Elektromanyetik Teori · Manyetik Akı Yoğunluğu B ve Statik Maxwell Denklemleri

#21 B=μH bağıntısı, manyetik akı, manyetik alan için Gauss yasası ve Maxwell denklemlerinin statik biçimleri

B ile H'yi geçirgenlik üzerinden bağla, manyetik akıyı tanımla ve dört Maxwell denklemini statik biçimleriyle tek tabloda topla.

Soru

Manyetik akı yoğunluğu, manyetik akı, kapalı alan çizgileri ve statik Maxwell denklemlerini gösteren ders karesi. — B=μH bağıntısı ve ∇·B=0 yasası, manyetostatiği dört statik Maxwell denklemi içinde tamamlar.

Manyetik akı yoğunluğu B ile H arasındaki bağıntıyı ve geçirgenliği açıklayın; manyetik akıyı tanımlayın, ∇·B=0 yasasını integral biçime dönüştürün ve dört statik Maxwell denklemini özetleyin.

Yazılı çözüm ve anlatım dökümü(çözümün tamamını gösterir)

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. H alanından B alanına geç
B=μH bağıntısı ve ∇·B=0 yasası, manyetostatiği dört statik Maxwell denklemi içinde tamamlar.
Son iki videoda manyetik alan H'yi inşa ettik.
Biot-Savart ile akımlar boyunca integre ederek, ve geometri simetrikse Ampère çevrim yasasıyla daha zarif şekilde bulduk.
Ama manyetostatikte tek büyüklük H değildir.
İkincisi de var: manyetik akı yoğunluğu B.
Bugün ikisini birbirine bağlayacağız, sonra dört Maxwell denkleminin hepsini statik formda özetleyeceğiz.
Sesli anlatım metni
Son iki videoda manyetik alan H'yi inşa ettik. Biot-Savart ile akımlar boyunca integre ederek, ve geometri simetrikse Ampère çevrim yasasıyla daha zarif şekilde bulduk. Ama manyetostatikte tek büyüklük H değildir. İkincisi de var: manyetik akı yoğunluğu B. Bugün ikisini birbirine bağlayacağız, sonra dört Maxwell denkleminin hepsini statik formda özetleyeceğiz.
2. B=μH ve geçirgenliği tanımla
B=μH bağıntısı ve ∇·B=0 yasası, manyetostatiği dört statik Maxwell denklemi içinde tamamlar.
Manyetik akı yoğunluğu:
$\displaystyle B = \mu H.$
Boşlukta μ = μ₀ ≈ 4π×10⁻⁷ H/m.
Bu sayı nereden geliyor?
SI sisteminde μ₀ manyetik etkilerin ölçeğini, ε₀ ise elektriksel etkilerin ölçeğini belirler.
Bir malzemede μ = μ₀μᵣ.
Buradaki μᵣ bağıl geçirgenliktir ve malzemenin alana nasıl tepki verdiğini ifade eder.
Peki ikisi orantılıysa neden iki ayrı alan, H ve B?
Çünkü H akımın doğrudan ürettiği şey, B ise hareketli yüklere kuvvet uygulayan, gözlediğimiz etkileri oluşturan alandır.
Boşlukta birbirinin ölçekli hali, ama maddede farklı fiziksel bilgi taşırlar.
B'nin birimi Tesla, ya da eşdeğer olarak Weber bölü metrekare.
Sesli anlatım metni
Manyetik akı yoğunluğu B çok basit bir bağıntıyla tanımlanır: B eşittir mü çarpı H. Boşlukta mü, mü-sıfır sabitidir ve değeri dört pi çarpı on üzeri eksi yedidir. Bu sayı nereden geliyor? SI birim sisteminden — manyetik etkilerin ölçeğini belirliyor, tıpkı elektriksel etkilerde epsilon-sıfırın belirlediği gibi. Bir malzemenin içindeyken mü genelde farklıdır; mü-sıfır çarpı mü-r olarak yazarız. Buradaki mü-r bağıl geçirgenliktir ve malzemenin alana nasıl tepki verdiğini ifade eder. Peki ikisi orantılıysa neden iki ayrı alan, H ve B? Çünkü H akımın doğrudan ürettiği şey, B ise hareketli yüklere kuvvet uygulayan, gözlediğimiz etkileri oluşturan alandır. Boşlukta birbirinin ölçekli hali, ama maddede farklı fiziksel bilgi taşırlar. B'nin birimi Tesla, ya da eşdeğer olarak Weber bölü metrekare.
3. Manyetik akıyı yüzey integraliyle kur
B=μH bağıntısı ve ∇·B=0 yasası, manyetostatiği dört statik Maxwell denklemi içinde tamamlar.
Şimdi manyetik akıyı tanımlayalım.
Bir S yüzeyinden geçen manyetik akı: Φ = ∫_S B·dS.
dS'yi yüzeyden dışarıya doğru küçük bir vektör gibi düşünebilirsin — ok hangi tarafta duruyorsa oradan dışarı bakan bir küçük yama.
B nokta dS, B'nin o yamadan ne kadar geçtiğini ölçüyor.
Bütün yüzeyde toplarsan Φ'yi elde edersin, toplam manyetik akı.
[Φ] = Wb = T·m².
Bu integral, Gauss yasasındaki elektrik akısına çok benziyor, tesadüf değil.
Manyetik akıyı şimdi tanımlamamızın sebebi ilerdeki indüksiyon: zamanla değişen akı, elektrik alan indükleyecek.
Sesli anlatım metni
Şimdi manyetik akıyı tanımlayalım. Bir S yüzeyinden geçen manyetik akı fi, B'nin d S ile nokta çarpımının yüzey integralidir. d S'yi yüzeyden dışarıya doğru küçük bir vektör gibi düşünebilirsin — ok hangi tarafta duruyorsa oradan dışarı bakan bir küçük yama. B nokta d S, B'nin o yamadan ne kadar geçtiğini ölçüyor. Bütün yüzeyde toplarsan fi'yi elde edersin, toplam manyetik akı. Birimi Weber, yani Tesla çarpı metrekare. Bu integral, Gauss yasasındaki elektrik akısına çok benziyor, tesadüf değil. Manyetik akıyı şimdi tanımlamamızın sebebi ilerdeki indüksiyon: zamanla değişen akı, elektrik alan indükleyecek.
4. Manyetik monopol yokluğunu açıkla
B=μH bağıntısı ve ∇·B=0 yasası, manyetostatiği dört statik Maxwell denklemi içinde tamamlar.
İşte elektrik ve manyetik alan arasındaki büyük fark.
Elektrik için Gauss yasası vardı: D'nin diverjansı, ρᵥ'ye eşitti.
Yani yükler, E'nin kaynağıdır.
Manyetik alan için Gauss yasası:
$\displaystyle ∇\cdot B = 0.$
Her yerde, her zaman, sıfır.
Fiziksel olarak ne demek?
Yalıtılmış bir manyetik monopol gözlenmemiştir; tek başına kuzey ya da güney kutup bulunmaz.
Bir çubuk mıknatısı ikiye kesersen elinde serbest bir kuzey kutup ve serbest bir güney kutup kalmaz; iki tane küçük mıknatıs olur, her biri yine iki kutuplu.
Bu yüzden B alanının çizgileri her zaman kapalı halkalar oluşturur.
Başlamazlar, bitmezler.
Diverjans sıfır demek de aslında tam bu: her noktada alana giren çizgi kadar çıkan çizgi var.
Diverjans teoremiyle integral biçim: ∮_S B·dS = 0.
Hiçbir kapalı yüzeyden net akı çıkmaz.
Sesli anlatım metni
İşte elektrik ve manyetik alan arasındaki büyük fark. Elektrik için Gauss yasası vardı: D'nin diverjansı, rho-v'ye eşitti. Yani yükler, E'nin kaynağıdır. Manyetik için benzer yasa şöyledir: B'nin diverjansı sıfıra eşittir. Her yerde, her zaman, sıfır. Fiziksel olarak ne demek? Manyetik monopol yok demek — tek başına kuzey ya da güney kutup yok. Bir çubuk mıknatısı ikiye kesersen elinde serbest bir kuzey kutup ve serbest bir güney kutup kalmaz; iki tane küçük mıknatıs olur, her biri yine iki kutuplu. Bu yüzden B alanının çizgileri her zaman kapalı halkalar oluşturur. Başlamazlar, bitmezler. Diverjans sıfır demek de aslında tam bu: her noktada alana giren çizgi kadar çıkan çizgi var. İntegral formda, diverjans teoremini uygulayınca şuna varırız: kapalı bir yüzey üzerindeki B nokta d S integrali sıfırdır. Hiçbir kapalı yüzeyden net akı çıkmaz.
5. Dört statik Maxwell denklemini birleştir
B=μH bağıntısı ve ∇·B=0 yasası, manyetostatiği dört statik Maxwell denklemi içinde tamamlar.
Şimdi dört Maxwell denkleminin statik halini toplayalım — yani hiçbir şeyin zamanla değişmediği durum.
$\displaystyle 1. ∇\cdot D = \rho ᵥ.$
Yükler elektrik akı yoğunluğunun kaynağıdır.
$\displaystyle 2. ∇\cdot B = 0.$
Manyetik monopol yok.
$\displaystyle 3. ∇\times E = 0.$
Elektrostatik alan korunumludur, bu yüzden potansiyel V'yi tanımlayabildik.
$\displaystyle 4. ∇\times H = J.$
Akımlar manyetik alanın rotasyonelini belirler: ∇×H = J, Ampère yasasının diferansiyel biçimi.
Dikkat edilmesi gereken bir şey var: statik durumda elektrik ve manyetik alanlar birbirinden tamamen kopuktur.
Birinci ve üçüncü denklem sadece E ve D ile, ikinci ve dördüncü sadece H ve B ile ilgileniyor.
Aralarında konuşma yok.
Bu, alanlar zamanla değişmeye başlayınca değişecek — ama o başka bir hikaye.
Sesli anlatım metni
Şimdi dört Maxwell denkleminin statik halini toplayalım — yani hiçbir şeyin zamanla değişmediği durum. Birinci: D'nin diverjansı, rho-v'ye eşit. Yükler elektrik akı yoğunluğunun kaynağıdır. İkinci: B'nin diverjansı, sıfıra eşit. Manyetik monopol yok. Üçüncü: E'nin curl'u sıfıra eşit. Elektrostatik alan korunumludur, bu yüzden potansiyel V'yi tanımlayabildik. Dördüncü: H'nin curl'u, J'ye eşit. Akımlar, manyetik alanın curl'unun kaynağıdır — geçen videoda gördüğümüz Ampère yasasının diferansiyel formu. Dikkat edilmesi gereken bir şey var: statik durumda elektrik ve manyetik alanlar birbirinden tamamen kopuktur. Birinci ve üçüncü denklem sadece E ve D ile, ikinci ve dördüncü sadece H ve B ile ilgileniyor. Aralarında konuşma yok. Bu, alanlar zamanla değişmeye başlayınca değişecek — ama o başka bir hikaye.
6. Manyetostatik bölümü özetle
B=μH bağıntısı ve ∇·B=0 yasası, manyetostatiği dört statik Maxwell denklemi içinde tamamlar.
Hızlı özet.
B = μH iki manyetik alan büyüklüğünü bağlar.
Manyetik akı: Φ = ∫_S B·dS.
Klasik elektromanyetizmada ∇·B = 0; yalıtılmış manyetik monopol gözlenmemiştir.
Diğer üç statik yasayla yan yana koyduğumuzda, statik için dört Maxwell denkleminin tamamına ulaşıyoruz.
Bu, manyetostatik bölümünü kapatıyor — statik alan teorisinin son parçası.
Bundan sonra iki yol açılıyor: dalga teorisi, yani zamanla değişen alanların E ve B'yi birbirine bağladığı dünya; ve uygulamalı soru çözümü, yani şimdiye kadar kurduğumuz her şeyi kullanıp kitap problemlerini adım adım çözmek.
Ders bundan sonra oraya dönüyor.
Sesli anlatım metni
Hızlı özet. B eşittir mü H, iki manyetik büyüklüğü birbirine bağlıyor. Akı fi, B'nin d S ile nokta çarpımının yüzey integrali. B'nin diverjansı sıfırdır, çünkü manyetik monopol yok. Diğer üç statik yasayla yan yana koyduğumuzda, statik için dört Maxwell denkleminin tamamına ulaşıyoruz. Bu, manyetostatik bölümünü kapatıyor — statik alan teorisinin son parçası. Bundan sonra iki yol açılıyor: dalga teorisi, yani zamanla değişen alanların E ve B'yi birbirine bağladığı dünya; ve uygulamalı soru çözümü, yani şimdiye kadar kurduğumuz her şeyi kullanıp kitap problemlerini adım adım çözmek. Ders bundan sonra oraya dönüyor.