#13 التحويل أحادي الطرف، النواة المركبة، منطقة التقارب، والأزواج السببية الأساسية

تجد أدناه جميع الأسطر المكتوبة في الدفتر مع النص الكامل للشرح الصوتي.

1. 1. من الحالة المستقرة إلى الاستجابة العابرة

   

   الفازورات والممانعات تصف الحالة الجيبية المستقرة.

   لا تكفي صورة الحالة المستقرة وحدها لوصف الشحن والتفريغ بعد التشغيل.

   ماذا يحدث لحظة إغلاق مفتاح؟

   كيف يتغير جهد المكثف أثناء شحنه؟

   كيف تهتز دائرة RLC ثم تضمحل استجابتها العابرة؟

   نحتاج أداة تشمل الزمن وما بعد لحظة البداية.

   تحويل لابلاس ينقل الدالة الزمنية إلى دالة في المتغير المركب s.

   نص الشرح الصوتي

   في الدروس السابقة أنهينا تقريبا صورة التيار المتناوب في الحالة المستقرة. كنا نستخدم الفازورات والممانعة، وهذا رائع عندما تكون الإشارات جيبية، وعندما تختفي الاستجابات العابرة. لكن ماذا يحدث عند لحظة تشغيل مفتاح؟ أو عند شحن مكثف؟ أو في دائرة R L C تهتز ثم تهدأ؟ هنا نحتاج أداة أوسع. هذه الأداة هي تحويل لابلاس: ينقلنا من الزمن إلى مجال اسمه مجال s.

2. 2. من التفاضل إلى الجبر

   

   الفكرة هي نقل المعادلة من التفاضل في الزمن إلى الجبر في مجال s.

   احتفظ بالشروط الابتدائية؛ لا تختفِ لمجرد إجراء التحويل.

   مثال قاعدة المشتقة مع قيمة البداية:

   $\displaystyle F_{\mathrm{der}}\left(s\right)=s F\left(s\right)-f\left(0^{-}\right)$

   نحل المعادلة الجبرية ثم نستخدم التحويل العكسي للعودة إلى الزمن.

   الجدول أداة مساعدة؛ طريقة الحل تبدأ من نموذج المسألة وشروطها.

   نص الشرح الصوتي

   الفكرة العملية بسيطة جدا: المعادلات التفاضلية صعبة، أما المعادلات الجبرية أسهل بكثير. في الزمن قد تظهر لدينا مشتقات وتكاملات وثوابت بداية. لكن بعد تحويل لابلاس تتحول المشتقة غالبا إلى ضرب في s، وتتحول الدائرة إلى معادلة جبرية. نحل في مجال s، ثم نرجع إلى الزمن. لذلك لا نحفظ لابلاس كجدول فقط؛ نفهمه كطريقة لتحويل المسألة من حساب تفاضلي إلى جبر.

3. 3. تعريف لابلاس أحادي الطرف

   

   نستخدم لابلاس أحادي الطرف؛ 0^- يشمل النبضة إن وُجدت عند الأصل.

   التعريف مع شمول الأصل:

   $\displaystyle F\left(s\right)=\int _{0^-}^{\infty } f\left(t\right) e^{-s t} \mathrm{d}t$

   ثلاثة عناصر نميّزها في التعريف.

   الصفر هو مرجع البداية؛ المعلومات الابتدائية لا تُهمل.

   النواة التي تضرب الإشارة:

   $\displaystyle K\left(s,t\right)=e^{-s t}$

   المتغير المركب:

   $\displaystyle s=\sigma +j \omega$

   نص الشرح الصوتي

   هذا هو التعريف. تحويل لابلاس أحادي الطرف للدالة f of t يساوي التكامل من صفر إلى ما لا نهاية، للدالة f of t مضروبة في e أس ناقص s t. لاحظ ثلاث نقاط. نبدأ من t يساوي صفر، لأننا غالبا ندرس نظاما يبدأ عند لحظة محددة. العامل e أس ناقص s t هو نواة التحويل، كأنه مجس نضرب به الإشارة. وأخيرا، s ليس عددا حقيقيا فقط؛ s عدد مركب.

4. 4. المتغير المركب والنواة

   

   الجزء الحقيقي σ والجزء التخيلي ω:

   $\displaystyle s=\sigma +j \omega$

   نفصل العاملين:

   $\displaystyle e^{-s t}=e^{-\sigma t} e^{-j \omega t}$

   إذا كانت σ موجبة يتناقص الوزن الأسي؛ إذا كانت سالبة يزداد.

   بصيغة أويلر:

   $\displaystyle e^{-j \omega t}=\cos \left(\omega t\right)-j \sin \left(\omega t\right)$

   النواة الكاملة:

   $\displaystyle e^{-s t}=e^{-\sigma t}\left[\cos \left(\omega t\right)-j \sin \left(\omega t\right)\right]$

   عند σ=0 تصبح النواة جيبية مركبة؛ وجود تحويل فورييه يحتاج تقاربا مناسبا.

   لابلاس يتيح تغيير الوزن الأسي؛ لا تعوّض σ=0 خارج منطقة التقارب بلا تحقق.

   نص الشرح الصوتي

   نكتب s على الصورة: سيغما زائد j أوميغا. عندها e أس ناقص s t تنقسم إلى جزأين. الجزء e أس ناقص سيغما t يمثل التخامد أو الوزن المتناقص. والجزء الجيبي، كوساين أوميغا t ناقص j ساين أوميغا t، يمثل الدوران أو التذبذب. إذن نواة لابلاس هي جيب تمام وجيب، لكن مع تخامد. إذا جعلنا سيغما تساوي صفرا، نقترب من نواة فورييه. لهذا نقول إن لابلاس أعم من فورييه.

5. 5. تحويل الخطوة ومنطقة التقارب

   

   الزوج الأول هو الخطوة الواحدة؛ قيمتها عند نقطة الصفر وحدها لا تغيّر التكامل.

   بعد لحظة البداية:

   $\displaystyle u\left(t\right)=1,\; t>0$

   التكامل بعد التعويض:

   $\displaystyle F_{u}\left(s\right)=\int _{0}^{\infty } e^{-s t} \mathrm{d}t$

   دالة أصلية بالنسبة إلى الزمن:

   $\displaystyle A\left(t\right)=-\left(\frac{e^{-s t}}{s}\right)$

   عند اللانهاية يضمحل الحد بشرط:

   $\displaystyle \sigma >0$

   قيمة الدالة الأصلية عند الصفر:

   $\displaystyle A\left(0\right)=-\frac{1}{s}$

   فرق الحدين:

   $\displaystyle F_{u}\left(s\right)=0-\left(-\frac{1}{s}\right)=\frac{1}{s}$

   منطقة التقارب هي قيم s التي ينجح عندها التكامل؛ هنا الجزء الحقيقي σ>0.

   نص الشرح الصوتي

   نبدأ بأول زوج مهم: الدالة الخطوية u of t. من صفر إلى ما لا نهاية، قيمة u of t تساوي واحدا. إذن التكامل يصبح تكامل e أس ناقص s t. تكامله يعطينا ناقص واحد على s في e أس ناقص s t. عند ما لا نهاية يختفي هذا الحد إذا كان الجزء الحقيقي من s أكبر من صفر. وعند الصفر نحصل على ناقص واحد على s. إذن النتيجة: u of t تتحول إلى واحد على s. والشرط Re of s أكبر من صفر يسمى منطقة التقارب.

6. 6. تحويل النبضة عند الأصل

   

   النبضة δ(t) عند الأصل توزيع ذو مساحة واحدة، وليست دالة ذات ارتفاع محدود.

   خاصية الانتقاء لدالة منتظمة عند الصفر:

   $\displaystyle \int _{0^-}^{\infty } \delta \left(t\right) g\left(t\right) \mathrm{d}t=g\left(0\right)$

   نختار الدالة المنتقاة:

   $\displaystyle g\left(t\right)=e^{-s t}$

   التقييم عند الأصل:

   $\displaystyle g\left(0\right)=e^{0}=1$

   تحويل النبضة:

   $\displaystyle F_{\delta }\left(s\right)=1$

   هذا الزوج يصح لكل s مركب؛ وهو أساس الاستجابة النبضية في الأنظمة الخطية.

   نص الشرح الصوتي

   الزوج الثاني هو الدلتا، أو النبضة عند الأصل. هنا نستخدم خاصية الانتقاء: تكامل دلتا t مضروبة في أي دالة، يساوي قيمة تلك الدالة عند t يساوي صفر. في تحويل لابلاس، الدالة التي بجانب دلتا هي e أس ناقص s t. عند t يساوي صفر تصبح e أس صفر، أي واحد. لذلك تحويل دلتا t يساوي واحدا. هذه نتيجة قصيرة، لكنها مهمة جدا عندما ندرس الاستجابة النبضية والدالة الناقلة.

7. 7. تحويل الدالة الأسية

   

   الزوج الأسي السببي، مع a حقيقي:

   $\displaystyle f\left(t\right)=e^{-a t} u\left(t\right)$

   التعويض داخل التكامل:

   $\displaystyle F\left(s\right)=\int _{0}^{\infty } e^{-a t} e^{-s t} \mathrm{d}t$

   جمع الأسس مع حفظ القوس:

   $\displaystyle e^{-a t} e^{-s t}=e^{-(s+a)t}$

   نفس التكامل بعد الإزاحة:

   $\displaystyle F\left(s\right)=\int _{0}^{\infty } e^{-(s+a)t} \mathrm{d}t$

   تقييم الحدين في منطقة التقارب:

   $\displaystyle F\left(s\right)=0-\left(-\frac{1}{s+a}\right)=\frac{1}{s+a}$

   إذا كان a موجبا فالأسية تتخامد؛ الضرب بها يستبدل s بمقدار s+a في التحويل.

   منطقة التقارب لهذا الزوج، مع a حقيقي:

   $\displaystyle \sigma >-a$

   نص الشرح الصوتي

   الزوج الثالث هو e أس ناقص a t مضروبة في u of t. نضعها داخل التكامل، فنحصل على e أس ناقص a t مضروبة في e أس ناقص s t. بجمع الأسس تصبح e أس ناقص s زائد a في t. هذه هي نفس مسألة الدالة الخطوية، لكن بدلا من s لدينا s زائد a. إذن النتيجة واحد على s زائد a. ومعنى ذلك أن التخامد a في الزمن يظهر كإزاحة في مجال s. ومنطقة التقارب هي Re of s أكبر من ناقص a.

8. 8. أزواج الجيب وجيب التمام

   

   نحوّل الجيب وجيب التمام بعد ضربهما في u(t)، مع ω حقيقي وσ>0.

   صيغة أويلر لجيب التمام:

   $\displaystyle \cos \left(\omega t\right)=\frac{e^{j \omega t}+e^{-j \omega t}}{2}$

   تجميع كسري جيب التمام:

   $\displaystyle F_{\mathrm{cos}}\left(s\right)=\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{s-j \omega }+\frac{1}{s+j \omega }\right)$

   بعد توحيد المقام:

   $\displaystyle F_{\mathrm{cos}}\left(s\right)=\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{2 s}{s^{2}+\omega ^{2}}\right)=\frac{s}{s^{2}+\omega ^{2}}$

   الفرق الأسي للجيب:

   $\displaystyle F_{\mathrm{sin}}\left(s\right)=\left(\frac{1}{2 j}\right)\left(\frac{1}{s-j \omega }-\frac{1}{s+j \omega }\right)=\frac{\omega }{s^{2}+\omega ^{2}}$

   المقام المشترك يأتي من:

   $\displaystyle \left(s-j \omega \right)\left(s+j \omega \right)=s^{2}+\omega ^{2}$

   نص الشرح الصوتي

   الآن نضيف زوجين سنستعملهما كثيرا. باستخدام صيغة أويلر، نكتب كوساين أوميغا t كمجموع أسيين مركبين، ونكتب ساين أوميغا t كفرق أسيين مركبين. كل أسي مركب يعامل مثل الزوج السابق، ثم نجمع الكسور. النتيجة المختصرة: كوساين أوميغا t مع u of t يتحول إلى s على s تربيع زائد أوميغا تربيع. وساين أوميغا t يتحول إلى أوميغا على s تربيع زائد أوميغا تربيع. لا تقلق من الاختصار الآن؛ المهم أن ترى شكل المقام المشترك.

9. 9. الأزواج الأساسية

   

   نلخص الأزواج السببية؛ a وω حقيقيان، مع شروط التقارب الموضحة سابقا.

   للنبضة عند الأصل:

   $\displaystyle F_{\delta }\left(s\right)=1$

   للخطوة:

   $\displaystyle F_{u}\left(s\right)=\frac{1}{s}$

   للأسية السببية:

   $\displaystyle F_{\mathrm{exp}}\left(s\right)=\frac{1}{s+a}$

   للدالة t مضروبة في الخطوة:

   $\displaystyle F_{\mathrm{ramp}}\left(s\right)=\frac{1}{s^{2}}$

   لجيب التمام السببي:

   $\displaystyle F_{\mathrm{cos}}\left(s\right)=\frac{s}{s^{2}+\omega ^{2}}$

   للجيب السببي:

   $\displaystyle F_{\mathrm{sin}}\left(s\right)=\frac{\omega }{s^{2}+\omega ^{2}}$

   خارج زوج النبضة، يجب إرفاق الصيغة بمنطقة تقاربها؛ الجدول بداية أدوات الحل.

   نص الشرح الصوتي

   لنضع الأزواج الأساسية في جدول واحد. دلتا t تتحول إلى واحد. u of t تتحول إلى واحد على s. e أس ناقص a t تتحول إلى واحد على s زائد a. t في u of t تتحول إلى واحد على s تربيع. كوساين أوميغا t يتحول إلى s على s تربيع زائد أوميغا تربيع. وساين أوميغا t يتحول إلى أوميغا على نفس المقام. هذه ليست نهاية لابلاس، لكنها الأدوات الأولى التي سنبني عليها كل الدروس التالية.

10. 10. التكامل المركب عند نقطة محددة

    

    الصورة الهندسية تمثل القيم المركبة للمكامل مع تغير الزمن؛ ليست مسار تكامل في الفضاء.

    الإشارة السببية في المثال:

    $\displaystyle f\left(t\right)=e^{-0.3 t} u\left(t\right)$

    نقطة التقييم والنواة:

    $\displaystyle s_{0}=0.5+j 2,\; f\left(t\right)e^{-s_0 t}=e^{-(0.8+j 2)t},\; t\ge 0$

    المحور الأفقي يمثل الزمن t؛ المقاييس في الرسم توضيحية.

    المركبة الحقيقية للمكامل:

    $\displaystyle r\left(t\right)=e^{-0.8 t} \cos \left(2 t\right)$

    المركبة التخيلية للمكامل:

    $\displaystyle m\left(t\right)=-e^{-0.8 t} \sin \left(2 t\right)$

    الغلاف يتناقص بمعدل 0.8، والزاوية تتغير بمعدل −2 rad/s مع الزمن.

    نكامل القيم المركبة بالنسبة إلى dt، لا طول اللولب:

    $\displaystyle F\left(s_{0}\right)=\frac{1}{0.8+j 2}\approx 0.172414-j 0.431034$

    نص الشرح الصوتي

    انظر إلى المعنى الهندسي. لدينا f of t تساوي e أس ناقص صفر فاصلة ثلاثة t. عندما نضربها في نواة لابلاس e أس ناقص s t، مع s يساوي صفر فاصلة خمسة زائد j اثنين، لا نحصل على رقم مباشرة في الرسم؛ نحصل على منحنى لولبي في الفضاء. محور x هو الزمن. محور y هو الجزء الحقيقي. ومحور z هو الجزء التخيلي. التخامد يجعل اللولب يصغر مع الزمن، وأوميغا تجعله يدور. تحويل لابلاس عند هذه النقطة s هو تكامل هذا المسار، أي تلخيص الإشارة كلها في عدد مركب واحد.

11. 11. الخلاصة

    

    لابلاس يربط f(t) بدالة F(s) على منطقة تقارب محددة.

    نحوّل معادلات التفاضل إلى جبر مع الاحتفاظ بالشروط الابتدائية.

    نواة التحويل وزن أسي وتذبذب؛ كلمة تخامد تفترض σ>0.

    الأزواج الثلاثة الأولى:

    $\displaystyle F_{u}\left(s\right)=\left(\frac{1}{s}\right),\; F_{\delta }\left(s\right)=1,\; F_{\mathrm{exp}}\left(s\right)=\frac{1}{s+a}$

    التالي: خصائص الإزاحة والتفاضل والتكامل في مجال s.

    نص الشرح الصوتي

    الخلاصة: تحويل لابلاس يأخذ دالة في الزمن ويحولها إلى دالة في المتغير المركب s. الفائدة العملية أنه يجعل كثيرا من المعادلات التفاضلية معادلات جبرية. النواة e أس ناقص s t تجمع بين التخامد والتذبذب، ولذلك تستطيع وصف الاستجابة العابرة والحالة المستقرة معا. احفظ الأزواج الأولى: u of t إلى واحد على s، دلتا t إلى واحد، و e أس ناقص a t إلى واحد على s زائد a. في الدرس القادم نضيف خصائص الإزاحة والاشتقاق والتكامل في مجال s.

الفيديو المصدر: نظرية الدوائر 2 #13 - تحويل لابلاس: التعريف والخطوة والنبضة (6:44)