#03 Ortalama Kayma Gerilmesi

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Geçen Ders ve Bugün

   

   Geçen ders: normal gerilme — kesite dik bileşen, σ = P / A

   Bugün: kesit düzlemindeki bileşen — kayma gerilmesi

   Makas: iki bıçak kağıdın iki yanını paralel düzlemlerde birbirinin üzerinden kaydırır

   Sesli anlatım metni

   Geçen derste gerilmeyi tanımladık ve normal gerilmeyi, yani kesite dik bileşeni hesapladık: eksenel kuvvet bölü alan. Bugün kesit düzlemindeki bileşene geçiyoruz: kayma gerilmesi. Makasla kağıt keserken olan tam olarak budur: iki bıçak, kağıdın iki yanını birbirine paralel düzlemlerde birbirinin üzerinden kaydırır.

2. 2. Aynı Pim, İki Bağlantı

   

   Bindirme: iki levha üst üste, tek pim

   Çatal: orta levha iki dış levhanın arasında, aynı pim

   İkisi de 12 kN ile çekiliyor; pim çapı 12 mm

   Hangi pim daha rahat?

   Pimi zorlayan: levhaların onu kesmeye çalıştığı düzlemler

   Solda 1 kesme düzlemi, sağda 2

   Yük iki düzleme bölünür → her düzlemde yarı kayma gerilmesi

   Sesli anlatım metni

   İki bağlantı düşünelim. Solda iki çelik levha üst üste bindirilmiş ve tek bir pimle birleştirilmiş. Sağda aynı pim, çatal biçimli bir bağlantıda: ortadaki levha iki dış levhanın arasında. İkisi de 12 kilonewtonla çekiliyor ve pimlerin çapı aynı, 12 milimetre. Peki hangi pim daha rahat? Pimi zorlayan, levhaların onu kesmeye çalıştığı düzlemlerdir. Solda bu düzlemden bir tane var, sağda iki tane. Yük iki düzleme bölününce her düzlemdeki kayma gerilmesi yarıya iner.

3. 3. Ortalama Kayma Gerilmesi

   

   kayma gerilmesi τ: kesit düzlemine paralel iç kuvvetin yoğunluğu

   ortalama kayma gerilmesi: τort = V / A

   V: kesitteki kesme kuvveti — serbest cisim diyagramından, dengeden

   yük malzemeyi doğrudan kesmeye çalışıyor → doğrudan kesme

   örnekler: cıvata, pim, perçin, yapıştırılmış bağlantı

   gerçek dağılım düzgün değil: bazı noktalarda ortalamadan büyük

   yine de τort bağlantı tasarımında kabul gören pratik yaklaşım

   Sesli anlatım metni

   Kayma gerilmesini geçen derste tanımlamıştık: kesit düzlemine paralel iç kuvvetin yoğunluğu. Uygulamada çoğu zaman ortalama değeriyle çalışırız: ortalama kayma gerilmesi, kesitteki kesme kuvveti bölü kesme alanıdır. Kesme kuvvetini, parçanın serbest cisim diyagramından denge denklemiyle buluruz. Yük malzemeyi doğrudan kesmeye çalışıyorsa buna doğrudan kesme denir; cıvata, pim, perçin ve yapıştırılmış bağlantılar tipik örneklerdir. Gerçekte gerilme kesit üzerinde düzgün dağılmaz, bazı noktalarda ortalamadan büyüktür. Yine de ortalama kayma gerilmesi, bağlantı elemanlarının boyutlandırılmasında şartnamelerin de kabul ettiği pratik bir yaklaşımdır.

4. 4. Kaymanın Eşlenik Özelliği

   

   kaymanın ilginç bir özelliği

   noktadan küçük bir küp: üst yüzde τ

   alt yüzde eşit ve zıt τ → kuvvetler dengelenir

   ama bu ikisi bir kuvvet çifti → küpü döndürmeye çalışır

   dönmeyi önlemek için yan yüzlerde de aynı büyüklükte τ

   dört yüzde τ eşit; köşelerde birbirine doğru ya da birbirinden uzağa

   kaymanın eşlenik özelliği → saf kayma

   Sesli anlatım metni

   Kayma gerilmesinin ilginç bir özelliği var. Bir noktadan küçük bir küp kesip üst yüzüne kayma gerilmesi koyalım. Küp dengede kalmalı. Üst yüzdeki kayma kuvveti, alt yüzde zıt yönde eşit bir kuvvetle dengelenir; ama bu iki kuvvet bir kuvvet çifti oluşturur ve küpü döndürmeye çalışır. Dönmeyi önlemek için yan yüzlerde de aynı büyüklükte kayma gerilmeleri olmalıdır. Sonuç: dört yüzdeki kayma gerilmeleri eşittir ve köşelerde ya birbirine doğru ya da birbirinden uzağa yönelir. Buna kaymanın eşlenik özelliği, bu duruma da saf kayma denir.

5. 5. Açılıştaki Pimlerin Hesabı

   

   açılıştaki pimler — her işlem

   Ø 12 mm → r = 6 mm

   A = π r² = π · 6 · 6 ≈ 113.1 mm²

   bindirme: 1 düzlem → V = 12 kN = 12000 N

   τ = 12000 N / 113.1 mm² ≈ 106.1 MPa

   çatal: 2 düzlem → her birinde V = 6 kN = 6000 N

   τ = 6000 N / 113.1 mm² ≈ 53.1 MPa

   aynı pim, aynı yük: çift kesmede gerilme yarı yarıya

   çatal bağlantıların yaygın olmasının önemli bir nedeni

   Sesli anlatım metni

   Açılıştaki pimlere dönelim. Pimin çapı 12 milimetre, yarıçapı 6 milimetre. Kesme alanı pi çarpı 6 çarpı 6, yaklaşık 113.1 milimetrekare. Solda tek kesme düzlemi var; kesme kuvveti yükün tamamı, 12 kilonewton, yani 12000 newton. Ortalama kayma gerilmesi 12000 newton bölü 113.1 milimetrekare, yaklaşık 106.1 megapaskal. Sağda iki kesme düzlemi var; her birine yükün yarısı, 6 kilonewton, yani 6000 newton düşer. Kayma gerilmesi 6000 newton bölü 113.1 milimetrekare, yaklaşık 53.1 megapaskal. Aynı pim, aynı yük; çift kesmede gerilme yarı yarıya. Çatal bağlantıların yaygın olmasının önemli bir nedeni budur.

6. 6. Örnek 1: Yapıştırılmış Bindirme

   

   iki tahta: genişlik 80 mm, bindirme 50 mm

   çekme kuvveti 6 kN

   yapıştırıcıdaki ortalama kayma gerilmesi?

   kesme düzlemi: yapıştırılmış yüzeyin kendisi

   bir tahtanın serbest cisim diyagramı: V = 6 kN = 6000 N

   A = genişlik · bindirme = 80 · 50 = 4000 mm²

   τ = 6000 N / 4000 mm² = 1.5 MPa

   dayanımla karşılaştırma → sıradaki ders: emniyet gerilmesi

   Sesli anlatım metni

   İlk örnek. Genişliği 80 milimetre olan iki tahta, 50 milimetrelik bir bindirmeyle yapıştırılmış ve 6 kilonewtonla çekiliyor. Yapıştırıcıdaki ortalama kayma gerilmesini bulalım. Önce hangi yüzeyin kesildiğini düşünelim: tahtalar birbirinin üzerinden kaymak istiyor, yani kesme düzlemi yapıştırılmış yüzeyin kendisi. Kesme kuvveti, bir tahtanın serbest cisim diyagramından 6 kilonewton. Kesme alanı genişlik çarpı bindirme boyu: 80 çarpı 50, 4000 milimetrekare. Ortalama kayma gerilmesi 6000 newton bölü 4000 milimetrekare, 1.5 megapaskal. Bu değer yapıştırıcının dayanabileceği kayma gerilmesiyle karşılaştırılır; bunu bir sonraki derste emniyet gerilmesiyle göreceğiz.

7. 7. Örnek 2: Zımbayla Delik Açmak

   

   levha kalınlığı 4 mm, delik çapı 20 mm

   kayma dayanımı τu = 300 MPa

   gereken zımba kuvveti P?

   sık hata: kesme alanını deliğin dairesi sanmak

   kesilen yüzey: koparılan silindirin yan yüzeyi

   çevre = π · d = π · 20 ≈ 62.83 mm

   A = çevre · kalınlık = 62.83 · 4 ≈ 251.33 mm²

   300 MPa = 300 N/mm²

   P = τu · A = 300 · 251.33 ≈ 75400 N = 75.4 kN

   daire alanı: π · 10 · 10 = 314.16 mm² → 94.2 kN ✗

   Sesli anlatım metni

   İkinci örnek: zımbayla delik açmak. 4 milimetre kalınlığındaki çelik bir levhaya çapı 20 milimetre olan bir delik açacağız. Levha malzemesinin kayma dayanımı, yani kopmadan taşıyabileceği en büyük kayma gerilmesi, 300 megapaskal. Zımbaya ne kadar kuvvet gerekir? Burada en sık yapılan hata, kesme alanını deliğin dairesi sanmaktır. Zımba levhadan silindir biçiminde bir parça koparır; kesilen yüzey bu silindirin yan yüzeyidir. Önce çevre: pi çarpı çap, pi çarpı 20, yaklaşık 62.83 milimetre. Yan yüzeyin alanı çevre çarpı kalınlık: 62.83 çarpı 4, yaklaşık 251.33 milimetrekare. 300 megapaskal, milimetrekare başına 300 newton demek. Gereken kuvvet 300 çarpı 251.33, yaklaşık 75400 newton, yani 75.4 kilonewton. Daire alanını kullansaydık pi çarpı 10 çarpı 10, 314.16 milimetrekare bulur ve 94.2 kilonewtonluk yanlış bir sonuca ulaşırdık.

8. 8. Üç Tuzak

   

   ① Tek kesme ile çift kesmeyi karıştırmak → çift kesmede her düzleme yükün yarısı düşer

   ② Kesme alanını yanlış seçmek → zımbada daire değil, silindirin yan yüzeyi

   ③ Ortalamayı en büyük değer sanmak → dağılım düzgün değil; tasarımda güvenlik payı

   Sesli anlatım metni

   Üç tuzak. Bir: tek kesme ile çift kesmeyi karıştırmak; çift kesmede her düzleme yükün yarısı düşer. İki: kesme alanını yanlış seçmek; zımbada kesilen yüzey dairenin kendisi değil, silindirin yan yüzeyidir. Üç: ortalama kayma gerilmesini gerçek en büyük değer sanmak; gerçek dağılım düzgün değildir, bu yüzden tasarımda güvenlik payı kullanılır.

9. 9. Özet ve Sıradaki Ders

   

   Ortalama kayma gerilmesi:

   $\displaystyle \tau =\frac{ V }{ A}$

   Kesme düzlemlerini bul → her düzlemde V dengeden → doğru alana böl

   Kayma gerilmeleri elemanın dört yüzünde eşit

   Sıradaki ders: emniyet gerilmesi ve bağlantı tasarımı

   Sesli anlatım metni

   Özetleyelim. Ortalama kayma gerilmesi, kesme kuvveti bölü kesme alanıdır. Önce kesme düzlemlerini bul, her düzlemdeki kesme kuvvetini dengeden hesapla, sonra doğru alana böl. Kayma gerilmeleri bir elemanın dört yüzünde eşittir. Bir sonraki Mukavemet dersinde emniyet gerilmesine ve bağlantıların tasarımına geçeceğiz. Görüşmek üzere.

Kaynak video: Ortalama Kayma Gerilmesi (5:26)