#05 KVL’de çoklu yollar ve birleşik KCL–KVL analizi

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. KVL: herhangi bir kapalı yol

   

   KVL: her kapalı yol için ∑v_k = 0

   Başladığın düğüme geri dön

   Gerilim yükselmeleri = gerilim düşümleri

   Bağımsız çevreleri seç; tekrar denklem yazma

   Sesli anlatım metni

   Dördüncü derste Kirchhoff Gerilim Kanununu öğrendik: herhangi bir kapalı yol çevresindeki gerilimlerin cebirsel toplamı sıfırdır. Buradaki herhangi sözcüğü önemlidir. KVL yalnızca en küçük iç çevrelere uygulanmaz. Bir düğümden başlayıp dallar boyunca ilerleyerek aynı düğüme döndüğün her kapalı yol için geçerlidir. Yol birden çok çevreyi kesebilir veya devrenin dış sınırını izleyebilir. Başlangıç noktasına geri döndüğümüzde bütün gerilim yükselmeleri ve düşümleri birbirini götürür. Önce bunu üç farklı yolda göreceğiz, sonra KCL ve Ohm kanununu da ekleyerek birleşik bir devreyi çözeceğiz.

2. 2. Üç kapalı yol

   

   Sol çevre: V_s − V₁ − V₃ = 0

   Sağ çevre: V₃ − V₂ − V₄ = 0

   Dış yol: V_s − V₁ − V₂ − V₄ = 0

   Dış yol = sol çevre + sağ çevre

   Sesli anlatım metni

   Devrede yirmi dört voltluk bir kaynak ve dört direnç var. R bir iki ohm, R iki dört ohm, R üç üç ohm ve R dört altı ohm. R üç, b düğümünü d düğümüne bağladığı için iki iç çevre oluşuyor. Soldaki birinci yol için V s eksi V bir eksi V üç eşittir sıfır. Sağdaki ikinci yol için V üç eksi V iki eksi V dört eşittir sıfır. Devrenin dışından dolaşan yol için ise V s eksi V bir eksi V iki eksi V dört eşittir sıfır. Dış yol denklemi, iki iç çevre denkleminin toplamıdır. Bu nedenle bağımsız denklem sayısını seçerken gereksiz tekrar yapmayız; fakat her kapalı yolun KVL'yi sağladığını biliriz.

3. 3. Birleşik soruyu kur

   

   Verilenler: 120 V, 10 Ω, 50 Ω, 6 A ↑

   Referanslar: i₀ sağa, i_x aşağı

   Arananlar: i₀, i_x, V_xy, güç

   Akım kaynağının yönü denklemlerle uyumludur

   Sesli anlatım metni

   Şimdi üç temel kanunu tek soruda birleştirelim. Solda yüz yirmi voltluk gerilim kaynağı, üst kolda on ohmluk direnç, orta kolda elli ohmluk direnç ve sağ kolda yukarı yönlü altı amperlik akım kaynağı var. On ohmluk dirençte sağ yönü i sıfır için, elli ohmluk dirençte x düğümünden y düğümüne doğru yönü i x için referans seçiyoruz. Amacımız i sıfır ve i x akımlarını, akım kaynağının uç gerilimini ve devre elemanlarının güçlerini bulmak.

4. 4. KCL + KVL ile çöz

   

   KCL: i_x = i₀ + 6

   KVL: 120 − 10i₀ − 50i_x = 0

   $120 - 10i_{0} - 50(i_{0} + 6) = 0$

   $i_{0} = -3 A, i_{\mathrm{x}} = 3 A$

   $V_{\mathrm{xy}} = 50i_{\mathrm{x}} = 150 V$

   Sesli anlatım metni

   Birinci adımda x düğümüne KCL uygulayalım. i sıfır akımıyla altı amperlik kaynak akımı düğüme giriyor, i x akımı düğümden çıkıyor. Bu yüzden i x eşittir i sıfır artı altı. İkinci adımda dış çevreye KVL yazalım: yüz yirmi eksi on i sıfır eksi elli i x eşittir sıfır. Üçüncü adımda KCL sonucunu yerine koyalım. i x yerine i sıfır artı altı yazınca yüz yirmi eksi on i sıfır eksi elli i sıfır eksi üç yüz eşittir sıfır olur. Buradan eksi altmış i sıfır eşittir yüz seksen ve i sıfır eşittir eksi üç amper çıkar. Eksi işaret, gerçek akımın seçtiğimiz okun tersine aktığını söyler. i x eşittir eksi üç artı altı, yani üç amperdir. x ile y arasındaki gerilim elli çarpı üçten yüz elli volttur. Akım kaynağı yüz elli çarpı altı, yani dokuz yüz watt güç verir.

5. 5. Güç dengesini doğrula

   

   Pasif işaret: +P soğurur, −P verir

   $P_{120V} = +360 W$

   $P_{6A} = -900 W$

   $P_{10\Omega} = +90 W, P_{50\Omega} = +450 W$

   $360 - 900 + 90 + 450 = 0$

   Sesli anlatım metni

   Sonucu enerji korunumu ile denetleyelim. Pasif işaret konvansiyonunda pozitif güç soğurulan, negatif güç verilen güçtür. Yüz yirmi voltluk kaynaktan geçen gerçek üç amper, kaynağın pozitif ucuna girdiği için bu kaynak üç yüz altmış watt soğurur. Altı amperlik akım kaynağında gerilim yüz elli volttur ve akım negatif uçtan girdiği için kaynak dokuz yüz watt verir; soğurulan gücü eksi dokuz yüz watt olur. On ohmluk direnç doksan watt, elli ohmluk direnç dört yüz elli watt soğurur. Soğurulan güçlerin toplamı üç yüz altmış eksi dokuz yüz artı doksan artı dört yüz ellidir ve sıfıra eşittir. Böylece çözümümüz enerji korunumu ile doğrulanır.

6. 6. Yöntem özeti

   1) Referans yönlerini seç

   2) KCL ile düğüm denklemini yaz

   3) KVL ile bağımsız çevreyi yaz

   4) Ohm kanunuyla çöz

   5) ∑P = 0 ile doğrula

   Sesli anlatım metni

   Yöntemi özetleyelim. KVL yalnızca küçük iç çevrelerde değil, izleyebildiğimiz her kapalı yolda geçerlidir. Birden çok bilinmeyen olduğunda KCL, KVL ve Ohm kanununu birlikte kullanırız. Her bağımsız bilinmeyen için yeterli sayıda bağımsız denklem yazar, sonra sistemi çözeriz. Negatif çıkan akım bir hata değildir; yalnızca gerçek yönün referans okunun tersi olduğunu gösterir. Son olarak mutlaka güç dengesi yaparız: kaynakların verdiği toplam güç, elemanların soğurduğu toplam güce eşit olmalıdır. Bir sonraki derste bağımlı kaynaklarla çalışacağız.

Kaynak video: Devre Teorisi #09 — Ohm, KCL ve KVL bir arada çözümlü örnek (20:51)