Devre Teorisi 1 · Thevenin ve Norton

#30 Thevenin ve Norton #30 — Maksimum güç aktarımı

Thevenin eşdeğerinden R_L=R_Th koşulunu çıkarır; örnekte yükü ve P_max değerini bulur.

Soru

12 V ve 2 A bağımsız kaynakları ile 6 Ω, 12 Ω, 3 Ω, 2 Ω ve a-b arasındaki R_L yükünü içeren devre. — R_L çıkarılarak a-b portunun Thevenin eşdeğeri bulunur.

a-b uçlarındaki R_L yükünün en büyük gücü alması için R_L değerini ve bu maksimum gücü bulun.

Yazılı çözüm ve anlatım dökümü(çözümün tamamını gösterir)

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. Güç dengesi
Saf dirençli DC yükte maksimum güç R_L=R_Th iken oluşur.
Maksimum güç neden dengede?
Ağ sabit, R_L seçilebilir
R_L→0: yük gerilimi küçülür
R_L→∞: yük akımı küçülür
$\displaystyle P_{L}=V_{L}I_{L}$
Ağı Thevenin'e indir
Amaç: P_L maksimum
Sesli anlatım metni
Maksimum güç aktarımı çok pratik bir soruya cevap verir. a ve b uçlarının solundaki doğrusal ağ sabit, yalnız yük direnci seçilebilir olsun. Yükün en büyük gücü alması için R L kaç olmalıdır? R L çok küçük seçilirse akım büyür fakat yük gerilimi küçülür. R L çok büyük seçilirse gerilim büyür fakat akım küçülür. Bu nedenle en büyük güç iki etkinin dengelendiği noktada oluşur. Saf dirençli bu doğru akım probleminde önce sol taraftaki ağı Thevenin eşdeğerine indirgeriz.
2. Yük gücü
Saf dirençli DC yükte maksimum güç R_L=R_Th iken oluşur.
Yük gücü fonksiyonu
$\displaystyle I=\frac{V_{\mathrm{Th}}}{R_{\mathrm{Th}}+R_{L}}$
$\displaystyle P_{L}=I^{2}R_{L}$
$\displaystyle x=R_{L}>0$
$\displaystyle P\left(x\right)=V_{\mathrm{Th}}^{2}x/\left(R_{\mathrm{Th}}+x\right)^{2}$
V_Th, R_Th: sabit
Tek değişkenli optimizasyon
Sesli anlatım metni
Sol tarafı, seri R Thevenin direnci bulunan V Thevenin gerilim kaynağıyla gösterelim. Yük direncine x diyelim. Devre akımı V Thevenin bölü R Thevenin artı x'tir. Yük gücü, akımın karesi çarpı yük direncidir. Yerine koyarsak P x eşittir V Thevenin karesi çarpı x, bölü R Thevenin artı x'in karesi olur. Artık güç yalnız pozitif x değişkenine bağlı tek değişkenli bir fonksiyondur.
3. Maksimum koşulu
Saf dirençli DC yükte maksimum güç R_L=R_Th iken oluşur.
Maksimum koşulu
dP/dx=V_Th²(R_Th−x)/(R_Th+x)³
0<x<R_Th: dP/dx>0
x=R_Th: dP/dx=0
x>R_Th: dP/dx<0
$\displaystyle R_{L}=R_{\mathrm{Th}}$
$\displaystyle P_{\mathrm{max}}=\frac{V_{\mathrm{Th}}^{2}}{4R_{\mathrm{Th}}}$
Sesli anlatım metni
En uygun x değerini bulmak için P fonksiyonunun türevini alırız. Türev, V Thevenin karesi çarpı R Thevenin eksi x, bölü R Thevenin artı x'in küpüdür. x, R Thevenin'den küçükken türev pozitiftir; güç artar. x eşittir R Thevenin noktasında türev sıfır olur. x daha büyükken türev negatiftir; güç azalır. Böylece bu noktanın maksimum olduğu kanıtlanır. Sonuç R L eşittir R Thevenin ve P maksimum eşittir V Thevenin karesi bölü dört R Thevenin'dir.
4. Örnek devre
R_L çıkarılarak a-b portunun Thevenin eşdeğeri bulunur.
Örnek — istenenler
Yük: a-b arasındaki R_L
Kaynaklar: 12 V ve 2 A
Dirençler: 6, 12, 3, 2 Ω
1) R_Th
2) V_Th
3) R_L ve P_max
Sesli anlatım metni
Şimdi kuralı örneğe uygulayalım. Devrede 12 voltluk gerilim kaynağı, 2 amperlik akım kaynağı ve 6, 12, 3 ve 2 ohmluk dirençler vardır. R L yükü a ile b uçları arasındadır. Soru, yükün hangi değerinde en büyük güç aldığını ve bu gücün kaç watt olduğunu soruyor. Bunun için yükü çıkarıp önce a-b uçlarından görülen R Thevenin'i, sonra açık devre gerilimi V Thevenin'i bulacağız.
5. R_Th
a-b uçlarından 2 Ω ve 3 Ω seri, 6 Ω ile 12 Ω paralel görünür.
R_Th hesabı
12 V kaynağı → kısa devre
2 A kaynağı → açık devre
$\displaystyle 6∥12=4 \Omega$
$\displaystyle R_{\mathrm{Th}}=2+3+\left(6∥12\right)$
$\displaystyle R_{\mathrm{Th}}=2+3+4$
$\displaystyle R_{\mathrm{Th}}=9 \Omega$
Sesli anlatım metni
R Thevenin için bağımsız kaynakları söndürelim. 12 voltluk gerilim kaynağı kısa devre, 2 amperlik akım kaynağı açık devre olur. a terminalinden bakınca 2 ohm ve 3 ohm seri, ardından 6 ile 12 ohm paraleldir. 6 paralel 12, 6 çarpı 12 bölü 6 artı 12'den 4 ohmdur. Toplam direnç 2 artı 3 artı 4, yani 9 ohmdur. Dolayısıyla R Thevenin ve maksimum güç için seçilecek R L değeri 9 ohmdur.
6. V_Th denklemi
2 Ω'dan akım geçmediği için a terminali V_Th düğümüyle aynı gerilimdedir.
V_Th — düğüm denklemi
R_L çıkar: çıkış açık
2 Ω'dan akım geçmez
$\displaystyle V_{a}=V_{\mathrm{Th}}$
Sol düğüm: V₁
$\displaystyle \frac{V_{\mathrm{Th}}-V_{1}}{3}-2=0$
$\displaystyle V_{\mathrm{Th}}-V_{1}=6 V$
Sesli anlatım metni
Şimdi V Thevenin'i bulalım. R L çıkarıldığı için çıkış açık devredir ve 2 ohmluk dirençten akım geçmez. Bu yüzden üzerinde gerilim düşümü yoktur; a terminalinin gerilimi, 2 amperlik kaynak ile 3 ohmluk direncin birleştiği V Thevenin düğümüne eşittir. 6, 12 ve 3 ohmluk dirençlerin birleştiği düğüme V 1 diyelim. V Thevenin düğümünde KCL yazınca V Thevenin eksi V 1 bölü 3 eksi 2 eşittir sıfır, yani V Thevenin eksi V 1 eşittir 6 volt elde edilir.
7. V_Th çözümü
2 Ω'dan akım geçmediği için a terminali V_Th düğümüyle aynı gerilimdedir.
V_Th — çözüm
$\displaystyle \frac{V_{1}-12}{6}+\frac{V_{1}}{12}+\frac{V_{1}-V_{\mathrm{Th}}}{3}=0$
Denklemi 12 ile çarp
$\displaystyle 7V_{1}-4V_{\mathrm{Th}}=24$
$\displaystyle V_{\mathrm{Th}}-V_{1}=6$
$\displaystyle V_{1}=16 V$
$\displaystyle V_{\mathrm{Th}}=22 V$
Sesli anlatım metni
V 1 düğümünde KCL yazalım. 6 ohmluk koldaki akım V 1 eksi 12 bölü 6, 12 ohmluk koldaki akım V 1 bölü 12 ve 3 ohmluk koldaki akım V 1 eksi V Thevenin bölü 3'tür. Toplamı sıfıra eşitleyip denklemi 12 ile çarparsak 7 V 1 eksi 4 V Thevenin eşittir 24 olur. Bunu V Thevenin eksi V 1 eşittir 6 ile birlikte çözersek V 1 eşittir 16 volt ve V Thevenin eşittir 22 volt bulunur.
8. R_L ve P_max
Yükteki maksimum güç yaklaşık 13.44 W'tır.
Yük ve maksimum güç
$\displaystyle R_{L}=R_{\mathrm{Th}}$
$\displaystyle R_{L}=9 \Omega$
$\displaystyle P_{\mathrm{max}}=\frac{V_{\mathrm{Th}}^{2}}{4R_{\mathrm{Th}}}$
$\displaystyle P_{\mathrm{max}}=\frac{22^{2}}{4\cdot 9}$
$\displaystyle P_{\mathrm{max}}=\frac{484}{36}$
$\displaystyle P_{\mathrm{max}}\approx 13.44 W$
Sesli anlatım metni
İki sonucu birleştirelim. Maksimum güç koşulu R L eşittir R Thevenin olduğundan yük direnci 9 ohm seçilir. En büyük güç V Thevenin karesi bölü dört R Thevenin'dir. V Thevenin 22 volt ve R Thevenin 9 ohm olduğuna göre 22'nin karesi 484, dört çarpı 9 ise 36'dır. 484 bölü 36 yaklaşık 13 tam yüzde 44 watt eder. Bu, ağın saf dirençli bir yüke aktarabileceği en büyük güçtür.
9. Yöntem özeti
Yükteki maksimum güç yaklaşık 13.44 W'tır.
Yöntem özeti
Yükü çıkar
R_Th: bağımsız kaynakları söndür
V_Th: portu açık bırak
$\displaystyle R_{L}=R_{\mathrm{Th}}$
$\displaystyle P_{\mathrm{max}}=\frac{V_{\mathrm{Th}}^{2}}{4R_{\mathrm{Th}}}$
9 Ω, 22 V, 13.44 W
Sesli anlatım metni
Yöntemi özetleyelim. Yükü devreden çıkar. Bağımsız kaynakları söndürerek R Thevenin'i bul; bağımlı kaynak varsa onu aktif bırak. Ardından yük açıkken V Thevenin'i hesapla. Saf dirençli doğru akım probleminde maksimum güç için R L eşittir R Thevenin seçilir. Güç de V Thevenin karesi bölü dört R Thevenin'dir. Bu örnekte R Thevenin 9 ohm, V Thevenin 22 volt, R L 9 ohm ve P maksimum yaklaşık 13 tam yüzde 44 watt'tır.