التصميم الرقمي · البوابات المنطقية وجداول الحقيقة

#03 حل جميع صفوف دائرة AND وOR وNOT بثلاثة مداخل

حوّل قواعد البوابات إلى جداول كاملة، واحسب دائرة بثلاثة مداخل، وفسر شمول شبكات NAND وNOR.

السؤال

إطار كامل من الفيديو العربي الأصلي يعرض دالة بوابة أو جداول الحقيقة أو دائرة AND وOR وNOT المحلولة؛ يحتفظ بالرموز والحروف الأصلية. — يستخدم النموذج مداخل ثنائية صالحة. يجمع المثال A AND B مع NOT C ببوابة OR شاملة. لكل تركيب من المداخل خرج محدد، والجدول ذو الصفوف الثمانية يعرض كل الحالات.

استخدم نموذج الدائرة التوافقية البوليانية المثالية مع مداخل ثنائية صالحة وثابتة وبعد استقرار الانتشار. اشرح NOT وAND وOR الشامل وNAND وNOR وXOR ذي المدخلين، واكتب جدول كل بوابة كاملا. لعدد n من المداخل الثنائية المستقلة يحتوي الجدول غير المضغوط على 2^n من تركيبات المداخل. كل بت خرج دالة محددة في المداخل الحالية. لا يعني هذا النموذج زمنا فيزيائيا صفريا للانتشار، أو صلاحية الجهد خارج حدود الدخل، أو غياب النبضات العابرة. أما الدائرة التسلسلية فتعتمد أيضا على الحالة المخزنة وهي خارج هذا المثال. حل Y=(A AND B) OR (NOT C). احسب P=A AND B وQ=NOT C قبل OR النهائية. استخدم الصفوف (A,B,C)=000,001,010,011,100,101,110,111 بالترتيب. عمود P هو 0,0,0,0,0,0,1,1؛ وعمود Q هو 1,0,1,0,1,0,1,0؛ وعمود Y هو 1,0,1,0,1,0,1,1. عندما تكون C=0 يفرض Q=1 الخرج Y=1 مهما كانت A وB. وعندما تكون C=1 يصبح Q=0 ويساوي الخرج A AND B؛ ضمن هذه الحالة وحدها يعطي الصف 111 واحدا. الصف 110 يعطي واحدا أيضا لكنه ينتمي إلى حالة C=0. الخرج صفر بالضبط في الصفوف 001 و011 و101. لا تستبدل OR النهائية ببوابة AND أوXOR. الجمع والطرح والضرب في المعادلات المعروضة عمليات حسابية عادية على متغيرات لا تأخذ إلا 0 أو1. لذلك NOT(A)=1−A، وAND(A,B)=A·B، وOR(A,B)=A+B−A·B، وNAND(A,B)=1−A·B، وNOR(A,B)=(1−A)·(1−B)، وXOR(A,B)=A+B−2·A·B. ومن ثم Y=P+Q−P·Q=A·B+(1−C)−A·B·(1−C)=1−C+A·B·C. قد تعني علامة الجمع في ترميز الجبر البولياني OR الشامل بدلا من الجمع العددي؛ ميز الاصطلاحين بوضوح. في الحساب العادي 1+1=2، بينما 1 OR 1=1. تعني XOR اختلاف القيم لمدخلين؛ أما تكرار XOR على أكثر من مدخل فيحسب فردية عدد الآحاد، وليس شرط اختلاف جميع المداخل. تكون كل من NAND وNOR شاملة وظيفيا عندما نسمح بعدة بوابات وتوصيلات عادية، ومنها وصل مدخلي بوابة بالإشارة نفسها. لا تحقق بوابة منفردة ذات مدخلين دالة اعتباطية ذات عدد أكبر من المداخل. باستخدام NAND فقط، احصل على NOT A من NAND(A,A)، ثم AND بعكس خرج NAND، وOR بإدخال القيم المعكوسة إلى NAND. وباستخدام NOR فقط، احصل على NOT A من NOR(A,A)، ثم OR بعكس خرج NOR، وAND بإدخال القيم المعكوسة إلى NOR. تكفي هذه التركيبات مع تمثيل مجموع الحدود الجداء لإثبات الشمول. هذا إثبات لإمكان البناء المنطقي، ولا يضمن أقل مساحة أو أقصر تأخير أو انعدام الأخطار الزمنية. الرسم الأول للقاعدة تخطيطي ويترك الدالة f غير محددة؛ علامة الاستفهام ليست قيمة منطقية إضافية. تعرض بطاقات البوابات رموزا مستقلة وجداولها، وليست تلك البطاقات شبكة موصولة. أما المثال المحلول فيوصل A وB إلى AND، ويوصل C إلى NOT، ثم يوصل الناتجين إلى OR. افحص التوصيلات والجدول الكامل معا. العناوين التفسيرية في الفيديو عربية، مع أسماء البوابات والرموز اللاتينية الأصلية؛ احتفظ بدلالتها. قيد النتيجة بالنموذج الثنائي المعطى.

الحل المكتوب ونص الشرح(يعرض الحل كاملًا)

تجد أدناه جميع الأسطر المكتوبة في الدفتر مع النص الكامل للشرح الصوتي.

1. البوابات بوصفها دوال
يستخدم النموذج مداخل ثنائية صالحة. يجمع المثال A AND B مع NOT C ببوابة OR شاملة. لكل تركيب من المداخل خرج محدد، والجدول ذو الصفوف الثمانية يعرض كل الحالات.
نعرّف البوابة المنطقية بوصفها دالة على البتات.
تطبق البوابة قاعدة محددة على مدخل ثنائي واحد أو أكثر وتنتج بت خرج.
نسمي المداخل A وB وC عند الحاجة، ونسمي الخرج Y.
يعتمد النموذج المنطقي المثالي على قيم البتات الصالحة، لا على استخدامها السابق.
تعطي المداخل الثابتة الصالحة نفسها الخرج نفسه بعد استقرار الدائرة.
دالة بوابة بمدخلين:
$\displaystyle Y = f\left(A, B\right)$
نص الشرح الصوتي
لنعرّف أولا البوابة المنطقية من البداية. تستقبل البوابة بتا واحدا أو أكثر، وتطبق قاعدة محددة مسبقا، ثم تنتج بت خرج واحدا. نسمي المداخل عادة A و B، ونضيف C عند الحاجة، بينما نسمي الخرج Y. لا تعرف البوابة مصدر البت؛ فهي ترى فقط صفرا أو واحدا. وعندما نعطيها قيم المداخل نفسها يجب أن تنتج الخرج نفسه في كل مرة. لذلك يمكن تمثيلها بالدالة Y تساوي f للمدخلين A و B.
2. البوابات الأساسية
يستخدم النموذج مداخل ثنائية صالحة. يجمع المثال A AND B مع NOT C ببوابة OR شاملة. لكل تركيب من المداخل خرج محدد، والجدول ذو الصفوف الثمانية يعرض كل الحالات.
نراجع NOT وAND وOR الشامل.
قاعدة العاكس لدخل ثنائي:
$\displaystyle Y = 1-A$
خرج AND لمدخلين؛ كلاهما واحد شرط لازم وكاف:
$\displaystyle Y = A\cdot B$
وجود مدخل صفر يجعل خرج AND صفرا.
خرج OR الشامل لمدخلين بالحساب العادي على البتات:
$\displaystyle Y = A+B-A\cdot B$
تسرد الجداول الصغيرة كل حالات المداخل والخرج لكل بوابة.
نص الشرح الصوتي
نبدأ بثلاث بوابات أساسية. تعكس NOT بتا واحدا: يتحول الصفر إلى واحد، والواحد إلى صفر. أما AND فقاعدتها صارمة؛ لا يكون الخرج واحدا إلا إذا كانت جميع المداخل واحدا. وإذا كان أي مدخل صفرا يصبح الخرج صفرا. وتعطي OR واحدا عندما يكون مدخل واحد على الأقل واحدا، ولا تعطي صفرا إلا عندما تكون جميع المداخل صفرا. تعرض الجداول الصغيرة كل الحالات الممكنة لهذه القواعد.
3. بناء جدول الحقيقة
يستخدم النموذج مداخل ثنائية صالحة. يجمع المثال A AND B مع NOT C ببوابة OR شاملة. لكل تركيب من المداخل خرج محدد، والجدول ذو الصفوف الثمانية يعرض كل الحالات.
يحدد جدول الحقيقة السلوك المنطقي الكامل للدائرة التوافقية.
اكتب كل تركيب للمداخل ثم اكتب خرجه دون إسقاط أي حالة.
عدد الصفوف لعدد n من المداخل الثنائية المستقلة:
$\displaystyle N = 2^{n}$
صفوف المدخلين هي 00 و01 و10 و11؛ عددها:
$\displaystyle N = 2^{2} = 4$
يعطي AND واحدا في صف 11 فقط، ويعطي OR واحدا في كل صف عدا 00.
نص الشرح الصوتي
جدول الحقيقة هو العقد الدقيق لسلوك البوابة أو الدائرة التوافقية. نكتب أولا كل تركيبات المداخل من دون أن نفقد أي حالة، ثم نكتب الخرج المطلوب أمام كل تركيب. إذا كان لدينا n من المداخل، ولكل مدخل قيمتان، فإن عدد الصفوف هو اثنان أس n. لمُدخلين لدينا أربعة صفوف: صفر صفر، صفر واحد، واحد صفر، وواحد واحد. تعطي AND واحدا في الصف الأخير فقط، بينما تعطي OR واحدا في كل صف ما عدا صف صفر صفر.
4. حل مثال بثلاثة مداخل
يستخدم النموذج مداخل ثنائية صالحة. يجمع المثال A AND B مع NOT C ببوابة OR شاملة. لكل تركيب من المداخل خرج محدد، والجدول ذو الصفوف الثمانية يعرض كل الحالات.
المثال بالحساب العادي على البتات:
$\displaystyle Y = A\cdot B+\left(1-C\right)-A\cdot B\cdot \left(1-C\right)$
احسب الإشارات الوسيطة قبل عمود الخرج النهائي.
عمود AND الوسيط:
$\displaystyle P = A\cdot B$
عمود عكس C:
$\displaystyle Q = 1-C$
اجمع الإشارتين بعملية OR الشاملة:
$\displaystyle Y = P+Q-P\cdot Q$
عندما تكون C صفرا يكون Q واحدا، ولذلك يكون Y واحدا لكل قيمتي A وB.
عندما تكون C واحدا يكون Q صفرا، فيساوي Y خرج AND؛ ضمن هذه الحالة لا يعطي واحدا إلا صف 111.
كرر ترتيب الحساب نفسه في الصفوف الثمانية للتحقق من كل خرج.
نص الشرح الصوتي
لنحل العبارة Y تساوي A AND B، OR NOT C خطوة بخطوة. لا نبدأ بكتابة Y مباشرة. نحسب أولا العمود الوسيط A AND B. ثم نعكس C ونملأ عمود NOT C. وأخيرا نجمع النتيجتين الوسيطتين بعملية OR. عندما تكون C صفرا تصبح NOT C واحدا، فيكون Y واحدا تلقائيا. وعندما تكون C واحدا تصبح NOT C صفرا، فلا يصبح Y واحدا إلا إذا كان A و B كلاهما واحدا. اتباع الترتيب نفسه في كل صف يقلل أخطاء الحساب.
5. NAND وNOR وXOR
يستخدم النموذج مداخل ثنائية صالحة. يجمع المثال A AND B مع NOT C ببوابة OR شاملة. لكل تركيب من المداخل خرج محدد، والجدول ذو الصفوف الثمانية يعرض كل الحالات.
نضيف NAND وNOR وXOR إلى قواعد البوابات.
خرج NAND لمدخلين؛ صفر فقط عندما يكون كلاهما واحدا:
$\displaystyle Y = 1-A\cdot B$
خرج NOR لمدخلين؛ واحد فقط عندما يكون كلاهما صفرا:
$\displaystyle Y = \left(1-A\right)\cdot \left(1-B\right)$
خرج XOR لمدخلين؛ واحد عند اختلافهما:
$\displaystyle Y = A+B-2\cdot A\cdot B$
تعني الدائرة الصغيرة عند خرج رمز NAND أوNOR عكس الخرج.
يمكن لشبكات من بوابات NAND وحدها أوNOR وحدها بناء أي دالة بوليانية منتهية.
نص الشرح الصوتي
نضيف الآن ثلاث بوابات شائعة. تعكس NAND نتيجة AND، ولذلك يكون خرجها صفرا فقط عندما تكون كل المداخل واحدا. وتعكس NOR نتيجة OR، ولذلك يكون خرجها واحدا فقط عندما تكون كل المداخل صفرا. أما XOR فهي كاشف اختلاف: تعطي واحدا عندما يختلف المدخلان، وصفرا عندما يتساويان. الدائرة الصغيرة عند خرج رمز NAND أو NOR تعني العكس. وسنرى لاحقا أن NAND و NOR تستطيعان كل منهما بناء أي دالة Boolean.
6. مراجعة سلوك الدائرة
يستخدم النموذج مداخل ثنائية صالحة. يجمع المثال A AND B مع NOT C ببوابة OR شاملة. لكل تركيب من المداخل خرج محدد، والجدول ذو الصفوف الثمانية يعرض كل الحالات.
نجمع ثلاث طرق للنظر إلى المنطق التوافقي.
البوابات تحقق دوال بوليانية على البتات.
يحدد جدول الحقيقة الخرج لكل تركيب من المداخل.
تظل شبكة البوابات التوافقية دالة يمكن فحصها بجدول حقيقة كامل.
يستخدم الدرس التالي الجبر البولياني وقوانين دي مورغان لتغيير العبارة مع حفظ جدولها.
نص الشرح الصوتي
نلخص الدرس في ثلاث أفكار. البوابات المنطقية هي دوال Boolean تعمل على البتات. وجدول الحقيقة عقد كامل يحدد الخرج لكل تركيب من المداخل. وعندما نربط عدة بوابات نحصل على كتلة توافقية أكبر، لكن يمكننا التحقق من سلوكها أيضا بجدول حقيقة. في الدرس التالي سنستخدم جبر Boolean وقوانين De Morgan لإعادة كتابة العبارات مع الحفاظ على السلوك نفسه.