#42 التحليل العابر #42 — مثال عددي للاستجابة الطبيعية RL

تجد أدناه جميع الأسطر المكتوبة في الدفتر مع النص الكامل للشرح الصوتي.

1. 1. المسألة وثابت الزمن والتيار

   

   L=100 mH وR=50 Ω وI₀=2 A

   بعد فتح المفتاح لا يوجد مصدر

   $L=0.1 H$

   $\tau=L/R=0.1/50$

   τ=0.002 s=2 ms

   $i(t)=I₀e^{(}-t/\tau)$

   $i(t)=2e^{(}-500t) A$

   ثابت الزمن يحدد سرعة كل الكميات

   الملف يفرغ طاقته في المقاومة

   نص الشرح الصوتي

   في الدرس السابق اشتققنا الاستجابة الطبيعية لدائرة R L. اليوم نستخدم نفس القانون في مثال رقمي واضح. لدينا ملف قيمته مئة ملي هنري، ومقاومة قيمتها خمسون أوم، وتيار ابتدائي في الملف مقداره اثنان أمبير. بعد فتح المفتاح لا يوجد مصدر خارجي، لذلك سيحاول الملف إبقاء التيار مستمرا، ثم يفرغ طاقته في المقاومة. المطلوب أن نكتب آي أوف تي، ثم جهد المقاومة، ثم نعرف ماذا يحدث عند تاو واحد وعند خمسة تاو. نبدأ دائما من ثابت الزمن، لأن ثابت الزمن هو الذي يحدد سرعة كل شيء. في دائرة R L، تاو يساوي L على R. نعوض: L تساوي صفر فاصلة واحد هنري، و R تساوي خمسين أوم. إذن تاو يساوي صفر فاصلة واحد على خمسين، أي صفر فاصلة صفر صفر اثنين ثانية. وهذا يساوي اثنين ملي ثانية. الآن نكتب التيار. القانون العام هو آي أوف تي يساوي I صفر في e أس سالب t على تاو. هنا I صفر تساوي اثنين أمبير، وتاو تساوي صفر فاصلة صفر صفر اثنين ثانية. إذن آي أوف تي يساوي اثنين في e أس سالب t على صفر فاصلة صفر صفر اثنين. وبشكل مكافئ: اثنان في e أس سالب خمسمئة t أمبير، عندما يكون t بالثواني.

2. 2. جهد المقاومة وفحص تاو

   

   نستخرج الجهد من قانون أوم

   $v_{\mathrm{R}}(t)=R\cdot i(t)$

   $v_{\mathrm{R}}(t)=100e^{(}-500t) V$

   $v_{\mathrm{R}}(0⁺)=100 V$

   هذه الطاقة من المجال المغناطيسي لا من مصدر جديد

   عند t=τ=2 ms

   $i(\tau)=0.736 A$

   $v_{\mathrm{R}}(\tau)=36.8 V$

   $v_{\mathrm{L}}(t)=-v_{\mathrm{R}}(t)$

   نص الشرح الصوتي

   بعد التيار، جهد المقاومة يأتي مباشرة من قانون أوم. V R يساوي R في i. إذن V R أوف تي يساوي خمسين في اثنين في نفس العامل الأسي، أي مئة في e أس سالب خمسمئة t فولت. لاحظ نقطة مهمة: عند t يساوي صفر موجب، جهد المقاومة يبدأ من مئة فولت. هذا ليس مصدرا جديدا؛ إنه نتيجة الطاقة المخزنة في الملف والتي تدفع التيار في المقاومة. عند t يساوي تاو، أي بعد اثنين ملي ثانية، التيار يساوي اثنين في e أس سالب واحد، وهذا يساوي تقريبا صفر فاصلة سبعة ثلاثة ستة أمبير. وجهد المقاومة يصبح مئة في e أس سالب واحد، أي ستة وثلاثين فاصلة ثمانية فولت.

3. 3. فحص خمسة ثوابت زمنية

   

   نطبق قاعدة خمسة تاو

   1τ: 36.8 بالمئة

   2τ: 13.5 بالمئة

   3τ: 5.0 بالمئة

   4τ: 1.8 بالمئة

   5τ=10 ms

   $i(5\tau)=2e⁻⁵ A$

   i(5τ)=13.5 mA؛ النسبة 0.674 بالمئة

   الاستجابة العابرة انتهت عمليا

   نص الشرح الصوتي

   الآن نستخدم قاعدة خمسة تاو. بعد تاو واحد يبقى ستة وثلاثون فاصلة ثمانية بالمئة من التيار. بعد اثنين تاو يبقى ثلاثة عشر فاصلة خمسة بالمئة. بعد ثلاثة تاو يبقى خمسة بالمئة تقريبا. بعد أربعة تاو يبقى واحد فاصلة ثمانية بالمئة. وبعد خمسة تاو يبقى أقل من واحد بالمئة. في هذا المثال تاو يساوي اثنين ملي ثانية، إذن خمسة تاو تساوي عشر ملي ثانية. عند عشر ملي ثانية يصبح التيار اثنين في e أس سالب خمسة، أي حوالي ثلاثة عشر فاصلة خمسة ملي أمبير فقط. لذلك نقول عمليا إن الاستجابة العابرة انتهت بعد خمسة تاو.

4. 4. الطاقة وخلاصة الحل

   

   أين تذهب طاقة الملف؟

   w_L(0)=½LI₀²

   $w_{\mathrm{L}}(0)=½(0.1)(2²)=0.2 J$

   $p_{\mathrm{R}}(0)=I₀²R$

   $p_{\mathrm{R}}(0)=200 W$

   تتناقص القدرة وفق e⁽−2t/τ)

   ∫₀∞p_R(t)dt=0.2 J

   كل الطاقة المغناطيسية تتحول إلى حرارة

   الترتيب: τ ثم i(t) ثم الجهد ثم 5τ والطاقة

   نص الشرح الصوتي

   نختم المثال بسؤال فيزيائي: أين ذهبت طاقة الملف؟ الطاقة الابتدائية في الملف هي نصف L في I صفر تربيع. بالتعويض: نصف في صفر فاصلة واحد في اثنين تربيع، فنحصل على صفر فاصلة اثنين جول. هذه الطاقة ليست في المقاومة في البداية، وليست قادمة من بطارية بعد فتح المفتاح. إنها طاقة المجال المغناطيسي داخل الملف. القدرة اللحظية في المقاومة هي i تربيع في R، ولذلك تبدأ من اثنين تربيع في خمسين، أي مئتي واط، ثم تنخفض بسرعة لأن التيار نفسه ينخفض. تكامل القدرة على الزمن يعطي بالضبط صفر فاصلة اثنين جول. يعني أن كل طاقة الملف تحولت إلى حرارة في المقاومة. الخلاصة العملية لهذا المثال: أولا، احسب تاو قبل أي شيء. هنا تاو يساوي اثنين ملي ثانية. ثانيا، اكتب التيار من القانون آي أوف تي يساوي I صفر في e أس سالب t على تاو. ثالثا، استخرج الجهد من R في i، فتحصل هنا على مئة في e أس سالب خمسمئة t فولت. رابعا، بعد خمسة تاو، أي عشر ملي ثانية في هذا المثال، يصبح التيار صغيرا جدا. وأخيرا، الطاقة الابتدائية في الملف، صفر فاصلة اثنان جول، تنتهي كحرارة في المقاومة. هذه هي طريقة قراءة أي مثال R L طبيعي خطوة بخطوة.