#07 Statik Hasar — Sünek Malzemeler: En Büyük Kayma (Tresca) ve Şekil Değiştirme Enerjisi (von Mises)

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Geçen Ders ve Bugün

   

   Geçen ders: milin ne kadar esnediği

   Mil noktası: σ 49.3, τ 69 MPa

   Bu mil güvenli mi?

   Elimizde tek sayı: akma dayanımı Sy

   Bugün: sünek malzemelerin hasar kuramları

   Sesli anlatım metni

   Geçen derste milin ne kadar esnediğini hesapladık. Şimdi ilk derslerden beri ertelediğimiz soruya dönüyoruz: çıkış milinin en tehlikeli noktasında eğilmeden 49.3, burulmadan 69 megapaskal gerilme vardı. Bu mil güvenli mi? Elimizde çekme deneyinden gelen tek bir sayı var: akma dayanımı. Birden çok gerilmeyi bu tek sayıyla nasıl karşılaştırırız? Bugün bunun için iki kural öğreniyoruz: sünek malzemelerin hasar kuramları.

2. 2. İki Özdeş Küp

   

   Sol küp: her yönden eşit basınç → biraz küçülür, akmaz

   Sağ küp: yalnız üstten ve alttan → yassılaşır, taşar

   45° kayma çizgileri: malzeme akar

   Sünek malzemeyi akıtan: kayma ve şekil bozulması

   Bugün: bu fikirden iki kural

   Sesli anlatım metni

   İki özdeş çelik küp düşünelim. Soldakini okyanusun dibine indirelim: her yönden aynı basınç biner. Küp yalnızca biraz küçülür, şekli bozulmaz ve akmaz; çok yüksek basınç bile onu akıtamaz. Sağdakini ise yalnız üstten ve alttan sıkalım. Küp yassılaşır, yanlara doğru taşar; yüzeyinde kırk beş derecelik kayma çizgileri belirir ve malzeme akar. Aynı çelik, benzer büyüklükte gerilme; fark şekil değişiminde. Sünek malzemeyi akıtan hacim değişimi değil, kayma ve şekil bozulmasıdır. Bu fikri bugün iki kurala çeviriyoruz.

3. 3. En Büyük Kayma (Tresca)

   

   kural 1: en büyük kayma (Tresca)

   çekme deneyi: 45° düzlemde τ = σ / 2

   akma anı: τmaks = Sy / 2

   bir noktada τmaks buna ulaşırsa → akma

   τmaks = (σ1 − σ3) / 2

   akma:

   $\displaystyle \sigma 1 - \sigma 3 \ge Sy$

   $\displaystyle n =\frac{ Sy }{\sigma 1 - \sigma 3}$

   saf kayma: Ssy = 0.5 Sy

   basit, hep güvenli tarafta

   Sesli anlatım metni

   İlk kural: en büyük kayma gerilmesi, ya da Tresca kuramı. Çekme deneyinde numune akarken, kırk beş derecelik düzlemlerdeki kayma gerilmesi çekme gerilmesinin yarısıdır; yani akma anında akma dayanımı bölü 2. Kural şunu söyler: bir noktadaki en büyük kayma gerilmesi bu değere ulaşınca akma başlar. En büyük kayma gerilmesi, en büyük ve en küçük asal gerilmenin farkının yarısıdır. Öyleyse koşul şu: en büyük ve en küçük asal gerilmenin farkı akma dayanımına ulaşırsa parça akar. Güvenlik katsayısı da akma dayanımı bölü bu farktır. Saf kaymada bu kural, akma dayanımının yarısında akma öngörür. Basit ve her zaman güvenli tarafta kalan bir kuraldır.

4. 4. Şekil Değiştirme Enerjisi (von Mises)

   

   kural 2: şekil değiştirme enerjisi (von Mises)

   gerilme = hacim değişimi + şekil bozulması

   şekil bozan enerji, deneydeki akma değerine ulaşırsa → akma

   eşdeğer gerilme: σ′ (von Mises)

   $\displaystyle \sigma ′ = \sqrt{\sigma A² - \sigma A\sigma B + \sigma B²}$

   mil (σ, τ):

   $\displaystyle \sigma ′ = \sqrt{\sigma ² + 3\tau ²}$

   akma:

   $\displaystyle \sigma ′ \ge Sy \cdot n = Sy / \sigma ′$

   saf kayma: Ssy = 0.577 Sy (Tresca'dan %15 yüksek)

   deneyler bu kurala daha yakın

   Sesli anlatım metni

   İkinci kural: şekil değiştirme enerjisi, ya da von Mises kuramı. Bir elemandaki gerilmeyi ikiye ayırırız: her yönde eşit olan kısım yalnız hacmi değiştirir, geri kalanı şekli bozar. Kural der ki: şekli bozan enerji, çekme deneyinde akma anındaki değere ulaşınca akma başlar. Sonuç tek bir eşdeğer gerilmedir: von Mises gerilmesi. Düzlem gerilme için genel formül ekranda. Milde olduğu gibi tek bir normal gerilme ve bir kayma gerilmesi varsa çok sadeleşir: normal gerilmenin karesi artı 3 çarpı kayma gerilmesinin karesi, hepsinin karekökü. Bu gerilme akma dayanımına ulaşınca parça akar; güvenlik katsayısı akma dayanımı bölü von Mises gerilmesidir. Saf kaymada akma, akma dayanımının 0.577 katında; yani Tresca'dan yüzde 15 daha yüksek. Deneyler bu kurala daha yakındır.

5. 5. Çıkış Mili Güvenli mi?

   

   çıkış mili: σ = 49.3, τ = 69 MPa

   1045 sıcak haddelenmiş: Sy = 310 MPa · uzama %16 → sünek

   asal: 97.9 ve −48.6

   σ3? sıralama:

   $\displaystyle 97.9 \ge 0 \ge -48.6$

   Tresca:

   $\displaystyle 97.9 - \left(-48.6\right) = 146.5$

   $\displaystyle n =\frac{ 310 }{ 146.5 }\approx 2.12$

   von Mises:

   $\displaystyle 49.3² = 2430.49$

   $\displaystyle 69² = 4761 \to 3 \cdot 4761 = 14283$

   √16713.49 ≈ 129.3 MPa

   $\displaystyle n =\frac{ 310 }{ 129.3 }\approx 2.40$

   Tresca daha tedbirli (%13)

   Sesli anlatım metni

   Şimdi redüktörün çıkış mili. En tehlikeli noktada eğilmeden 49.3, burulmadan 69 megapaskal vardı. Malzeme 1045 sıcak haddelenmiş çelik: akma dayanımı 310 megapaskal, kopma uzaması yüzde 16; yani sünek. Önce Tresca. Asal gerilmeleri bulmuştuk: 97.9 ve eksi 48.6. Üçüncü asal gerilme sıfır ve bu ikisinin arasında kalıyor. En büyük eksi en küçük: 97.9 eksi, eksi 48.6, yani 146.5. Güvenlik katsayısı 310 bölü 146.5, yaklaşık 2.12. Şimdi von Mises. 49.3'ün karesi 2430.49. 69'un karesi 4761; 3 katı 14283. Toplam 16713.49, karekökü yaklaşık 129.3 megapaskal. Güvenlik katsayısı 310 bölü 129.3, yaklaşık 2.40. Tresca daha tedbirli; bu noktada iki kural arasındaki fark yüzde 13.

6. 6. Güvenli Bölge

   

   Eksenler: iki asal gerilme σA, σB

   Tresca: altıgen · von Mises: dışındaki elips

   Yük artar → nokta yük doğrusu boyunca kayar

   n = Ob / Oa

   Altıgen içeride → Tresca hep daha tedbirli; en büyük fark saf kaymada, %15

   Sesli anlatım metni

   Bu iki kuralı tek bir resimde görelim. Yatay eksende bir asal gerilme, düşey eksende diğeri. Tresca'nın güvenli bölgesi bir altıgen; von Mises'inki onu dışarıdan saran eğik bir elips. Milimizin noktası, 97.9 ve eksi 48.6, sağ alt bölgede. Yük arttıkça nokta, başlangıçtan geçen doğru boyunca dışarı kayar. Doğrunun sınırı kestiği yere olan uzaklığın, noktaya olan uzaklığa oranı güvenlik katsayısıdır. Altıgen elipsin içinde kaldığı için Tresca hiçbir zaman von Mises'ten büyük bir katsayı vermez; en büyük fark saf kaymada, yüzde 15.

7. 7. Basınçlı Kap Tuzağı

   

   sık yapılan hata

   basınçlı kap: 80 ve 40 MPa, τ = 0

   $\displaystyle 80 - 40 = 40 \to n = 7.75 ✗$

   sırala:

   $\displaystyle 80 \ge 40 \ge 0 \to \sigma 1 - \sigma 3 = 80$

   n = 310 / 80 ≈ 3.88 (yarısı)

   von Mises sıfırı kendiliğinden sayar

   $\displaystyle \sqrt{80² - 80\cdot 40 + 40²} = \surd 4800 \approx 69.28 \to n \approx 4.47$

   Sesli anlatım metni

   Burada sık yapılan bir hata var. Basınçlı kabı hatırlayın: düzlem içinde 80 ve 40 megapaskal, kayma yok. Tresca'yı yalnız bu iki gerilmeyle uygularsak 80 eksi 40, 40 buluruz; güvenlik katsayısı 7.75 çıkar. Bu yanlış! Serbest yüzeyde üçüncü asal gerilme sıfırdır. Sıralarsak 80, 40 ve 0: en büyük eksi en küçük 80. Güvenlik katsayısı 310 bölü 80, yaklaşık 3.88; yani yarısı. Von Mises bu sıfırı kendiliğinden hesaba katar: 80'in karesi eksi 80 çarpı 40 artı 40'ın karesi, 4800; karekökü yaklaşık 69.28, güvenlik katsayısı yaklaşık 4.47.

8. 8. Çapı Kuralla Seçmek

   

   çapı kuralla seçmek

   $\displaystyle \sigma ′ =\frac{ 16 }{\pi d³}\cdot \sqrt{4M² + 3T²}$

   $\displaystyle M = 441, T = 1235 N\cdot m$

   $\displaystyle 4 \cdot 441² = 777924 \cdot 3 \cdot 1235² = 4575675$

   $\displaystyle \surd 5353599 \approx 2313.8 N\cdot m$

   hedef n = 2.5

   $\displaystyle d³ = 16 \cdot 2.5 \cdot \frac{ 2313800 }{\pi \cdot 310}\approx 95032$

   d ≈ 45.6 mm

   rulman adımı 5 mm → Ø 50 mm

   σ′ ≈ 94.3 MPa → n ≈ 3.29

   yalnız statik akma — yorulma ayrıca

   Sesli anlatım metni

   Son adım: çapı kuralla seçmek. Dolu bir milde eğilme ve burulma gerilmelerini von Mises formülüne koyunca çap tek başına kalır: von Mises gerilmesi, 16 bölü pi çarpı çapın küpü, çarpı 4 çarpı momentin karesi artı 3 çarpı torkun karesinin karekökü. Moment 441, tork 1235 newton metre. 4 çarpı 441'in karesi 777924; 3 çarpı 1235'in karesi 4575675; toplamları 5353599, karekökü yaklaşık 2313.8 newton metre. Hedef güvenlik katsayısı 2.5 olsun. Çapın küpü: 16 çarpı 2.5 çarpı 2313800, yani 92552000, bölü pi çarpı 310, yani 973.9; sonuç yaklaşık 95032. Küpkökü yaklaşık 45.6 milimetre. Rulman delikleri 5 milimetre adımla gittiği için mili 50 milimetre yaparız. O zaman von Mises gerilmesi yaklaşık 94.3 megapaskala iner, güvenlik katsayısı yaklaşık 3.29 olur. Unutmayın: bu yalnız statik akmaya karşı. Dönen mil ayrıca yorulmaya karşı sınanmalı.

9. 9. Üç Tuzak

   

   ① Tresca'yı yalnız düzlem içi iki gerilmeyle uygulamak → σ₃ = 0'ı unutan n'yi 2 kat iyimser bulur

   ② Bu kuralları gevrek malzemeye uygulamak → dökme demir akmadan kırılır, basmada çok daha dayanıklı

   ③ Statik güvenlik katsayısını yeterli sanmak → dönen milde yorulma ayrıca

   Sesli anlatım metni

   Üç tuzak. Bir: Tresca'yı yalnız düzlem içindeki iki gerilmeyle uygulamak. Serbest yüzeydeki sıfır asal gerilmeyi unutursanız güvenlik katsayısını iki kat iyimser bulabilirsiniz. İki: bu kuralları gevrek malzemelere uygulamak. Dökme demir gibi gevrek malzemeler akmadan kırılır ve basmada çekmeden çok daha dayanıklıdır; onların kuralı sıradaki derste. Üç: statik güvenlik katsayısını yeterli sanmak. Dönen milde gerilme her turda değişir; yorulma ayrıca hesaplanır.

10. 10. Özet ve Sıradaki Ders

    

    Sünek malzemeyi akıtan: kayma ve şekil bozulması

    Tresca: σ1 − σ3 = Sy — basit, tedbirli

    von Mises: σ′ = Sy — deneylere yakın

    Düzlem gerilmede üçüncü asal gerilme 0

    Sıradaki ders: gevrek malzemeler (Coulomb–Mohr)

    Sesli anlatım metni

    Özetleyelim. Sünek malzemeyi akıtan kayma ve şekil bozulmasıdır. Tresca kuralı: en büyük ve en küçük asal gerilmenin farkı akma dayanımına ulaşınca akma; basit ve tedbirli. Von Mises kuralı: eşdeğer gerilme akma dayanımına ulaşınca akma; deneylere daha yakın. Düzlem gerilmede üçüncü asal gerilmenin sıfır olduğunu unutmayın. Bir sonraki Makine Elemanları dersinde gevrek malzemelere geçiyoruz: dökme demir neden farklı bir kural ister? Görüşmek üzere.

Kaynak video: Statik Hasar — Sünek Malzemeler: En Büyük Kayma (Tresca) ve Şekil Değiştirme Enerjisi (von Mises) (7:28)