نظرية الدوائر الكهربائية 2 · مرشحات RC منخفضة وعالية التمرير

#21 مقارنة الدائرتين والمقدار والطور وتردد القطع وتصميم مرشح من الدرجة الأولى

نفس R وC، لكن الخرج على المكثف أو المقاومة يختار نطاقا مختلفا من الترددات.

السؤال

مرجع أصلي يشرح مرشح RC أو تردد القطع أو تصميم المنخفض والعالي. — مرجع من الفيديو نفسه؛ استبدل مخططا بودي والطور ذوا تدريج غير دقيق ببطاقتي الخلاصة والقطع. الشروط والمعادلات الدقيقة في سطور الدفتر؛ الفيديو والصوت لم يتغيرا.

قارن مرشح RC منخفض التمرير وعالي التمرير، واستخرج دالتي الاستجابة الترددية وتردد القطع والطور، ثم صمم مرشحا عند 1 kHz باستخدام 100 nF. نفترض عناصر مثالية خطية وثابتة وموجبة، R بالأوم وC بالفاراد وτ=RC بالثانية. مصدر جهد مثالي يفرض جهد الدخل بين الطرف الأيسر والمرجع الأرضي المشترك؛ ليس الطرف الأيسر سلكا عائما. في المنخفض R على التوالي وC من عقدة الخرج إلى المرجع، والخرج جهد C العلوي ناقص المرجع. في العالي C على التوالي وR من عقدة الخرج إلى المرجع، والخرج جهد R العلوي ناقص المرجع. لا حمل خارجي ولا مقاومة مصدر إضافية. قياس العنصر الآخر في زوج RC لا يعني إعادة توصيل جهاز قياس مؤرض على نحو يقصر الدائرة؛ نقارن الدائرتين المرسومتين. H نسبة جهدي الخرج والدخل مع شروط ابتدائية صفرية؛ الاستجابة الجيبية مستقرة بعد زوال العابر. j الوحدة التخيلية، ω بالراديان/ثانية وf بالهرتز. نرمز للمنخفض LP وللعالي HP، وللمقدار M وللطور φ، والكسب G بالديسيبل. log للأساس عشرة لنسبة موجبة بلا وحدة؛ عند الصفر لا نحسب لوغاريتما منتهيا. في الدائرتين المثاليتين الكسب في نطاق المرور البعيد يقارب الواحد؛ −3.0103 dB و1/√2 يخصان نقطة القطع بالنسبة إلى كسب نطاق المرور. عبارة نصف القدرة تخص مربع نسبة الجهد أو قدرتين على مقاومتين مرجعيتين متساويتين، ولا تعني أن المكثف المثالي يستهلك قدرة حقيقية. حدود التردد المنخفض والعالي تقريبية عندما تكون ωτ صغيرة جدا أو كبيرة جدا؛ ميل 20 dB لكل زيادة عشرية هو ميل تقريبي بعيدا عن القطع، لا جدار حادا ولا قيمة ثابتة عند كل تردد. arctan في معادلات الدفتر بالراديان؛ π/4 يساوي 45 درجة. طور العالي قرب الصفر هو حد عند تردد موجب يقترب من الصفر؛ عند DC نفسه مقدار العالي صفر وطور خرجه غير معرّف. أعمدة بطاقة فكرة المرشح توضيح نوعي لمناطق طيف، وليست منحنى كسب محسوبا أو مثالا رقميا. استبدل مرجعا بودي والطور ذوا تدريج غير دقيق ببطاقتي الخلاصة وتردد القطع من الفيديو نفسه، وترد المعادلات الدقيقة في السطور؛ المصدر المرئي والصوت لم يعاد إنتاجهما. قيمة R في مثال التصميم تقريبية، واختيار مقاومة قياسية يغير القطع الفعلي مع تفاوت العناصر والحمل.

الحل المكتوب ونص الشرح(يعرض الحل كاملًا)

تجد أدناه جميع الأسطر المكتوبة في الدفتر مع النص الكامل للشرح الصوتي.

1. من الاستجابة الترددية إلى المرشحات
مرجع من الفيديو نفسه؛ استبدل مخططا بودي والطور ذوا تدريج غير دقيق ببطاقتي الخلاصة والقطع. الشروط والمعادلات الدقيقة في سطور الدفتر؛ الفيديو والصوت لم يتغيرا.
في الدرس السابق قرأنا كسب الدائرة وطورها عند كل تردد جيبي بعد زوال العابر.
نطبق الفكرة على دائرتين RC مثاليتين، مع مصدر جهد مثالي ولا حمل إضافي.
المنخفض LP يقارب كسبه الواحد بعيدا تحت القطع، ويضعف الترددات العالية.
العالي HP يضعف الترددات المنخفضة ويقارب كسبه الواحد بعيدا فوق القطع.
مع نفس R وC يكون القطع نفسه؛ في الدائرتين المرسومتين نأخذ الخرج على C للمنخفض وعلى R للعالي.
نص الشرح الصوتي
في الدرس السابق قرأنا الاستجابة الترددية: كيف تتعامل الدائرة مع كل تردد جيبي. الآن نحول هذه اللغة إلى دائرتين واضحتين. مرشح منخفض التمرير يحافظ على الترددات المنخفضة ويضعف الترددات العالية. ومرشح عالي التمرير يفعل العكس. نفس فكرة المقاومة والمكثف، ونفس تردد القطع، لكننا نختار نقطة خرج مختلفة.
2. فكرة المرشح
مرجع من الفيديو نفسه؛ استبدل مخططا بودي والطور ذوا تدريج غير دقيق ببطاقتي الخلاصة والقطع. الشروط والمعادلات الدقيقة في سطور الدفتر؛ الفيديو والصوت لم يتغيرا.
المرشح ينتقي ترددات؛ أعمدة المرجع توضيح نوعي للطيف وليست قيما محسوبة لكسب المرشح.
نطاق المرور هو مجال الترددات المراد إبقاؤه؛ يقارب الكسب الواحد فقط بعيدا داخل نطاق مرور هذين المرشحين.
نطاق الإيقاف هو المجال المراد إضعافه؛ الإضعاف محدود ويتدرج مع التردد.
تردد القطع نقطة مرجعية على انتقال تدريجي، لا حاجز يزيل كل ما بعده فجأة.
عند قطع RC المثالي ذي كسب مرور واحد، نأخذ نسبة السعة ثم ديسيبلها:
$\displaystyle M_{c}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right),\; G_{c}=20 \log _{10}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\approx -3.0103$
نص الشرح الصوتي
فكر في المرشح كأنه منتقي ترددات. نطاق المرور هو الجزء الذي نريد أن يصل إلى الخرج تقريبا كما هو. ونطاق الإيقاف هو الجزء الذي نريد تخفيفه. تردد القطع ليس جدارا حادا. في مرشح سلبي من الدرجة الأولى هو نقطة ناقص ثلاثة ديسيبل تقريبا، حيث تهبط السعة إلى واحد على جذر اثنين.
3. مرشح RC منخفض التمرير
مرجع من الفيديو نفسه؛ استبدل مخططا بودي والطور ذوا تدريج غير دقيق ببطاقتي الخلاصة والقطع. الشروط والمعادلات الدقيقة في سطور الدفتر؛ الفيديو والصوت لم يتغيرا.
مرشح RC منخفض التمرير؛ ثابت الزمن τ بالثانية:
$\displaystyle \tau =R C$
R متسلسلة بين الدخل والخرج، وC من الخرج إلى المرجع؛ جهد الخرج هو جهد عقدة C بالنسبة إلى المرجع.
بعيدا تحت القطع تكون مفاعلة C كبيرة بالنسبة إلى R، فيصغر التيار ويقارب جهد الخرج جهد الدخل.
بعيدا فوق القطع تصغر مفاعلة C بالنسبة إلى R، فتصغر سعة جهد عقدة الخرج.
من قسمة جهد المكثف على الدخل نحصل على:
$\displaystyle H_{\mathrm{LP}}\left(j\omega \right)=\frac{1}{1+j\omega \tau }$
نص الشرح الصوتي
نبدأ بمرشح R C منخفض التمرير. نضع المقاومة على التوالي، والمكثف إلى الأرضي، ونقيس الخرج على المكثف. عند التردد المنخفض يكون المكثف قريبا من الدائرة المفتوحة، فيمر تيار قليل جدا ويكون الخرج قريبا من الدخل. عند التردد العالي يصبح المكثف مسارا أسهل نحو الأرضي، فينخفض جهد عقدة الخرج. لذلك تكون دالة الانتقال واحدا على واحد زائد j omega tau.
4. مرشح RC عالي التمرير
مرجع من الفيديو نفسه؛ استبدل مخططا بودي والطور ذوا تدريج غير دقيق ببطاقتي الخلاصة والقطع. الشروط والمعادلات الدقيقة في سطور الدفتر؛ الفيديو والصوت لم يتغيرا.
في العالي C متسلسلة من الدخل إلى عقدة الخرج، وR من هذه العقدة إلى المرجع.
الخرج الآن جهد R العلوي ناقص المرجع؛ هذا هو مرشح RC عالي التمرير.
بعيدا تحت القطع تعوق مفاعلة المكثف الكبيرة التيار، فيصغر الجهد على R؛ لا يعني ذلك أن كل تغير ممنوع تماما.
بعيدا فوق القطع تصغر مفاعلة C مقارنة مع R، فتقارب نسبة جهدي الخرج والدخل الواحد.
من مقسم الجهد نحصل على:
$\displaystyle H_{\mathrm{HP}}\left(j\omega \right)=\frac{j\omega \tau }{1+j\omega \tau }$
نص الشرح الصوتي
الآن نأخذ الخرج على المقاومة بعد مكثف على التوالي. هذه هي دائرة R C عالية التمرير. عند التردد المنخفض يمنع المكثف التغير، فيكون الجهد على المقاومة صغيرا. عند التردد العالي يتصرف المكثف تقريبا كقصر، فيصل الدخل إلى المقاومة ويقترب الخرج من الدخل. دالة الانتقال هنا هي j omega tau على واحد زائد j omega tau.
5. نفس تردد القطع
مرجع من الفيديو نفسه؛ استبدل مخططا بودي والطور ذوا تدريج غير دقيق ببطاقتي الخلاصة والقطع. الشروط والمعادلات الدقيقة في سطور الدفتر؛ الفيديو والصوت لم يتغيرا.
عندما تتساوى R وC في المثالين يتساوى ثابت الزمن:
$\displaystyle \tau =R C$
القطع الزاوي بالراديان/ثانية، والقطع f بالهرتز؛ لا نخلط بينهما:
$\displaystyle \omega _{c}=\left(\frac{1}{\tau }\right),\; f_{c}=\frac{1}{2\pi R C}$
عند القطع فقط يتساوى المقداران؛ ديسيبل كل منهما نحو −3.0103 بالنسبة إلى كسب المرور:
$\displaystyle M_{\mathrm{LP}}\left(\omega _{c}\right)=M_{\mathrm{HP}}\left(\omega _{c}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}$
نعوض عند القطع؛ π/4 راديان يساوي 45 درجة:
$\displaystyle \varphi _{\mathrm{LP}}\left(\omega _{c}\right)=-\left(\frac{\pi }{4}\right),\; \varphi _{\mathrm{HP}}\left(\omega _{c}\right)=\frac{\pi }{4}$
نص الشرح الصوتي
الدائرتان تشتركان في نفس ثابت الزمن: tau تساوي R C. تردد الزاوية عند القطع هو omega c يساوي واحدا على tau، والتردد بوحدة هرتز هو f c يساوي واحدا على اثنين pi R C. عند هذه النقطة يكون مقدار كل مرشح واحدا على جذر اثنين، أي ناقص ثلاثة فاصلة صفر واحد ديسيبل تقريبا. أما الطور فعند القطع يكون للمنخفض ناقص خمس وأربعين درجة، وللعالي موجب خمس وأربعين درجة.
6. مخطط بودي للمقدار
مرجع من الفيديو نفسه؛ استبدل مخططا بودي والطور ذوا تدريج غير دقيق ببطاقتي الخلاصة والقطع. الشروط والمعادلات الدقيقة في سطور الدفتر؛ الفيديو والصوت لم يتغيرا.
بودي يعرض كسب الجهد بالديسيبل على محور تردد لوغاريتمي موجب؛ المرجع بطاقة الخلاصة بدل الرسم ذي تدريج غير متسق.
كسب المنخفض يقارب صفر ديسيبل بعيدا تحت القطع، وميله −20 ديسيبل لكل زيادة عشرة أضعاف بعيدا فوقه:
$\displaystyle G_{\mathrm{LP}}\left(\omega \right)=-10 \log _{10}\left(1+\left(\omega \tau \right)^{2}\right)$
للعالي ميل +20 ديسيبل لكل زيادة عشرية بعيدا تحت القطع، ثم يقارب صفر ديسيبل بعيدا فوقه؛ للتردد الموجب:
$\displaystyle G_{\mathrm{HP}}\left(\omega \right)=20 \log _{10}\left(\omega \tau \right)-10 \log _{10}\left(1+\left(\omega \tau \right)^{2}\right)$
نص الشرح الصوتي
في مخطط بودي للمقدار، نرى المنحنيين كأنهما يكملان بعضهما. المنخفض يبدأ قريبا من صفر ديسيبل ثم يهبط بعد تردد القطع بميل يقارب ناقص عشرين ديسيبل لكل عقدة. العالي يبدأ صغيرا، ثم يرتفع قبل تردد القطع بميل يقارب موجب عشرين ديسيبل لكل عقدة، وبعد ذلك يستقر قريبا من صفر ديسيبل.
7. مقارنة الطور
مرجع من الفيديو نفسه؛ استبدل مخططا بودي والطور ذوا تدريج غير دقيق ببطاقتي الخلاصة والقطع. الشروط والمعادلات الدقيقة في سطور الدفتر؛ الفيديو والصوت لم يتغيرا.
الطور يصف تقدم الجيب أو تأخره؛ المرجع بطاقة القطع بدل الرسم ذي علامات طرفية غير دقيقة.
طور المنخفض من قرب صفر إلى قرب −π/2 مع زيادة التردد الموجب؛ arctan بالراديان:
$\displaystyle \varphi _{\mathrm{LP}}\left(\omega \right)=-\arctan \left(\omega \tau \right)$
طور العالي من قرب π/2 إلى قرب الصفر للتردد الموجب؛ عند DC مقدار الخرج صفر وطورُه غير معرف:
$\displaystyle \varphi _{\mathrm{HP}}\left(\omega \right)=\frac{\pi }{2}-\arctan \left(\omega \tau \right)$
عند القطع ω_c τ يساوي واحدا، فتكون الزاويتان متعاكستين:
$\displaystyle \varphi _{\mathrm{LP}}\left(\omega _{c}\right)=-45^{\circ},\; \varphi _{\mathrm{HP}}\left(\omega _{c}\right)=45^{\circ}$
نص الشرح الصوتي
مخطط الطور يقول القصة نفسها بطريقة أخرى. المرشح منخفض التمرير يبدأ طوره قريبا من صفر درجة، ثم يقترب من ناقص تسعين درجة مع زيادة التردد. المرشح عالي التمرير يبدأ قريبا من موجب تسعين درجة، ثم يقترب من صفر درجة مع زيادة التردد. وعند تردد القطع تكون القيم متناظرة: ناقص خمس وأربعون وموجب خمس وأربعون درجة.
8. مثال التصميم
مرجع من الفيديو نفسه؛ استبدل مخططا بودي والطور ذوا تدريج غير دقيق ببطاقتي الخلاصة والقطع. الشروط والمعادلات الدقيقة في سطور الدفتر؛ الفيديو والصوت لم يتغيرا.
تصميم RC يبدأ من تردد القطع المطلوب، مع مراعاة حدود المصدر والحمل الفعليين.
اختر R أو C من قيمة عملية ثم احسب الآخر؛ معادلة التصميم:
$\displaystyle R=\frac{1}{2\pi f_{c} C}$
نحوّل المعطيات إلى Hz وF قبل التعويض:
$\displaystyle f_{c}=1000,\; C=100\times 10^{-9}$
بالتعويض تكون المقاومة بالأوم، أي نحو 1.59 كيلو أوم:
$\displaystyle R=\frac{1}{2\pi \times 1000\times 100\times 10^{-9}}\approx 1591.55$
بعد التقريب إلى مقاومة قياسية نعيد حساب القطع؛ مثلا 1.6 كيلو أوم مع 100 نانو فاراد يعطي نحو 994.72 هرتز.
نص الشرح الصوتي
تصميم مرشح R C من الدرجة الأولى مباشر جدا. اختر تردد القطع، ثم اختر قيمة عملية لأحد العنصرين: R أو C، واحسب العنصر الآخر. مثلا إذا كان f c يساوي واحد كيلو هرتز، وكانت C تساوي مئة نانو فاراد، فإن R تساوي واحدا على اثنين pi f c C. الناتج حوالي واحد فاصلة تسعة وخمسين كيلو أوم. عمليا نختار أقرب قيمة مقاومة قياسية.
9. مصائد شائعة
مرجع من الفيديو نفسه؛ استبدل مخططا بودي والطور ذوا تدريج غير دقيق ببطاقتي الخلاصة والقطع. الشروط والمعادلات الدقيقة في سطور الدفتر؛ الفيديو والصوت لم يتغيرا.
أربع نقاط تربط التوصيل والوحدات والتقريب بالدائرة الحقيقية.
نقطة قياس الخرج وترتيب الدائرة مهمان: على C في المنخفض وعلى R في العالي، بحسب المخططين المعرفين أعلاه.
العلاقة بين الراديان/ثانية والهرتز هي:
$\displaystyle \omega _{c}=2\pi f_{c}$
استجابة RC تدريجية؛ ميل 20 ديسيبل لكل زيادة عشرية تقريب بعيد عن القطع وليس قانونا خطيا في كل مكان.
مقاومة المصدر والحمل تغيران الكسب والمقاومة الفعالة؛ نعيد التحليل أو نستخدم عزلا مناسبا، ولا نطبق صيغة RC البسيطة عميانا.
نص الشرح الصوتي
انتبه إلى أربع نقاط. أولا، نفس زوج R C قد يكون منخفض التمرير أو عالي التمرير، ونقطة الخرج هي التي تحدد ذلك. ثانيا، omega c يساوي واحدا على R C، لكن f c يساوي واحدا على اثنين pi R C. ثالثا، المرشح السلبي من الدرجة الأولى ليس جدارا مثاليا؛ الانتقال تدريجي. رابعا، مقاومة المصدر أو الحمل قد تغير تردد القطع إذا لم نعزل المرشح بمرحلة مناسبة.
10. الخلاصة
مرجع من الفيديو نفسه؛ استبدل مخططا بودي والطور ذوا تدريج غير دقيق ببطاقتي الخلاصة والقطع. الشروط والمعادلات الدقيقة في سطور الدفتر؛ الفيديو والصوت لم يتغيرا.
المنخفض والعالي تطبيقان للاستجابة الترددية: كسب وطور لكل تردد بعد زوال العابر.
في المثالين المثاليين، −3.0103 ديسيبل تخص نقطة القطع فقط، والثابت بالثانية والقطع بالهرتز:
$\displaystyle \tau =R C,\; f_{c}=\frac{1}{2\pi R C}$
الخرج على C يختار المنخفض وعلى R يختار العالي في التوصيلين المحددين؛ التضعيف يتدرج ولا يقطع الطيف فجأة.
التالي: نضيف L إلى مثال RLC المتسلسل، ونقيس على R لدراسة النطاق المار والرنين وعامل الجودة Q.
نص الشرح الصوتي
الخلاصة: المرشح منخفض التمرير والمرشح عالي التمرير هما تطبيق مباشر لفكرة الاستجابة الترددية. في مرشحات R C من الدرجة الأولى، tau تساوي R C، وتردد القطع يساوي واحدا على اثنين pi R C، والكسب عند القطع حوالي ناقص ثلاثة ديسيبل. تغيير نقطة الخرج هو ما يغير أي جانب من الطيف نحتفظ به. في الدرس التالي نضيف عنصرا آخر لتخزين الطاقة وندخل إلى سلوك النطاق المار والرنين و Q.