni

   Önceki derste büyük F s'i parçalara ayırdık ve sonra her parçanın ters Laplace dönüşümünü aldık. Şimdi daha hızlı bir soru soruyoruz. Tam ters dönüşümü yapmadan önce, ifadenin içinden davranış hakkında ne okuyabiliriz? Aslında çok şey. Payda kökleri, yani kutuplar, hangi doğal zaman modlarının oluşabileceğini söyler. Pay kökleri, yani sıfırlar, bu modların nasıl ağırlıklandığını, şekillendiğini ve bazen iptal olduğunu söyler. İki limit teoremi de bütün cevabı açmadan dalga şeklinin başını ve sonunu kontrol etmemizi sağlar.

2. 2. Sadeleştirmeden sonra kökleri bul

   

   Sonlu kutup ve sıfırları bulmadan önce ortak çarpanları sadeleştir:

   $\displaystyle F\left(s\right)=\frac{N\left(s\right)}{D\left(s\right)}$

   Sıfır olmayan sadeleştirilmiş rasyonel ifadede sonlu sıfırlar pay kökleridir:

   $\displaystyle N\left(z\right)=0$

   Sadeleştirmeden sonra kalan payda kökleri kutuptur:

   $\displaystyle D\left(p\right)=0$

   Nedensel örnekte ROC σ>−1, kutuplar −1 ve −3:

   $\displaystyle F\left(s\right)=\frac{2 s+5}{\left(s+1\right)\left(s+3\right)}$

   Payı sıfıra eşitle; ortak çarpan yok:

   $\displaystyle 2 z+5=0, z=-\frac{5}{2}=-2.5$

   s düzleminde çarpı kutbu, açık daire sıfırı gösterir; yatay koordinat s'nin gerçek kısmı σ'dır.

   Pozitif zamanda iki üstel mod ve ağırlıkları:

   $\displaystyle f\left(t\right)=\left(\frac{3}{2}\right)e^{-t}+\left(\frac{1}{2}\right)e^{-3 t}$

   Sesli anlatım metni

   Bir rasyonel dönüşümle başlayalım: büyük F s eşittir N s bölü D s. Sıfırlar, payın kökleridir. Kutuplar, paydanın kökleridir. Geçen dersteki örnekte, iki s artı beş bölü s artı bir çarpı s artı üç ifadesinde kutuplar eksi bir ve eksi üçtedir. Sıfır ise eksi iki buçuktadır. s düzleminde kutupları çarpı işaretiyle, sıfırı açık daireyle gösteririz. Kutuplar izin verilen üstel modları üretir; sıfır ise karışımı değiştirir.

3. 3. Kutupları nedensel zaman modlarıyla ilişkilendir

   

   Kutup yeri, çokluğu ve nedensellik varsayımı birlikte okunur.

   Basit gerçek kutupta; sönüm için a>0 ve pozitif zamanda:

   $\displaystyle p=-a, g\left(t\right)=A e^{-a t}$

   Çift kutupta sabit ve t terimlerini birlikte tut; yüksek çoklukta daha yüksek kuvvetler eklenir:

   $\displaystyle g\left(t\right)=\left(A+B t\right)e^{-a t}$

   Gerçek katsayılı −α±jω çiftinde ω>0; sönüm ancak α>0 iken:

   $\displaystyle g\left(t\right)=e^{-\alpha t}\left[A \cos \left(\omega t\right)+B \sin \left(\omega t\right)\right]$

   Karmaşık çift tek başına sönüm garantisi değildir: gerçek kısmın sıfır olması sürekli salınım, pozitif olması büyüme verir; m katlı kutupta t kuvvetleri sıfırdan m−1'e kadardır.

   Pozitif zamanda sönümlü gerçek modları karşılaştır:

   $\displaystyle a_{\mathrm{fast}}=4, a_{\mathrm{slow}}=1, e^{-4 t}<e^{-t}$

   Sol yarı düzlemde gerçek kısmın sıfıra yaklaşması zarf sönümünü yavaşlatır.

   Sadeleşmemiş sağ yarı düzlem kutbu büyüyen nedensel mod verir; çıkıştaki iptal tek başına iç kararlılığı kanıtlamaz.

   Sesli anlatım metni

   Temel okuma kuralı şu. Eksi a'daki bir kutup, e üstü eksi a t modunu üretir. Kutup tekrarlıysa aynı sönüme bir t çarpanı eklenir. Karmaşık eşlenik kutup çifti ise sönümlü salınım verir. Yani kutuplar sadece payda kökü değildir; zaman cevabının yapı taşlarını söyler. Kutup ne kadar sola giderse sönüm o kadar hızlıdır. İmajiner eksene yaklaştıkça sönüm yavaşlar. Sağ yarı düzlem kutbu ise büyüme işaretidir ve uyarı anlamına gelir.

4. 4. Pay, kazanç ve sadeleşmenin etkisini anla

   

   Sıfırların rolü kutuplardan farklıdır.

   Strictly proper rasyonel sinyalde bir sıfır, kendi başına yeni bir üstel mod eklemez.

   Bu örnekte pay iki modun ağırlığını belirler:

   $\displaystyle F\left(s\right)=\frac{\frac{3}{2}}{s+1}+\frac{\frac{1}{2}}{s+3}$

   Tam ortak çarpan çıkış ifadesinde sadeleşebilir; bu, iç devre modunun yokluğunu veya kararlılığını kanıtlamaz.

   Aynı kutuplara sahip iki cevabın payları ve kazançları farklı olabilir.

   Sıfır konumlarının yanında kazancı da tut: yalnız sıfırlar bütün mod ağırlıklarını belirlemez.

   Sesli anlatım metni

   Sıfırlar farklı davranır. Bir sıfır genellikle yeni bir zaman modu oluşturmaz. Bunun yerine kutup modlarının nasıl birleştiğini şekillendirir. Bir modu güçlendirebilir, başka birini zayıflatabilir, işaret çevirebilir veya tam bir kutbun üstüne gelirse iptal oluşturabilir. Bu yüzden iki devrenin kutupları aynı olsa bile, zaman cevapları farklı görünebilir. Kutuplar mümkün modları verir; sıfırlar bu modların çıkışta nasıl karışacağını belirlemeye yardım eder.

5. 5. Sonlu ilk değeri kontrol et

   

   İlk değer sonlu sağdan zaman limitidir; orijinde impuls ve impuls türevi bulunmamalıdır.

   Bu sıradan nedensel sinyallerde f'nin sıfır-artı değeri, pozitif gerçek s sonsuza giderken sF(s) limitidir.

   Pozitif gerçek s büyüdükçe Laplace integralinde geç zamanlar daha çok bastırılır; sanal eksen boyunca ilerlemiyoruz.

   Dönüşümün tamamını s ile çarp:

   $\displaystyle s F\left(s\right)=\frac{s\left(2 s+5\right)}{\left(s+1\right)\left(s+3\right)}$

   Pay ve paydayı s'nin karesine böl; s pozitif sonsuza giderken:

   $\displaystyle s F\left(s\right)=\frac{2+\frac{5}{s}}{1+\frac{4}{s}+\frac{3}{s^{2}}}\to 2$

   Sağdan zaman limitini bağımsız kontrol et:

   $\displaystyle f\left(0^{+}\right)=\left(\frac{3}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}\right)=2$

   Sesli anlatım metni

   İlk değer teoremi dalga şeklinin en başını okur. Büyük F s, küçük f t'nin Laplace dönüşümüyse, f sıfır artı eşittir, s sonsuza giderken s çarpı F s limitidir. Sezgisel olarak büyük s, zamanın en erken anını vurgular. Örneğimizde F s'i s ile çarp. Çok büyük s'te baskın terimler kalır: s çarpı iki s artı beş bölü s artı bir çarpı s artı üç, ikiye gider. Bu, geçen dersteki zaman cevabıyla da aynı: üç bölü iki artı bir bölü iki eşittir iki.

6. 6. Son değer için kutup koşulunu uygula

   

   Son değer teoreminden önce sadeleştirilmiş sF çarpımının bütün kutuplarını kontrol et.

   Kutup testi geçince son zaman limiti, pozitif gerçek s sıfıra yaklaşırken sF(s) limitidir; f_∞ bu zaman limitini gösterir.

   Buradaki rasyonel sinyaller için sF'nin kalan bütün kutupları kesin olarak açık sol yarı düzlemde olmalıdır.

   Orijinde, sanal eksenin başka yerinde veya sağ yarı düzlemde kalan herhangi bir kutup bu testi geçemez.

   Kalan kutuplar −1 ve −3; test geçtikten sonra:

   $\displaystyle f_{\infty }=\frac{0\left(2\cdot 0+5\right)}{\left(0+1\right)\left(0+3\right)}=0$

   Pozitif zaman sonsuza giderken bağımsız kontrol:

   $\displaystyle f\left(t\right)=\left(\frac{3}{2}\right)e^{-t}+\left(\frac{1}{2}\right)e^{-3 t}\to 0$

   Sesli anlatım metni

   Son değer teoremi kararlı durum değerini okur, ama önce kararlılık kontrolü ister. Formül şudur: f sonsuz eşittir, s sıfıra giderken s çarpı F s limiti. Fakat bu formül ancak s F s'in kalan tüm kutupları sol yarı düzlemdeyse geçerlidir. Sağ yarı düzlem kutbu varsa veya sönmeyen imajiner eksen salınımı varsa, teorem seni yanıltabilir. Aynı örnekte, s F s sıfırda sıfıra gider; son değer sıfırdır. İki üstel mod da sönüyor, yani sonuç mantıklıdır.

7. 7. Basamak cevabının iki uç değerini doğrula

   

   Şimdi bağımsız bir nedensel basamak cevabının iki ucunu kontrol edelim.

   Paydanın tamamı çarpımdır; nedensel ROC σ>0:

   $\displaystyle Y\left(s\right)=\frac{10}{s\left(s+2\right)}$

   Önce bütün dönüşümü s ile çarp:

   $\displaystyle s Y\left(s\right)=\frac{10 s}{s\left(s+2\right)}$

   Ortak çarpanı sadeleştir; kalan tek kutup −2'dir:

   $\displaystyle s Y\left(s\right)=\frac{10}{s+2}$

   Pozitif gerçek s sonsuza giderken sY sıfıra yaklaşır; sonlu sağdan ilk değer:

   $\displaystyle y\left(0^{+}\right)=0$

   Kalan −2 kutbu açık sol yarı düzlemde; s sıfıra yaklaşınca:

   $\displaystyle y_{\infty }=\frac{10}{0+2}=5$

   Uçlar nedensel ters dönüşümle de tutarlı; birim basamak dahil:

   $\displaystyle y\left(t\right)=5\left(1-e^{-2 t}\right) u\left(t\right)$

   Sesli anlatım metni

   Şimdi teoremleri bir step response üzerinde kullanalım. Büyük Y s eşittir on bölü s çarpı s artı iki olsun. Önce s ile çarpıyoruz. Böylece s Y s eşittir on bölü s artı iki. İlk değer için s sonsuza gider; on bölü s artı iki sıfıra gider, yani y sıfır artı sıfırdır. Son değer için s sıfıra gider; on bölü iki beştir, yani çıkış beşe yerleşir. Tam ters Laplace yapmadan eğrinin sıfırdan başlayıp beşte bittiğini biliyoruz.

8. 8. Değer teoremlerinin tuzaklarını ayır

   

   Üç tuzak: yanlış kutup kümesi, eksik yakınsama koşulları ve kutupla sıfırı karıştırmak.

   Y'de orijindeki basit kutup sY oluşturulurken sadeleşebilir; tek başına son değer testinin başarısızlığı değildir.

   Orijinal paydayı değil sadeleştirilmiş çarpımı test et:

   $\displaystyle s Y\left(s\right)=\frac{10}{s+2}, p=-2$

   Sağ yarı düzlemde kalan kutup bu son değer testini geçersiz kılar; kalan sanal eksen kutupları da testi geçemez.

   Payın bir sıfırına kendi başına yeni bir üstel mod atama.

   Pay ve kazanç, modların ağırlıklarını ve olası çıkış iptallerini belirler.

   Burada sinyal modlarını okuyoruz; doğal devre modları ve iç kararlılık için gerçek devre modeli gerekir.

   Sesli anlatım metni

   Üç tuzak önemli. Birincisi: Y s içinde orijinde kutup olması, otomatik olarak son değer problemi demek değildir. Test, s ile çarptıktan sonra s Y s'in kutupları üzerindedir. İkincisi: kalan kutuplardan biri sağ yarı düzlemdeyse, son değer teoremi geçersizdir. Üçüncüsü: sıfırı kendi üstel modunu üretiyormuş gibi düşünme. Sıfırlar karışımı şekillendirir. Doğal modları kutuplar üretir.

9. 9. Modları ve geçerlilik koşullarını birlikte tut

   

   Özet: kökler modları, koşullu limitler uç değerleri anlatır.

   Kutupları ve çokluklarını bulmadan önce rasyonel ifadeyi sadeleştir.

   Pay kökleri ve kazanç, olası iptaller dahil modların karışımını belirler.

   Orijin impulsu olmayan sıradan sonlu sağdan değer için ilk teorem pozitif gerçek s'nin sonsuz limitini kullanır.

   Son değer teoreminde sadeleştirilmiş sF'nin kalan her kutbu kesin olarak açık sol yarı düzlemde olmalıdır.

   Sırada: direnç, endüktans ve kapasitörün başlangıç koşullarını içeren s-bölgesi modelleri.

   Sesli anlatım metni

   Özet. Kutuplar payda kökleridir ve doğal zaman modlarını gösterir. Sıfırlar pay kökleridir ve bu modların karışımını şekillendirir. İlk değer teoremi yüksek s limitinden ilk anı okur. Son değer teoremi düşük s limitinden kararlı durumu okur, ama sadece kararlılık kontrolü geçildikten sonra. Sonraki derste direnç, endüktans ve kapasitörü başlangıç koşullarıyla beraber s bölgesi modellerine çevireceğiz.

Kaynak video: Devre Teorisi-2 #16 | Kutuplar, Sıfırlar, İlk Değer ve Son Değer (5:07)