#03 Boolean kapı sözleşmeleri, truth table oluşturma ve birleşik ifade çözümü

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Kapıyı deterministik Boolean fonksiyonu olarak tanımla

   

   Boolean giriş kümesi: A,B∈{0,1}

   Kapı bir eşlemedir: f:{0,1}ⁿ→{0,1}

   İki giriş için:

   $\displaystyle Y=f\left(A,B\right)$

   Aynı giriş vektörü → her zaman aynı Y

   Kapı bitin kaynağını değil yalnız 0/1 değerini görür

   n giriş için olası vektör sayısı 2ⁿ’dir

   Birim kontrolü: Boolean bitleri boyutsuzdur

   Davranışın kesin sözleşmesi kapı adı değil truth table’dır

   Sesli anlatım metni

   Önce logic gate, yani mantık kapısı kavramını sıfırdan tanımlayalım. Bir kapı bir veya daha fazla input biti alır, önceden belirlenmiş tek bir kurala uyar ve bir output biti üretir. Input'lara genellikle A, B ve gerektiğinde C; output'a ise Y adı verilir. Kapı, bitin hangi devreden geldiğini bilmez. Yalnızca sıfır veya bir değerini görür. Aynı input değerleri her verildiğinde aynı output'u üretmesi gerekir. Bu nedenle kapıyı Y eşittir f A B biçiminde, input'ları output'a dönüştüren küçük bir Boolean fonksiyonu olarak düşünebiliriz.

2. 2. NOT, AND ve OR kapılarının sözleşmelerini yaz

   

   NOT:

   $\displaystyle Y=¬A$

   A: 0 1 → Y: 1 0

   AND:

   $\displaystyle Y=A\cdot B$

   AB: 00 01 10 11 → Y: 0 0 0 1

   AND için bütün girişler 1 olmalı

   OR:

   $\displaystyle Y=A+B$

   (Boolean toplamı)

   AB: 00 01 10 11 → Y: 0 1 1 1

   OR için en az bir girişin 1 olması yeterli

   Yaygın hata: Boolean OR’daki 1+1’i aritmetik 2 sanmak

   Boolean OR:

   $\displaystyle 1+1=1$

   Sesli anlatım metni

   Üç temel kapıyla başlayalım. NOT tek bir biti tersler: sıfır bir, bir ise sıfır olur. AND daha katı bir kuraldır. Output yalnızca bütün input'lar bir olduğunda birdir; input'lardan biri bile sıfırsa sonuç sıfırdır. OR ise input'lardan en az biri bir olduğunda bir üretir. Sadece bütün input'lar sıfırsa output sıfır kalır. Ekrandaki küçük tablolar bu kuralları olası tüm input durumları için gösterir.

3. 3. Giriş sayısından truth table satırlarını eksiksiz üret

   

   n bağımsız giriş, her biri 2 değer alır

   Satır sayısı = 2×2×…×2 = 2ⁿ

   n=2 → 2²=4 satır

   Binary sırayla girişler: 00, 01, 10, 11

   AND çıkışı: 0, 0, 0, 1

   OR çıkışı: 0, 1, 1, 1

   Sağlama: hiçbir giriş kombinasyonu eksik veya tekrarlı değil

   Yaygın hata: satır sayısını 2n yazmak; doğrusu 2ⁿ

   Sesli anlatım metni

   Truth table, bir kapının veya kombinasyonel devrenin kesin davranış sözleşmesidir. Önce bütün input kombinasyonlarını eksiksiz listeler, sonra her kombinasyonun karşısına zorunlu output değerini yazarız. n tane input varsa her input iki değer alabildiği için iki üzeri n satır gerekir. İki input için iki üzeri iki, yani dört satır vardır: sıfır sıfır, sıfır bir, bir sıfır ve bir bir. AND yalnız son satırda bir; OR ise sıfır sıfır dışındaki üç satırda bir üretir.

4. 4. Y=(A AND B) OR (NOT C) ifadesini ara sütunlarla çöz

   

   $\displaystyle Y=\left(A\cdot B\right)+¬C$

   Ara sütun P=A·B

   Ara sütun Q=¬C

   Son sütun Y=P+Q

   C=0 → Q=1 → A,B ne olursa olsun Y=1

   $\displaystyle C=1 \to Q=0 \to Y=A\cdot B$

   ABC: 000 001 010 011 → Y: 1 0 1 0

   ABC: 100 101 110 111 → Y: 1 0 1 1

   Y=0 yalnız 001, 011 ve 101 satırlarında

   Sağlama: beş adet 1, üç adet 0 var

   Yaygın hata: ara sütunları atlayıp OR’u doğrudan tahmin etmek

   Sesli anlatım metni

   Şimdi Y eşittir A AND B, OR NOT C ifadesini adım adım çözelim. Tabloya doğrudan Y yazarak başlamıyoruz. Önce A AND B adlı ara sütunu hesaplıyoruz. Sonra C bitini tersleyip NOT C sütununu dolduruyoruz. En son bu iki ara sonucu OR ile birleştiriyoruz. C sıfırken NOT C bir olur; OR işleminin input'larından biri bir olduğu için Y otomatik olarak birdir. C birken NOT C sıfırdır ve Y yalnız A ile B'nin ikisi de birse bir olabilir. Her satırı aynı sırayla hesaplamak hata riskini azaltır.

5. 5. NAND, NOR ve XOR davranışlarını temel kapılardan çıkar

   

   NAND:

   $\displaystyle Y=¬\left(A\cdot B\right)$

   AB: 00 01 10 11 → NAND: 1 1 1 0

   NOR:

   $\displaystyle Y=¬\left(A+B\right)$

   AB: 00 01 10 11 → NOR: 1 0 0 0

   XOR:

   $\displaystyle Y=A⊕B=¬A\cdot B+A\cdot ¬B$

   AB: 00 01 10 11 → XOR: 0 1 1 0

   NAND ve NOR tek başına tüm Boolean fonksiyonlarını kurabilir

   Yaygın hata: XOR’u OR sanmak; 11 için XOR=0

   Sesli anlatım metni

   Şimdi üç sık kullanılan kapıyı daha ekleyelim. NAND, AND sonucunu tersler; bu yüzden yalnız bütün input'lar bir olduğunda sıfır üretir. NOR, OR sonucunu tersler; yalnız bütün input'lar sıfırken bir üretir. XOR ise farklılık kapısıdır: iki input birbirinden farklıysa bir, aynıysa sıfır verir. Sembollerde çıkıştaki küçük daire tersleme anlamına gelir. NAND ve NOR'un tek başlarına her Boolean fonksiyonunu kurabilmesi daha sonraki universal gate dersimizin temelidir.

6. 6. Kapı, tablo ve birleşik blok ilişkisini toparla

   

   Kapılar: bitler üzerinde Boolean fonksiyonları

   Truth table: 2ⁿ giriş satırının eksiksiz sözleşmesi

   Birleşik blok: kapıların oluşturduğu yeni Boolean fonksiyonu

   Örneğimiz:

   $\displaystyle Y=Σm\left(0,2,4,6,7\right)$

   Satır kontrolü: 5 bir + 3 sıfır = 8 = 2³

   Sembol, denklem ve truth table aynı davranışı anlatmalı

   Sonraki ders: Boolean cebiri ve De Morgan ile sadeleştirme

   Sesli anlatım metni

   Bu dersin üç temel fikrini toparlayalım. Mantık kapıları, bitler üzerinde çalışan Boolean fonksiyonlarıdır. Truth table, her input kombinasyonu için output'u eksiksiz tanımlayan sözleşmedir. Birden fazla kapı birleştiğinde daha büyük bir kombinasyonel blok oluşur; ama bu bloğun davranışı yine bir truth table ile doğrulanabilir. Sonraki derste Boolean cebiri ve De Morgan kurallarıyla aynı davranışı koruyarak ifadeleri yeniden yazmayı öğreneceğiz.

Kaynak video: Dijital Tasarim #03 | Mantik Kapilari ve Truth Table (3:31)