#14 التأخير، الضرب في أسية، شروط البداية، التكامل، الضرب في الزمن وحل معادلة تفاضلية

تجد أدناه جميع الأسطر المكتوبة في الدفتر مع النص الكامل للشرح الصوتي.

1. 1. من الأزواج إلى الخصائص

   

   نستعمل أزواج الدرس السابق مع شروط تقاربها؛ الخطوة والنبضة والأسية السببية.

   هدفنا تعديل الإشارة انطلاقا من تحويل معروف، لا إعادة كل تكامل من البداية.

   سنميز التأخير الزمني عن إزاحة المتغير المركب، ثم ندرس التفاضل والتكامل.

   استعمل الجدول مع شروط البداية والتقارب؛ تشابه الشكل وحده لا يكفي.

   نص الشرح الصوتي

   في الدرس السابق عرفنا تحويل لابلاس، وبنينا الأزواج الأساسية الأولى: الدالة الخطوية تتحول إلى واحد على s، والدلتا تتحول إلى واحد، و e أس ناقص a t تتحول إلى واحد على s زائد a. اليوم لا نحسب تكاملات جديدة فقط؛ بل نضيف أدوات تحريك وتحويل. سنرى الإزاحة في الزمن، والإزاحة في مجال s، والتفاضل، والتكامل. هذه القواعد تجعلنا نحول إشارات كثيرة بمجرد النظر إلى الجدول.

2. 2. التأخير الزمني

   

   الخاصية الأولى تأخير غير سالب؛ هنا a زمن بوحدة الثانية.

   الإشارة المؤخرة وتحويلها المسمى G_d:

   $\displaystyle g_{d}\left(t\right)=f\left(t-a\right) u\left(t-a\right),\; a\ge 0$

   الخطوة تلغي ما قبل a:

   $\displaystyle G_{d}\left(s\right)=\int _{a}^{\infty } f\left(t-a\right) e^{-s t} \mathrm{d}t$

   التعويض وحدوده:

   $\displaystyle \tau =t-a,\; t=\tau +a,\; \mathrm{d}t=\mathrm{d}\tau$

   إخراج العامل المستقل عن τ:

   $\displaystyle G_{d}\left(s\right)=e^{-a s} \int _{0}^{\infty } f\left(\tau \right)e^{-s \tau } \mathrm{d}\tau$

   التكامل المتبقي هو F:

   $\displaystyle G_{d}\left(s\right)=e^{-a s} F\left(s\right)$

   نص الشرح الصوتي

   نبدأ بقاعدة الإزاحة الزمنية. إذا كان لدينا f of t وتحويلها F of s، ثم أخرنا الإشارة بمقدار a ثانية، نكتب f of t minus a مضروبة في u of t minus a. الدالة الخطوية تجعل الإشارة تبدأ عند t يساوي a، لذلك حد التكامل السفلي يصبح a. نغير المتغير: تاو يساوي t ناقص a. عندها يظهر العامل e أس ناقص a s خارج التكامل، ويبقى داخل التكامل التحويل العادي للدالة f. إذن التأخير في الزمن يصبح ضربا في e أس ناقص a s في مجال s.

3. 3. إزاحة المتغير المركب

   

   الخاصية الثانية تغير الوزن الأسي؛ هنا a حقيقي ووحدته مقلوب الثانية.

   نعرّف الإشارة الجديدة:

   $\displaystyle g_{e}\left(t\right)=e^{-a t} f\left(t\right)$

   نحفظ القوس عند جمع الأسس:

   $\displaystyle e^{-a t} e^{-s t}=e^{-(s+a)t}$

   التكامل بنفس الشكل مع متغير مزاح:

   $\displaystyle G_{e}\left(s\right)=\int _{0}^{\infty } f\left(t\right)e^{-(s+a)t} \mathrm{d}t=F\left(s+a\right)$

   إذا كانت منطقة F هي σ>c فالجديدة σ>c−a؛ هذا وزن أسي لا تأخير زمني.

   نص الشرح الصوتي

   القاعدة الثانية هي إزاحة s، وتسمى أحيانا إزاحة التردد المركب. إذا ضربنا f of t في e أس ناقص a t، ماذا يحدث؟ نضعها داخل تكامل لابلاس ونجمع الأسس: e أس ناقص a t في e أس ناقص s t تساوي e أس ناقص s زائد a في t. هذا يعني أن شكل التحويل لم يتغير، لكن s استبدلت ب s زائد a. إذن الضرب في أسية داخل الزمن ينقل الدالة في مجال s.

4. 4. التفاضل وشروط البداية

   

   نحوّل المشتقة العادية بعد البداية؛ f(0+) هو الحد الأيمن المستعمل هنا.

   احتفظ بقيمة البداية كي لا تفقد الاستجابة الناتجة عن الطاقة المختزنة.

   نبدأ بالتكامل بالأجزاء:

   $\displaystyle F_{\mathrm{der}}\left(s\right)=\int _{0^+}^{\infty } f'\left(t\right)e^{-s t} \mathrm{d}t$

   حد اللانهاية صفر في منطقة التقارب:

   $\displaystyle F_{\mathrm{der}}\left(s\right)=0-f\left(0^{+}\right)+s \int _{0}^{\infty } f\left(t\right)e^{-s t} \mathrm{d}t$

   قاعدة المشتقة الأولى:

   $\displaystyle F_{\mathrm{der}}\left(s\right)=s F\left(s\right)-f\left(0^{+}\right)$

   بتطبيق القاعدة مرة ثانية:

   $\displaystyle F_{\mathrm{second}}\left(s\right)=s^{2} F\left(s\right)-s f\left(0^{+}\right)-f'\left(0^{+}\right)$

   ليست المشتقة مجرد ضرب في s؛ تسقط حدود البداية فقط إذا كانت قيمها صفرا.

   نص الشرح الصوتي

   الآن قاعدة التفاضل في الزمن. هذه أهم قاعدة عندما نحول معادلات تفاضلية إلى جبر. نأخذ تحويل لابلاس ل f prime of t، ونطبق التكامل بالأجزاء. الحد الحدودي يعطينا ناقص f عند الصفر، والتكامل الباقي يصبح s مضروبة في F of s. لذلك تحويل f prime of t يساوي s F of s ناقص f of zero. وإذا كان لدينا مشتقة ثانية، تظهر s تربيع F of s، ثم تصحيحات الشروط الابتدائية: ناقص s f of zero، وناقص f prime of zero. كل مشتقة تتحول إلى قوة من s، ومعها شروط البداية.

5. 5. التكامل من الصفر

   

   نعرّف التكامل من الصفر؛ لا يوجد ثابت ابتدائي إضافي هنا.

   التعريف وشرطا الاشتقاق والبداية:

   $\displaystyle g\left(t\right)=\int _{0}^{t} f\left(\tau \right) \mathrm{d}\tau ,\; g'\left(t\right)=f\left(t\right),\; g\left(0^{+}\right)=0$

   تطبيق قاعدة المشتقة على g:

   $\displaystyle G_{\mathrm{der}}\left(s\right)=s G\left(s\right)-g\left(0^{+}\right)$

   نعوّض المشتقة وقيمة البداية:

   $\displaystyle F\left(s\right)=s G\left(s\right)-0=s G\left(s\right)$

   القسمة تعطي تحويل التكامل:

   $\displaystyle G\left(s\right)=\frac{F\left(s\right)}{s}$

   قاعدة الاختصار مرتبطة بشروط البداية؛ للتكامل يكفي تقاطع منطقة F مع σ>0 وقد تتسع بالتبسيط.

   نص الشرح الصوتي

   قاعدة التكامل هي الصورة المقابلة للتفاضل. إذا عرفنا g of t على أنها تكامل f من صفر إلى t، فإن مشتقة g تساوي f، و g عند الصفر تساوي صفر. نستخدم قاعدة التفاضل على g: تحويل g prime هو s G of s ناقص g of zero. وبما أن g prime هي f، نحصل على F of s يساوي s G of s. إذن G of s يساوي F of s مقسومة على s. الخلاصة العملية: التفاضل يضرب في s، والتكامل يقسم على s.

6. 6. الضرب في الزمن

   

   الضرب في الزمن يقابل تفاضلا بالنسبة إلى المتغير s، وليس بالنسبة إلى t.

   تحويل الإشارة t f(t)، والشرطة مشتقة بالنسبة إلى s:

   $\displaystyle F_{\mathrm{tf}}\left(s\right)=-F'\left(s\right)$

   نبدأ من تحويل الخطوة في σ>0:

   $\displaystyle F_{u}\left(s\right)=\frac{1}{s}$

   مشتقة 1/s هي −1/s² ثم نعكس الإشارة:

   $\displaystyle F_{\mathrm{ramp}}\left(s\right)=-\left(-\frac{1}{s^{2}}\right)=\frac{1}{s^{2}}$

   النتيجة تخص t u(t) وتبقى منطقة تقاربها σ>0.

   نص الشرح الصوتي

   هناك قاعدة إضافية مفيدة جدا. إذا ضربنا f of t في t داخل الزمن، فهذا يقابل في مجال s أخذ سالب مشتقة F of s بالنسبة إلى s. مثال سريع: نعرف أن u of t تتحول إلى واحد على s. إذن t u of t تتحول إلى سالب مشتقة واحد على s، أي واحد على s تربيع. هكذا حصلنا على زوج جديد من دون حساب التكامل من البداية.

7. 7. ملخص الخصائص وشروطها

   

   الجدول مرجع للخصائص؛ استعمل كل قاعدة ضمن شروطها الموضحة.

   للتأخير a≥0 مع الخطوة المؤخرة:

   $\displaystyle G_{d}\left(s\right)=e^{-a s} F\left(s\right)$

   للإشارة e^(−at)f(t)، مع a حقيقي:

   $\displaystyle G_{e}\left(s\right)=F\left(s+a\right)$

   المشتقة الأولى بعد البداية:

   $\displaystyle F_{\mathrm{der}}\left(s\right)=s F\left(s\right)-f\left(0^{+}\right)$

   المشتقة الثانية بعد البداية:

   $\displaystyle F_{\mathrm{second}}\left(s\right)=s^{2} F\left(s\right)-s f\left(0^{+}\right)-f'\left(0^{+}\right)$

   للتكامل من الصفر وقيمة بداية صفرية:

   $\displaystyle G\left(s\right)=\frac{F\left(s\right)}{s}$

   الشرطة مشتقة بالنسبة إلى s:

   $\displaystyle F_{\mathrm{tf}}\left(s\right)=-F'\left(s\right)$

   إذا كانت g_a(t)=f(at) ومعامل المقياس a>0:

   $\displaystyle G_{a}\left(s\right)=\left(\frac{1}{a}\right) F\left(\frac{s}{a}\right)$

   تغيير مقياس الزمن لا يغير المعامل فقط؛ يغير حجة F أيضا إلى s/a.

   نص الشرح الصوتي

   لنضع القواعد في جدول واحد. الإزاحة الزمنية تضيف العامل e أس ناقص a s. الضرب في e أس ناقص a t يستبدل s ب s زائد a. المشتقة الأولى تعطي s F of s ناقص قيمة البداية. المشتقة الثانية تضيف حدود البداية من الدرجة الأولى. التكامل يقسم على s. والضرب في t يعني سالب الاشتقاق بالنسبة إلى s. وتغيير مقياس الزمن يعطي عامل واحد على a. هذه القواعد، مع الأزواج الأساسية، هي صندوق أدواتنا قبل حل الدوائر في مجال s.

8. 8. حل معادلة تفاضلية

   

   نحل معادلة للزمن الموجب مع قيمة البداية من اليمين.

   المعطيات:

   $\displaystyle y'\left(t\right)+2 y\left(t\right)=0,\; t>0,\; y\left(0^{+}\right)=1$

   نسمّي تحويل y بالرمز Y؛ الخطية تحوّل كل حد على حدة.

   إدخال شرط البداية قبل التعويض:

   $\displaystyle s Y\left(s\right)-y\left(0^{+}\right)+2 Y\left(s\right)=0$

   نعوّض القيمة المعطاة:

   $\displaystyle s Y\left(s\right)-1+2 Y\left(s\right)=0$

   نضيف 1 ثم نأخذ Y عاملا مشتركا:

   $\displaystyle \left(s+2\right) Y\left(s\right)=1$

   نقسم الطرفين على العامل:

   $\displaystyle Y\left(s\right)=\frac{1}{s+2}$

   من زوج الأسية؛ يتناقص الحل من الواحد:

   $\displaystyle y\left(t\right)=e^{-2 t},\; t\ge 0$

   نص الشرح الصوتي

   نختم بمثال صغير يوضح لماذا كل هذا مهم. لدينا المعادلة: y prime of t زائد 2 y of t يساوي صفر، ومع الشرط الابتدائي y of zero يساوي واحد. نأخذ تحويل لابلاس للطرفين. قاعدة التفاضل تعطينا s Y of s ناقص y of zero، ثم نضيف 2 Y of s. نعوض y of zero بواحد، فنحصل على s Y of s ناقص واحد زائد 2 Y of s يساوي صفر. نجمع الحدود: s زائد 2 مضروبة في Y of s تساوي واحد. إذن Y of s يساوي واحد على s زائد 2. من زوج الأسية في الدرس السابق، النتيجة في الزمن هي y of t يساوي e أس ناقص 2 t.

9. 9. الخلاصة

   

   ثلاث أفكار نحتفظ بها بعد هذا المثال.

   التأخير يضرب التحويل في أسية؛ الوزن الأسي يغير حجة التحويل، وهما عمليتان مختلفتان.

   في المشتقة لا تنس قيم البداية؛ وفي التكامل من الصفر تستعمل القسمة على s.

   فحص المثال:

   $\displaystyle y'\left(t\right)=-2 e^{-2 t},\; y'\left(t\right)+2 y\left(t\right)=0,\; y\left(0^{+}\right)=1$

   التالي: تحويل لابلاس العكسي والكسور الجزئية؛ نرجع من الجبر إلى الزمن.

   نص الشرح الصوتي

   الخلاصة في ثلاث نقاط. أولا: الإزاحة الزمنية تعطي e أس ناقص a s، والضرب في أسية داخل الزمن يزيح s. ثانيا: التفاضل في الزمن يضرب في s ويجلب الشروط الابتدائية، أما التكامل فيقسم على s. ثالثا: عندما نأخذ تحويل لابلاس لمعادلة تفاضلية، تتحول إلى معادلة جبرية في Y of s أو I of s أو V of s. في الدرس القادم نرجع من مجال s إلى الزمن: تحويل لابلاس العكسي والكسور الجزئية.

الفيديو المصدر: نظرية الدوائر 2 #14 - خصائص تحويل لابلاس: الإزاحة والتفاضل والتكامل (6:04)