Elektromanyetik Teori · Manyetik Sınır Koşulları, Endüktans ve Enerji

#23 Manyetik sınır koşulları ve alan çizgilerinin kırılması, akı bağlaşımı ve endüktans, manyetik enerji ve enerji yoğunluğu

Manyetik sınır koşullarını Maxwell yasalarından çıkar, alan çizgilerinin kırılmasını yorumla ve endüktans ile manyetik enerjiyi bağla.

Soru

Manyetik sınır koşulları, alan çizgilerinin kırılması, endüktans ve manyetik enerjiyi gösteren ders karesi. — Sınır koşulları alanın arayüz davranışını, endüktans ve enerji bağıntıları ise manyetik alanın depoladığı enerjiyi açıklar.

Manyetik alanların iki malzeme arayüzündeki sınır koşullarını türetin; kırılma yasasını çıkarın, solenoid ve eş eksenli kablo endüktansını açıklayın ve manyetik enerji bağıntılarını kurun.

Yazılı çözüm ve anlatım dökümü(çözümün tamamını gösterir)

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. Statik teorinin son üç parçasını tanı
Sınır koşulları alanın arayüz davranışını, endüktans ve enerji bağıntıları ise manyetik alanın depoladığı enerjiyi açıklar.
Çok yol kat ettik.
H alanı Biot-Savart ve Ampère'den.
Akı yoğunluğu B, monopol-yok yasası ve dört Maxwell denkleminin statik hali.
Lorentz kuvveti, halkalarda tork ve malzemelerin bağıl geçirgenlik ile tepkisi.
Bugün statik elektromanyetik bloğu kapatıyoruz, üç son parçayla: iki farklı malzemenin arayüzünde alanların nasıl davrandığı, bir bobinin manyetik akı depolama yeteneğini ölçen endüktans ve manyetik enerjinin nerede yaşadığı.
Sesli anlatım metni
Çok yol kat ettik. H alanı Biot-Savart ve Ampère'den. Akı yoğunluğu B, monopol-yok yasası ve dört Maxwell denkleminin statik hali. Lorentz kuvveti, halkalarda tork ve malzemelerin bağıl geçirgenlik ile tepkisi. Bugün statik elektromanyetik bloğu kapatıyoruz, üç son parçayla: iki farklı malzemenin arayüzünde alanların nasıl davrandığı, bir bobinin manyetik akı depolama yeteneğini ölçen endüktans ve manyetik enerjinin nerede yaşadığı.
2. Normal B ve teğetsel H sınır koşullarını türet
Sınır koşulları alanın arayüz davranışını, endüktans ve enerji bağıntıları ise manyetik alanın depoladığı enerjiyi açıklar.
İki malzemenin üst üste durduğunu düşünün; geçirgenlikleri μ₁ ve μ₂.
Bir manyetik alan arayüzden geçiyor.
Diğer tarafta nasıl görünür?
B'nin normal bileşeniyle başlayalım.
∇·B=0 yasasının integral biçimini, ∮_S B·dS=0, arayüzü kesen ince bir pillbox'a uygulayın.
Neden pilbox?
Çünkü hacim denklemini yüzey denklemine çevirmek istiyoruz — pilbox, tepesi ve tabanı arayüzün iki tarafında olan, yan duvarları kutu yassılaştıkça sıfıra giden minik silindirik bir hacim.
Bu limitte yalnızca tepe ve taban katkı verir, kutudan ne akı çıkabilir ne girer.
Akı sürekliliği:
$\displaystyle B₁ₙ = B₂ₙ.$
Normal B süreklidir.
Şimdi H'nin teğetsel bileşeni.
Ampère çevrim yasasını, arayüze oturan uzun kenarları yüzeye paralel olan ince bir dikdörtgen çevrime uygulayalım.
Neden bu çevrim?
Kısa kenarlar küçülünce çevrim yasası H₁ₜ−H₂ₜ = K_s sınır koşuluna indirgenir.
Serbest yüzey akımı K_s=0 ise H₁ₜ = H₂ₜ.
Teğet H süreklidir.
İki kural, ikisi de integral Maxwell yasalarından kazanılmış.
Sesli anlatım metni
İki malzemenin üst üste durduğunu düşünün; geçirgenlikleri mü-bir ve mü-iki. Bir manyetik alan arayüzden geçiyor. Diğer tarafta nasıl görünür? B'nin normal bileşeniyle başlayalım. Integral formdaki diverjans B eşittir sıfırı, arayüze oturan bir pilbox'a uygulayalım. Neden pilbox? Çünkü hacim denklemini yüzey denklemine çevirmek istiyoruz — pilbox, tepesi ve tabanı arayüzün iki tarafında olan, yan duvarları kutu yassılaştıkça sıfıra giden minik silindirik bir hacim. Bu limitte yalnızca tepe ve taban katkı verir, kutudan ne akı çıkabilir ne girer. Giren akı, çıkan akıya eşit; dolayısıyla B-bir-normal eşittir B-iki-normal. Normal B süreklidir. Şimdi H'nin teğetsel bileşeni. Ampère çevrim yasasını, arayüze oturan uzun kenarları yüzeye paralel olan ince bir dikdörtgen çevrime uygulayalım. Neden bu çevrim? Çünkü kısa kenarlar sıfıra giderken sadece uzun kenarlar katkı verir; integral H-bir-teğet çarpı uzunluk eksi H-iki-teğet çarpı uzunluğa indirger, kapsanan yüzey akımı K'ya eşit olur. Yüzey akımı yoksa — yani iletken olmayan sınırlarda genelde olduğu gibi — H-bir-teğet eşittir H-iki-teğet çıkar. Teğet H süreklidir. İki kural, ikisi de integral Maxwell yasalarından kazanılmış.
3. Manyetik alan çizgilerinin kırılmasını bul
Sınır koşulları alanın arayüz davranışını, endüktans ve enerji bağıntıları ise manyetik alanın depoladığı enerjiyi açıklar.
Hemen hızlı bir kazanç alalım.
İki sınır koşulunu birleştirirseniz manyetik alan çizgileri için kırılma yasası çıkar.
Birinci malzemedeki B₁ vektörü arayüze, normale göre θ₁ açısıyla gelir.
Karşı tarafta θ₂ açısıyla devam eder.
Normal B sürekliliği:
$\displaystyle B₁ \cos \theta ₁ = B₂ \cos \theta ₂.$
K_s=0 için teğetsel H sürekliliği:
$\displaystyle \left(B₁/\mu ₁\right)\sin \theta ₁ = \left(B₂/\mu ₂\right)\sin \theta ₂.$
İkinciyi birinciye bölelim.
$\displaystyle \tan \theta ₁/\mu ₁ = \tan \theta ₂/\mu ₂.$
Kırılma yasası:
$\displaystyle \tan \theta ₁/\tan \theta ₂ = \mu ₁/\mu ₂.$
Bu bağıntı elektrik alan kırılmasına benzer; elektriksel permitivite yerine manyetik permeabilite kullanılır.
Alan çizgileri yüksek geçirgenlikli malzemeye girerken normalden uzaklaşır — demirin manyetik akı çizgilerini içine çekmesinin sebebi bu.
Sesli anlatım metni
Hemen hızlı bir kazanç alalım. İki sınır koşulunu birleştirirseniz manyetik alan çizgileri için kırılma yasası çıkar. Bir ve malzemesindeki B vektörü arayüze normale göre teta-bir açısıyla çarpar. Karşı tarafta teta-iki açısıyla devam eder. Normal B'nin sürekliliği bize B-bir kosinüs teta-bir eşittir B-iki kosinüs teta-iki der. Teğet H'nin sürekliliği — H eşittir B bölü mü hatırlayarak — B-bir bölü mü-bir çarpı sinüs teta-bir eşittir B-iki bölü mü-iki çarpı sinüs teta-iki verir. İkinciyi birinciye bölelim. B büyüklükleri sadeleşir, elimizde şu kalır: tanjant teta-bir bölü mü-bir eşittir tanjant teta-iki bölü mü-iki. Düzenleyince: tanjant teta-bir bölü tanjant teta-iki eşittir mü-bir bölü mü-iki. Bu, elektrik alan kırılmasıyla birebir aynı form; sadece geçirgenlik yerine permeabiliteler var. Alan çizgileri yüksek geçirgenlikli malzemeye girerken normalden uzaklaşır — demirin manyetik akı çizgilerini içine çekmesinin sebebi bu.
4. Akı bağlaşımından endüktansı kur
Sınır koşulları alanın arayüz davranışını, endüktans ve enerji bağıntıları ise manyetik alanın depoladığı enerjiyi açıklar.
Şimdi endüktans.
N sarımlı bir bobin alalım, I akımı taşısın ve Φ her sarımdan geçen akı olsun.
Toplam akı bağlaşımı:
$\displaystyle \lambda = NΦ.$
Neden akı bağlaşımı, sadece akı değil?
Çünkü bobinin on sarımı varsa, aynı akı on kez 'bağlı' durumda — her sarım onu 'görüyor'.
Lineer durumda endüktans:
$\displaystyle L = \lambda /I.$
Bize bir bobinin birim akım başına ne kadar akı bağlaşımı oluşturabildiğini söylüyor.
Birimi Henry.
Bir solenoid için hesaplayalım.
Uzun solenoidde H = nI ve B = μnI.
Sarım başına akı Φ = BA = μnIA.
Toplam bağlaşım λ = NΦ = NμnIA.
N = nℓ olduğundan λ = μn²IAℓ.
Solenoid endüktansı:
$\displaystyle L = \mu n²Aℓ.$
Eş eksenli kablo için L′ = (μ/2π)ln(b/a).
En çok başvuracağın iki formül bunlar.
Sesli anlatım metni
Şimdi endüktans. N sarımlı bir bobin alalım, I akımı taşısın ve Fi her sarımdan geçen akı olsun. Toplam akı bağlaşımı lambda eşittir N Fi. Neden akı bağlaşımı, sadece akı değil? Çünkü bobinin on sarımı varsa, aynı akı on kez 'bağlı' durumda — her sarım onu 'görüyor'. Endüktans L, L eşittir lambda bölü I olarak tanımlanır. Bize bir bobinin birim akım başına ne kadar akı bağlaşımı oluşturabildiğini söylüyor. Birimi Henry. Bir solenoid için hesaplayalım. İçeride H eşittir n I, dolayısıyla B eşittir mü n I. Sarım başına akı Fi eşittir B A, yani mü n I A. Toplam akı bağlaşımı lambda eşittir N Fi, yani N mü n I A. Ama N eşittir n çarpı uzunluk ell, yani lambda eşittir mü n kare I A ell. I'ya bölersek L eşittir mü n kare A ell çıkar. Eş eksenli kablo için benzer türetme birim uzunluk başına endüktans olarak mü bölü iki pi çarpı b bölü a'nın doğal logaritması verir; a iç yarıçap, b dış yarıçap. En çok başvuracağın iki formül bunlar.
5. Manyetik enerji ve enerji yoğunluğunu türet
Sınır koşulları alanın arayüz davranışını, endüktans ve enerji bağıntıları ise manyetik alanın depoladığı enerjiyi açıklar.
Son olarak enerji.
Bir endüktansta akımı sıfırdan I'ya yükseltirken, kaynak zıt EMK'ya karşı iş yapmak zorunda.
Bu iş manyetik alanda depolanır.
Sabit L için W_m = ∫₀ᴵ Li di = ½LI².
Bu bir endüktansta depolanan manyetik enerji — kapasitördeki yarım C V kare ile tıpatıp aynı yapı.
½ katsayısı, akımın zamana göre nasıl yükseldiğinden değil, ∫₀ᴵ i di integralinden gelir.
Bu sonuç herhangi bir akım yükselme dalga biçimi için, L sabit olduğu sürece geçerlidir.
Aynı enerjiyi alan büyüklükleriyle de ifade edebiliriz.
Lineer ortamda w_m = ½B·H = ½μH² = B²/(2μ).
Tüm hacimde ∫w_m dv = ½LI².
Aynı enerjiye iki bakış: devre bazlı L ve I ile, alan bazlı B ve H ile.
Her ikisi de şart — devre mühendisi birincisini, alan teorisyeni ikincisini kullanır.
Sesli anlatım metni
Son olarak enerji. Bir endüktansta akımı sıfırdan I'ya yükseltirken, kaynak zıt EMK'ya karşı iş yapmak zorunda. Bu iş manyetik alanda depolanır. Zamanda voltaj çarpı akımı integre edin: L d I bölü d t çarpı I'nın sıfırdan I'ya integrali, yarım L I kare verir. Bu bir endüktansta depolanan manyetik enerji — kapasitördeki yarım C V kare ile tıpatıp aynı yapı. Neden yarım? Çünkü akım lineer yükseliyor, ortalama akım çarpı son akım, çarpımın yarısını veriyor. Bunu alan alan da ifade edebiliriz. Uzayın her noktasındaki enerji yoğunluğu yarım B nokta H, ya da eşdeğer olarak yarım mü H kare, ya da B kare bölü iki mü. Bunu tüm uzayda integre edince toplam yarım L I kareyi geri kazanırsınız. Aynı enerjiye iki bakış: devre bazlı L ve I ile, alan bazlı B ve H ile. Her ikisi de şart — devre mühendisi birincisini, alan teorisyeni ikincisini kullanır.
6. Statik elektromanyetizma bloğunu kapat
Sınır koşulları alanın arayüz davranışını, endüktans ve enerji bağıntıları ise manyetik alanın depoladığı enerjiyi açıklar.
Ve bu statik bloğu kapatıyor.
Son onlarca videoda elektrostatiği Coulomb'dan Gauss'a, potansiyele, Laplace'a; manyetostatiği Biot-Savart'tan Ampère'e ve akı yoğunluğu B'ye kadar inşa ettik; malzemeleri, kuvvetleri, sınırları, endüktansı ve manyetik enerjiyi kapsadık.
Sadiku'nun tüm statik bölümleri artık araç kutunda.
Ders şimdi bir dönüş yapıyor.
Dalga teorisi — zamanla değişen durum, yani E ve B'nin elektromanyetik dalgalara bağlandığı dünya — ayrı bir seri.
Önümüzdeki birkaç videoda soru çözümüne geçiyoruz: kitap alıştırmaları, bir video bir soru, adım adım, her şey sıfırdan anlatılarak.
Teori kuruldu, şimdi onu kullanıyoruz.
Sesli anlatım metni
Ve bu statik bloğu kapatıyor. Son onlarca videoda elektrostatiği Coulomb'dan Gauss'a, potansiyele, Laplace'a; manyetostatiği Biot-Savart'tan Ampère'e ve akı yoğunluğu B'ye kadar inşa ettik; malzemeleri, kuvvetleri, sınırları, endüktansı ve manyetik enerjiyi kapsadık. Sadiku'nun tüm statik bölümleri artık araç kutunda. Ders şimdi bir dönüş yapıyor. Dalga teorisi — zamanla değişen durum, yani E ve B'nin elektromanyetik dalgalara bağlandığı dünya — ayrı bir seri. Önümüzdeki birkaç videoda soru çözümüne geçiyoruz: kitap alıştırmaları, bir video bir soru, adım adım, her şey sıfırdan anlatılarak. Teori kuruldu, şimdi onu kullanıyoruz.